2023_年全国高考数学模拟试题（三）

２０２３年全国高考数学模拟试题(三)
李小蛟
(四川省成都市树德中学ꎬ四川成都６１００３１)
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００９４－０７收稿日期:２０２３－０１－０５
作者简介:李小蛟(１９８４.１０－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁选择题:本大题共１２个小题ꎬ每小题５分ꎬ共６０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.１.如果复数ｚ满足ｚ－ｉ＝１ꎬ那么ｚ的最大值是(㊀㊀).
Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.２ｉ
２.已知集合Ａ＝{ｘɪＮ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０}ꎬＢ＝
{１ꎬ３}ꎬ定义集合ＡꎬＢ之间的运算 ∗ :Ａ∗Ｂ＝{ｘ｜ｘ＝ｘ１＋ｘ２ꎬｘ１ɪＡꎬｘ２ɪＢ}ꎬ则Ａ∗Ｂ中的所有元素数字之和为(㊀㊀).
Ａ.１５㊀㊀Ｂ.１６㊀㊀Ｃ.２０㊀㊀Ｄ.２１
３.已知Ｐ是әＡＢＣ所在平面内的一点ꎬ若ＣＢң
－ＰＢң＝λＰＡң
ꎬ其中λɪＲꎬ则点Ｐ一定在(㊀㊀).
Ａ.ＡＣ边所在的直线上㊀Ｂ.ＢＣ边所在的直线上Ｃ.ＡＢ边所在的直线上Ｄ.әＡＢＣ的内部４.设正项等比数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ若２Ｓ３＝３ａ２＋８ａ１ꎬ则公比ｑ＝(㊀㊀).
Ａ.２㊀Ｂ.－３２㊀Ｃ.２或－３２㊀Ｄ.２或
３
２５.下列判断ꎬ不正确的选项是(㊀㊀).Ａ.若ｆａ－ｘ()是奇函数ꎬ则ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)对称Ｂ.曲线ｙ＝ｆ２ｘ－２()＋ｆ１－２ｘ()的图象关于直线ｘ＝
１
２
对称.Ｃ.函数ｆ(ｘ)定义在Ｒ上的可导函数ꎬ若ｆ(ｘ)为偶函数ꎬ则其导函数ｆᶄ(ｘ)为奇函数.Ｄ.若函数ｆ(ｘ)＝ｆ(２－ｘ)ꎬ则函数ｆ(ｘ)图象关
于ｘ＝１轴对称.
６.比较甲㊁乙两名学生的数学学科素养的各项
能力指标值(满分为５分ꎬ分值高者为优)ꎬ绘制了如图１所示的六维能力雷达图ꎬ例如图中甲的数学抽象指标值为４ꎬ乙的数学抽象指标值为５ꎬ则下面叙述错误的是(㊀㊀)
.
图１
Ａ.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值Ｂ.乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值
Ｃ.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
Ｄ.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想
４９
象能力指标值
７.已知过点Ａａꎬ０()作曲线ｙ＝１－ｘ()ｅｘ的切线有且仅有１条ꎬ则ａ＝(㊀㊀).
Ａ.－３㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.－３或１㊀㊀Ｄ.３或１
８.某市高三理科学生有１５０００名ꎬ在一次调研
测试中ꎬ数学成绩ξ服从正态分布Ｎ(９０ꎬσ２)ꎬ已知Ｐ(８０<ξɤ１００)＝０.４ꎬ若按成绩采用分层抽样的方式抽取１００份试卷进行分析ꎬ则应从１００分以上的试卷中抽取的份数为(㊀㊀).
Ａ.６０
Ｂ.４０
Ｃ.３０
Ｄ.１５
９.设方程２ｘ＋ｘ＋２＝０和方程ｌｏｇ２ｘ＋ｘ＋２＝０的根分别为ｐ和ｑꎬ设函数ｆ(ｘ)＝(ｘ＋ｐ)(ｘ＋ｑ)ꎬ则(㊀㊀).
Ａ.ｆ(２)＝ｆ(０)<ｆ(３)㊀Ｂ.ｆ(０)<ｆ(２)<ｆ(３)Ｃ.ｆ(３)<ｆ(２)＝ｆ(０)
Ｄ.ｆ(０)<ｆ(３)<ｆ(２)
１０.已知奇函数ｆ(ｘ)＝３ｓｉｎ(ωｘ＋φ)－ｃｏｓ(ωｘ
＋φ)(ω>０ꎬ０<φ<π)的周期为πꎬ将函数ｆ(ｘ)的
图象向右平移π
６个单位长度ꎬ可得到函数ｙ＝ｇ(ｘ)
的图象ꎬ则下列结论正确的是(㊀㊀).
