高考数学一轮复习第八章立体几何第4节直线平面平行的判定与性质科市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PP

图形语言
符号语言 α∥β
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(2)两平面平行的性质定理
文字语言
图形语言
如果两平行平面同时
性质 和第三个平面_相_交___，
定理 那 么 它 们 的 _交_线___ 平
行
符号语言 a∥b
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1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直
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考点三 平面与平面平行的判定与性质 ——互动型
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如图所示，在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC， A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
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[证明] (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
(2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的 中点，
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(3)①中 α 与 β 可能相交，故①错；②中 l 与 m 可能异面， 故②错；由线面平行的性质定理可知，l∥m，l∥n，所以 m ∥n，故③正确．
[答案] (1)B (2)D (3)1
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平行关系判断问题的注意点 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的 判定定理中线在面外的条件易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
第八章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定与性质
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1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理， 并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的 判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题.
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知识
梳理诊断
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当 点 M 在 何 位 置 时 ， BM ∥ 平 面 AEF?
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[解] 解法一：如图 1，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M.
图1
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∵侧棱 A1A⊥底面 ABC， ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC， ∴OM⊥底面 ABC. 又∵EC＝2FB， ∴OM∥FB∥ ═12EC， ∴四边形 OMBF 为矩形， ∴BM∥OF， 又∵OF⊂平面 AEF，BM⊄平面 AEF. 故 BM∥平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点．
直线平行或异面．(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
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2．若直线 m⊂平面 α，则条件甲：“直线 l∥α”是条件
乙：“l∥m”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若 l∥α，则 l∥m 或 l 与 m 异面；若 l∥m，则 l
1．直线与平面平行
(1)判定定理
文字语言
• 假如平面外一条 直线和这个平面
判 内一条直线平行 定 线，线平那行⇒么线面这平条行 直线 定 和这个平面平行( 理 简记为
图形语言
符号语言 l∥α
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(2)性质定理 文字语言
如果一条直线和一个 性 平面平行，经过这条直 质 线的平面和这个平面 定 相交，那么这条直线就 理 和交线平行(简记
[解析] (1)若 m⊂α 且 m∥β，则平面 α 与平面 β 不一定 平行，有可能相交；而 m⊂α 且 α∥β 一定可以推出 m∥β， 所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
(2)A 错误，n 有可能在平面 α 内；B 错误，平面 α 有可 能与平面 β 相交；C 错误，n 也有可能在平面 β 内；D 正确， 易知 m∥β 或 m⊂β，若 m⊂β，又 n∥m，n⊄β，∴n∥β，若 m ∥β，过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 l，则 m∥l，又 n∥m， ∴n∥l，又 n⊄β，l⊂β，∴n∥β.
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解法二：如图 2，取 EC 的中点 P，AC 的中点 Q，连接 PQ、PB、BQ，
图2
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∴PQ∥AE.∵EC＝2FB， ∴PE∥ ═BF，PB∥EF， ∴PQ∥平面 AEF，PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB＝P， ∴平面 PBQ∥平面 AEF， 又∵BQ⊂平面 PQB，∴BQ∥平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M，此时点 M 为 AC 的中点．
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平面 D1AB1∩平面 AB1＝AB1， ∴PQ∥AB1，
∴PQ＝12AB1＝
2 2.
[答案]
2 2
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考点
题型突破
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考点一 平行关系的判断——自练型
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(1)(2015·北京卷)设 α，β 是两个不同的平面，m
是直线且 m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(
)
A．充分而不必要条件
(1)BE∥平面 DMF； (2)平面 BDE∥平面 MNG.
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[证明] (1)如图所示，连接 AE， 则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，
连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位 线，所以 BE∥MO.
因为 BE⊄平面 DMF，MO⊂ 平面 DMF，
所以 BE∥平面 DMF.
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[拓展探究] 在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D.
[证明] 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M， ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形， ∴M 是 A1C 的中点，连接 MD， ∵D 为 BC 的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面 A1BD1，DM⊄平面 A1BD1， ∴DM∥平面 A1BD1.
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(3)设互不相同的直线 l，m，n 和平面 α，β，γ，给出下 列三个命题：
①若 l 与 m 为异面直线，l⊂α，m⊂β，则 α∥β；②若 α ∥β，l⊂α，m⊂β，则 l∥m；③若 α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α ＝n，l∥γ，则 m∥n.
