福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学含答案

泉港一中2021届高二年（上）期中考试卷（数学）
（范围：直线、圆、圆锥曲线）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线013=++y x 的倾斜角为
A ．150︒
B ．120︒
C ．60︒
D ．30︒ 2．过圆2
2
(1)(2)4x y ++-=的圆心，且斜率为1的直线方程为
A ．10x y +-=
B ．30x y ++=
C ．30x y -+=
D ．30x y --= 3．抛物线2
14
y x =
的准线方程是 A ．1y =-
B ．1x =-
C ．1y =
D ．1x =
4．焦点为06（，）
且与双曲线2
212
x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2212412x y -= B ．2212412y x -= C ．2211224y x -= D ．22
11224
x y -=
5．已知点(,1)m （0m >）到直线02:=+-y x l 的距离为1，则m 等于
A B 1 C ．2 D 6．设0>m ，则直线0122=+++
m y x 与圆m y x =+22的位置关系为
A ．相切
B ．相交
C ．相切或相交
D ．相切或相离 7．两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长
A B C ．1 D ．2 8．已知双曲线22
11620
x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上一点，且2PF 的
中点M 在以O 为圆心，1OF 为半径的圆上，则2PF = A ．6
B ．4
C ．2
D ．1
9．已知F 是椭圆22
:195
x y C +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则PA PF +的最小
值为
A ．
103
B ．
113 C ．4 D ． 133
10．已知抛物线24y x =，以(1,1)为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为
A ．210x y -+=
B ．230x y +-=
C ．210x y --=
D ．230x y +-=
11．已知F 是椭圆2
2:14
x E y +=的一个焦点，直线0x my -=与E 交于,A B 两点，则ABF △的周长的取值范围为
A ．(2,4)
B ．[2,4)
C ．(6,8)
D ．[6,8)
12．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上．在EFP ∆中，若sin sin EFP t FEP ∠=⋅∠，则t 的最大值为
A B C D 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．椭圆2
2
:24C x y +=的两个焦点与短轴一个端点构成的三角形的面积等于__________．
14．以双曲线22
1169
x y -=的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．
15．设直线10x my --=与圆2
2
(1)(2)4x y -+-=相交于,A B 两点，AB =，则实数
m 的值是__________．
16．已知双曲线E 的中心是坐标原点O ，以E 的焦点F 为圆心，OF 为半径的圆与E 的一条渐近线交于,O A 两点．若劣弧OA 所对的圆心角等于
2π
3
，则E 的离心率为__________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，应写出证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点坐标为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --． （1）求直线BC 的方程；
（2）求边BC 上高AD 所在的直线方程．
18．（本小题12分）
已知椭圆C 的焦点为1(0,2)F -和2(0,2)F ，长轴长为52，设直线2y x =+交椭圆C 于,A B 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求弦,A B 的中点坐标及AB ．
19．（本小题12分）
在直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
:48160C x y x y ++-+=． （1）求圆C 的圆心坐标，及半径；
（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，且PM PO =，求使得PM 取得最小值时的点P 的坐标．
20．（本小题12分）
已知抛物线2
2(0)y px p =>上的点(3,)T t 到焦点F 的距离为4． （1）求t ，p 的值；
（2）设,A B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．
21．（本小题12分）
椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过焦点2F 且
垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点(0,1)M -，直线l 经过点(2,1)N 且与椭圆 C 相交于,A B 两点（异于点M ），记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，证明：12+k k 为定值．
22．（本小题12分）
坐标平面xOy 内，y 轴的右侧动点P 到点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1，记P 的轨迹为1C ．
（1）求1C 的标准方程；
（2）曲线22
2:143
x y C +=的左右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 分别与曲线21,C C 交于点,A B 和,M N ，若1F AB ∆与1F MN ∆面积分别是12,S S ，求
1
2
S S 的取值范围． 2021届高二年（上）期中考试卷（数学）
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分．
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13． 2 14．2
16y x = 15． 16
11． 详细分析：记椭圆2
2:14
x E y +=的另一个焦点为'F ，则四边形'AFBF 为平行四边形（如图所示），ABF △的周长等于'2++=++=+AB AF BF AB AF AF AB a ，又
[2,2)∈AB b a ，故ABF △的周长取值范围2[22,4)[6,8)+∈+=AB a a b a ．
12．详细分析：由题意得，准线:2p l x =-
，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =， 于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠=
=∠11
cos cos PE PH EPH PEF
===
∠∠， cos y x =在(0,)π上为减函数，
∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得
直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒
，max μ∴=