Ａ.函数ｇ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ－π６æ
èçöø
÷Ｂ.函数ｇ(ｘ)在区间－π６ꎬπ
３
[]
上单调递增
Ｃ.函数ｇ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝－π
１２
对称Ｄ.当ｘɪ０ꎬ
π
２
[
]
时ꎬ函数ｇ(ｘ)的最大值是３１１.如图２ꎬ在棱长为２的正四面体ＡＢＣＤ中ꎬ
点ＮꎬＭ分别为әＡＢＣ和әＡＢＤ的重心ꎬＰ为线段ＣＭ上一点(㊀㊀).
图２
Ａ.ＡＰ＋ＢＰ的最小值为２
Ｂ.若ＤＰʅ平面ＡＢＣꎬ则ＣＰң＝６４ＣＭ
ң
Ｃ.若ＤＰʅ平面ＡＢＣꎬ则三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的表面积为
９π
２Ｄ.若Ｆ为线段ＥＮ的中点ꎬ且ＤＰʊＭＦꎬ则ＭＰ
＝２５
ＭＣ１２.已知Ｆ１ꎬＦ２分别为双曲线Ｃ:ｘ２４－ｙ２
１２
＝１的
左㊁右焦点ꎬＥ为双曲线Ｃ的右顶点.过Ｆ２的直线与双曲线Ｃ的右支交于ＡꎬＢ两点(其中点Ａ在第一象限)ꎬ设ＭꎬＮ分别为әＡＦ１Ｆ２ꎬәＢＦ１Ｆ２的内心ꎬ则ＭＥ－ＮＥ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－¥ꎬ－４３３æèçöø÷ɣ４３３ꎬ＋¥æèçöø
÷
Ｂ.－４３３ꎬ
４３３æè
çö
ø÷Ｃ.－３３５ꎬ
３３５æè
çöø÷Ｄ.
－５３ꎬ５３æè
çöø÷二㊁填空题:每题５分ꎬ满分２０分ꎬ将答案填在
答题纸上.
１３.某车间为了规定工时定额ꎬ需要确定加工零
件所花费的时间ꎬ为此进行了５次试验ꎬ收集到的数据如下表:由最小二乘法求得回归方程为ｙ＾
＝０.６７ｘ＋５４.９ꎬ现发现表中有一个数据ａ模糊不清ꎬ请你推
断出该数据的值为
.
零件数ｘ１０２０３０４０５０加工时间ｙ/ｍｉｎ
６２
ａ
７５
８１
８９
㊀㊀１４.已知关于ｘꎬｙ的不等式组ｘ－ｙ－２ɤ０２ｘ＋ｙ－４ɤ０ｘȡ０ìîíïï
ï表
示的平面区域为Ｍꎬ在区域Ｍ内随机取一点Ｎｘ０ꎬｙ０()ꎬ则｜３ｘ０－４ｙ０－１２｜的最小值
.
１５.数列ａｎ{}满足ａ１
＝２ꎬａｎ＋２＋(－１)ｎａｎ＝
ｓｉｎ
ｎ
４
πꎬ则ａｎ{}前４０项和为.
５９
１６.
已知函数ｆｘ()＝
２ｓｉｎ２πｘ－２πａ()－３ꎬｘ<ａ
－ｘ２
＋２ａ＋１()ｘ－ａ２
＋６()ꎬｘȡａ
ａɪＲ(){
ꎬ若ｆｘ()
在区间０ꎬ＋¥()内恰好有７个零点ꎬ则ａ的取值范围是
.
三㊁解答题:本大题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.
１７.如图３ꎬ已知四边形ＡＢＣＤ是由әＡＢＣ与
әＡＣＤ拼接而成的ꎬ且在ә
ＡＢＣ中ꎬ２ＡＢ－ＢＣ＝ＡＣ２＋ＡＢ２－ＢＣ２
ＡＢ
.
图３
(１)求角Ｂ的大小ꎻ(２)若ｓｉｎøＡＣＤ＝７１４ꎬøＡＤＣ＝５π
６
ꎬＡＤ＝１ꎬＢＣ＝２.求ＡＢ的长.
１８.在如图４所示的五面体ＡＢＣＤＦＥ中ꎬ面
ＡＢＣＤ是边长为２的正方形ꎬＡＥʅ平面ＡＢＣＤꎬＤＦʊＡＥꎬ且ＤＦ＝１
２
ＡＥ＝１ꎬＮ为ＢＥ的中点ꎬＭ为ＣＤ中点.㊀
(１)求证:ＦＮʊ平面ＡＢＣＤꎻ
(２)求二面角Ｎ－ＭＦ－Ｄ的余弦值.