其中真命题的个数为________．
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考点二 直线与平面平行的判定与性质 ——互动型
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如图，四棱锥 P－ 1
ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝2 AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC， CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点， G 是线段 OF 上一点．
(1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD.
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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(2)设 m，n 表示不同直线，α，β 表示不同平面，则下列
结论中正确的是(
)
A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α
B．若 m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则 α∥β
C．若 α∥β，m∥α，m∥n，则 n∥β
D．若 α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则 n∥β
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[证明] (1)连接 EC， ∵AD∥BC，BC＝12AD， ∴BC═ ∥AE， ∴四边形 ABCE 是平行四边形， ∴O 为 AC 的中点． 又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP， FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， ∴AP∥平面 ， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
线__面_平__行_⇒_线__线_平__行______).
图形语言
符号语言 a∥b
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2.平面与平面平行
(1)判定定理
文字语言
如果一个平面内有两条 判
__相_交__直_线________都平行 定
于另一个平面，那么这 定
两个平面平行(简记为 理
线__面_平__行_⇒__面_面__平_行_______)
一个．故选 B.
[答案] B
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4．直线 m，n 均不在平面 α，β 内，给出下列命题：
①若 m∥n，n∥α，则 m∥α；②若 m∥β，α∥β，则 m∥
α；③若 m⊥n，n⊥α，则 m∥α；④若 m⊥β，α⊥β，则 m∥α.
其中正确命题的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
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[解析] 由空间直线与平面平行关系可知①正确；由空间 直线与平面平行关系可知②正确；由线面垂直，线面平行的 判定和性质可知③正确；由线面垂直，面面垂直可知④正 确．故选 D.
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又由三棱柱的性质知，D1C1═ ∥BD， ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形， ∴DC1∥BD1. 又 DC1⊄平面 A1BD1，BD1⊂平面 A1BD1， ∴DC1∥平面 A1BD1， 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面 AC1D， ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.
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(2)∵E，F 分别是 AB，AC 的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G∥ ═EB， ∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB.
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∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
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证明线面平行的 3 种方法 (1)线面平行的定义：一般用反证法． (2)线面平行的判定定理：关键是在平面内找(或作)一条 直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程． (3)面面平行的性质定理：两平面平行时，其中一个平面 内的任何直线都平行于另一个平面．
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如图，三棱柱 ABC－A1B1C1，底面 为正三角形，侧棱 A1A⊥底面 ABC，点 E、 F 分别是棱 CC1、BB1 上的点，点 M 是线 段 AC 上的动点，EC＝2FB.
∥α 或 l⊂α，故“直线 l∥α”是“l∥m”的既不充分也不必
要条件．
[答案] D
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3．若 P 为异面直线 a，b 外一点，则过 P 且与 a，b 均平
行的平面(
)
A．不存在
B．零个或一个
C．可以有两个
D．有无数多个
[解析] 若 P 点与直线 a(或 b)确定的平面与直线 b(或 a)
平行，则符合条件的平面不存在；否则，符合条件的平面有
[答案] B
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6．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的 棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中心，点 Q 是 B1D1 上一点，且 PQ∥面 AB1，则线 段 PQ 长为__________．
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[解析] 连接 AB1、AD1， ∵点 P 是平面 AA1D1D 的中心， ∴点 P 是 AD1 的中点， ∵PQ∥平面 AB1， PQ⊂平面 D1AB1，
证明面面平行的 4 种方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平 行．
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(2016·河南许昌三校第三次考试) 如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点．求证：
线平行于这个平面．(
)
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个
平面内的任一条直线．(
)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么
这两个平面平行．(
)
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(4)若直线 a∥α，P∈α，则过点 P 且平行于 a 的直线有无
数条．(
)
(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条
[答案] D
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5．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1
中，棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC
上的点，A1M＝AN＝23a，则 MN 与平面
BB1C1C 的位置关系是(
)
A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定
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[解析] 连接 CD1、AD1，在 CD1 上 取点 P，使 D1P＝23a，连接 MP、NP， ∴ MP ∥ BC ， PN ∥ AD1 ， ∴ MP ∥ 平 面 BB1C1C ， PN ∥ 平 面 AA1D1D ， 又 平 面 BB1C1C∥平面 AA1D1D，∴平面 MNP∥ 平面 BB1C1C，∴MN∥平面 BB1C1C.