16．详细分析：如图，设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，则其渐近线方程为
b
y x a
=±
，由题意，可知30AOx ∠=，故3t a n 30b a =
=，所
以3
c e a ===
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
详细分析：（1）由两点式直线方程得BC 的方程为
32
2312
y x -+=
--+， 5310x y ∴++=．……………………………………………………………………………5分
（说明：其他解法参照给分，答案对就给5分）
（
2）BC 直线的斜率为53
-，…………………………………………………………………7分
∴AD 直线斜率为3
5
k =
．……………………………………………………………………8分 由点斜式得AD 方程为 ()3
425
y x -=-， 整理得35140x y -+=．…………………10分 18．（本小题满分12分）
详细分析：（1）依题意，椭圆的焦点在y 轴上，设其方程为22221y x a b
+=． (1)
分
已知2,c a ==3分 又2
2
2
a b c =+…………………………………………………………………………………4分 得1b =，…………………………………………………………………………………………5分
故椭圆的标准方程2
2:15
y C x +=．…………………………………………………………6分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ， ,A B 的中点为00(,)M x y
⎩⎨⎧=++=5
522
2y x x y 消去y 得01462
=-+x x ．…………………………………………………8分 故3221-
=+x x ，61
21-=x x ， ……………………………………………………………10分 则310-=x ，3
5
200=+=x y ，
弦AB 的中点坐标为)3
5
,31(-．………………………………………………………………11分
3
5232942
=+=AB ．…………………………………………………………………6分 19．（本小题满分12分）
详细分析：（1）依题意，2
2
(+2)(4)4x y +-=…………………………………………………2分
故圆心坐标为(2,4)-……………………………………………………………………………4分 半径2r =．………………………………………………………………………………………6分
（2）依题意，设00(,)P x y =
8分
变形可得00240x y -+=，则P 在直线:240l x y -+=上，……………………………9分
分析可得，若PM 最小，只需过点O 向l 作垂线':2l y x =-，…………………………11分
l 与'l 的交点即为要求的点，联立可得240
2x y y x
-+=⎧⎨
=-⎩， 解可得45
8
5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即P 的坐标为48,)55-（．………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
详细分析：（1）由抛物线的定义得，342
p
+=，解得2p =，………………………………3分
所以抛物线的方程为2
4y x =，代入点(3,)T t
，可解得t =±．………………………6分
（2）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ，………………………8分
联立24y x x my n
⎧=⎨=+⎩，消元得2
440y my n --=，则124y y n =-，………………………10分
由5OA OB ⋅=，可得2
1212()516
y y y y +=，所以1220y y =-或124y y =（舍去）
， 即420n -=-，解得5n =，所以直线AB 的方程为5x my =+，
所以直线AB 过定点(5,0)．…………………………………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 详细分析：（1）将x ＝c 代入方程
中，由a 2
﹣c 2
＝b 2
可得
，
所以弦长为．………………………………………………………………………………2分
所以………………………………………………………………………………4分
解得．………………………………………………………………………………………5分
所以椭圆C 的方程为：
．…………………………………………………………6分
（2）若直线l 的斜率不存在，则直线的方程为x ＝2，
直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；…………………………………………………7分 设直线l 的斜率为k ，若k ＝0，则直线l 与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k ≠0； 所以直线l 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k +1，．……………………………8分
直线l 的方程与椭圆的标准方程联立得：
消去y 得（1+4k 2）x 2﹣8k （2k ﹣1）x +16k 2
﹣16k ＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则
，．………………………………………9分
∵
∴k 1+k 2＝
+＝
＝
＝＝2k ﹣，……………………10分
把代入上式，
得
．……………………………………………………12分
22．（本小题满分12分）
详细分析：（1） 依题意， y 轴的右侧动点P 到点(1,0)的距离与到定直线的距离相等，…1分
故1C 的方程为2
4y x ．………………………………………………………………………3分
（2）依题意
1
2AB S S MN
=
，……………………………………………………………………4分 ①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程是()()10y k x k =-≠， 联立()2
1{
4y k x y x
=-=，得()22
2
2
240k x k x k -++=， ()2
2
412440k k ∆=+->，…5分
设()11,A x y ， ()22,B x y ，则212224
k x x k ++=， ()
2122
412k AB x x k
+=++=；…6分 联立()2
2
1 34120
y k x x y ⎧=-⎨
+-=⎩得： ()22223484120k x k x k +-+-=，
()42264434k k ∆=-+ ()()
2241214410k k -=+>，…………………………………7分
设()33,M x y ， ()44,N x y ，
则2342834k x x k +=+， 2342
412
34k x x k
-=+，…………………………………………………8分
()
2
2
12134k MN k +=
=+，……………………………………9分
（或()(
)2342
121234k MN a e x x k +=-+=
+）
则2122
234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫
===+∈+∞ ⎪⎝⎭
，……………………………………………10分 ②当l 垂直于x 轴时，易知4AB =， 223b MN a ==，此时124
3
AB S S MN ==………11分 综上有
12S S 的取值范围是4,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．………………………………………………………12分 （设:1l x my =+相应给分；用其他方法的相应给分）。