高考数学题极坐标与参数方程大训练含答案

高考23题(极坐标与参数方程)大训练
1.(1)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝
⎛⎭⎪⎫
2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动，
求圆C 的极坐标方程； (2)．设直线l 经过点
)
3,2(π
P ，倾斜角6
πα=，写出直线l 的极坐标方程.
2．(2009·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲
线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3
)＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．
(1)写出C 的直角坐标方程，并求出M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ，设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
4.已知曲线1C 的参数方程为
210cos ,
10sin x y θθ
⎧=-+⎪⎨
=⎪⎩ （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． （1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. （2）曲线1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
5.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面
积．
6.(本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2
－42ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
7.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
8.(2013·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．
9.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋1
2
t ，y ＝32t (t 为参数)．以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
10.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫
⎝
⎛
4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。

（Ⅰ）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C 的参数方程为)(sin ,
cos 1为参数a a y a x ⎩
⎨
⎧=+=，试判断直线l 与圆C 的位置关系.
答案版：
新课标极坐标参数方程高考23题汇总
1．(1)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝
⎛⎭⎪⎫
2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上
运动，求圆C 的极坐标方程；
(2)．设直线l 经过点)
3
,2(π
P ，倾斜角6
πα=，写出直线l 的极坐标方程. 解：(1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理得12＝ρ2＋22
－2×2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，
所以圆的极坐标方程为ρ2
－4ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫
θ－π3＋3＝0.
2．(2009·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3
)＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．
(1)写出C 的直角坐标方程，并求出M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
解：(1)由ρcos(θ－π
3
)＝1得
ρ(12cos θ＋3
2
sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋3
2
y ＝1，
即x ＋3y ＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π
2)．
(2)M 点的直角坐标为(2,0)．
N 点的直角坐标为(0，
23
3
)． 所以P 点的直角坐标为(1，3
3
)．
则P 点的极坐标为(233，π
6
)，
所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π
6，ρ∈(－∞，＋∞)．
3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ，设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为2
2sin ρρθ= .
又 2
2
2,cos ,sin x y x y ρρθρθ+=
== ,
所以曲线C 的直角坐标方程为2
2
20x y y +-=.
（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为
4
(2)3
y x =--.
令0y =，得2x =,即M 点的直角坐标为(2,0).
又曲线C 为圆，圆C 圆心的直角坐标为(0,1),半径1r =，
则
5MC =.
∴
51MN MC r +=+≤.
故MN 的最大值为15+. 4.（14分）已知曲线1C 的参数方程为
210cos ,
10sin x y θθ
⎧=-+⎪⎨
=⎪⎩ （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=． （1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. （2）曲线1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
.解：（1）由210cos ,10sin ,
x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ 得22(2)10x y ++=.
∴ 曲线1C 的普通方程为2
2
(2)10x y ++=. ∵ θθρsin 6cos 2+=, ∴ θρθρρsin 6cos 22
+=.
∵ θρθρρ
sin ,cos ,222
==+=y x y x ,
∴ y x y x 6222+=+，即10)3()1(2
2=-+-y x .
∴ 曲线2C 的直角坐标方程为10)3()1(2
2=-+-y x .
（2）∵ 圆1C 圆心的直角坐标为)0,2(-，圆2C 圆心的直角坐标为)3,1(,
∴22
122103=32210,C C =--+-<（）（）
∴ 两圆相交. 设相交弦长为d ，
∵ 两圆半径相等，∴ 公共弦平分线段21C C ,
∴ (
)
2
2
2
3210,22d ⎛⎫
⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴ 22d =
.∴ 公共弦长为22.
5.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的
面积．
[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π
4
代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.
故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2
.
[规律探究] (1)本题第(2)小题求解的关键是求出直线θ＝π
4
与圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0的弦长|MN |，此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π4，N ⎝
⎛⎭⎪⎫
ρ2，π4，|MN |＝|ρ1－ρ2|.
(2)一般情况下，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点时，先求出直线l 和曲线C 的极坐标方程，再联立方程组消去θ得关于ρ的一元二次方程，然后利用极径的几何意义求出弦长|MN |＝|ρ1－ρ2|.
6.(本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2
－42ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫
θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
[解] (1)由ρ2
－42ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫
θ－π4＋6＝0，
得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，
∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，3分 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，
得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α
y ＝2＋2sin α
，(α为参数)6分
(2)由(1)知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)
＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋π4，9分
又－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
α＋π4≤1，
故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12分
7.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2.
(1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，
y ＝sin t
(t 为参数，0≤t ≤π)．
(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，
所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π
3
.
故D 的直角坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，32.
8.(2013·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．
解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t
消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋
y 2－8x －10y ＋16＝0.
将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2
)．
9.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋1
2
t ，y ＝32t
(t
为参
数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.
(2)设P ⎝
⎛⎭⎪⎫
3＋12t ，32t ，又C (0，3)，
则|PC |＝
⎝ ⎛
⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32t －32＝
t 2＋12，
故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．
10.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫
⎝
⎛
4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。

（Ⅰ）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C 的参数方程为)(sin ,
cos 1为参数a a y a x ⎩
⎨
⎧=+=，试判断直线l 与圆C 的位置关系.
【解析】（Ⅰ）由点
(2,)4A π在直线cos()4
a π
ρθ-=上，可得2a =
所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +
-=
（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为2
2(1)1x y -+=
所以圆心为(1,0)，半径1r
=
以为圆心到直线的距离2
12
d =
<，所以直线与圆相交。