图４
１９.２０２２年６月１７日ꎬ我国第三艘航空母舰
中国人民解放军海军福建舰 下水试航ꎬ这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰ꎬ采用平直通长飞行甲板ꎬ配置电磁弹射和阻拦装置ꎬ满载排水量８万余吨. 福建舰 的建成㊁下水及试航ꎬ是新时代中国强军建设的重要成果.某校为纪念 福建舰 下水试航ꎬ增强学生的国防意识ꎬ组织了一次国防知识竞赛
ꎬ共有１００名学生参赛ꎬ成绩均在区间[５０ꎬ１００]上ꎬ现将成绩制成如图５所示频率分布直方图(每组均包括左端点ꎬ最后一组包括右端点).
图５
(１)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生
进行奖励ꎬ若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表ꎬ试求受奖励的分数线的估计值ꎻ
(２)知识竞赛试卷中有一类双项选择题ꎬ每题有５个备选项ꎬ其中有且仅有２项是正确的.得分规则为:所选选项中ꎬ只要有错误选项ꎬ得０分ꎻ弃答得１分ꎻ仅选１项且正确ꎬ得３分ꎻ选２项且正确得６分.某学生对其中一道双项选择题能确定其中１个选项是错误的ꎬ为使得分的期望最大ꎬ该学生应该选择哪一个策略:①弃答ꎻ②从剩下４个选项中任选１个作答ꎻ③从剩下４个选项中任选２个作答.
２０.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ动圆Ｐ与圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－
４５
４
＝０内切ꎬ且与圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋３
４
＝０外切ꎬ记动圆Ｐ的圆心的轨迹为Ｅ.(１)求轨迹Ｅ的方程ꎻ
(２)过圆心Ｃ２的直线交轨迹Ｅ于ＡꎬＢ两个不
同的点ꎬ过圆心Ｃ１的直线交轨迹Ｅ于ＤꎬＧ两个不同的点ꎬ且ＡＢʅＤＧꎬ求四边形ＡＤＢＧ面积的最小值.
２１.已知函数ｆｘ()＝ｌｎｘ＋
ａ２
ｘ２
(ａɪＲ).(１)当ａ＝１时ꎬ对于函数Ｇｘ()＝ｆｘ()－３ｌｎｘꎬ
存在ｘ１ꎬｘ２ɪ１ꎬ４[]ꎬ使得Ｇｘ１()－
Ｇｘ２()ȡｍ成立ꎬ求满足条件的最大整数ｍꎻ(ｌｎ２ʈ０.６９３)
６９
(２)使不等式ｆ(ｘ)－３ｘȡ
ａ２
ｘ２
＋(ｋ－２)ｘ－ｘｌｎｘ－１－ｂ对任意ｘɪ[１ꎬｅ]恒成立时最大的ｋ记为ｃꎬ
求当ｂɪ[１ꎬ２]时ꎬｂ＋ｃ的取值范围.请考生在２２ꎬ２３两题中任选一题作答ꎬ如果多做ꎬ则按所做的第一题记分.
２２.(本题满分１０分)在平面直角坐标系
ｘＯｙ中ꎬ曲线Ｃ的参数方程为
ｘ＝４＋２ｃｏｓφｙ＝２ｓｉｎφ
{
(φɪ
０ꎬ２π[)).在以坐标原点Ｏ为极点ꎬｘ轴的正半轴
为极轴的极坐标系中ꎬ直线ｌ的方程为ρｃｏｓθ＋π４æèçöø÷＝２.(１)求曲线Ｃ的普通方程和直线ｌ的直角坐标方程ꎻ
(２)已知点Ｐ０ꎬ－２()ꎬ直线ｌ与曲线Ｃ分别交
于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｍ是ＡＢ的中点ꎬ求ＰＭ的长.２３.(本题满分１０分)已知函数ｆｘ()＝２ｘ＋１－ｘ－ａａɪＲ().
(１)若ａ＝１ꎬ解不等式ｆｘ()<１ꎻ
(２)若ｆｘ()>－２恒成立ꎬ求ａ的取值范围.参考答案
１.Ｃ㊀２.Ｄ㊀３.Ａ㊀４.Ａ㊀５.Ｂ㊀６.Ｄ㊀７.Ｃ８.Ｃ㊀９.Ａ㊀１０.Ｃ㊀１１.Ｄ㊀１２.Ｂ１３.６８㊀１４.４㊀１５.３０２１６.８３ꎬ１７６æèç]ɣ３ꎬ１１３
æèç]
１７.(１)因为２ＡＢ－ＢＣ＝ＡＣ２＋ＡＢ２－ＢＣ２
ＡＢꎬ
所以ＢＣ２＋ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＣ ＡＢ.在әＡＢＣ中ꎬ由余弦定理可得ｃｏｓＢ＝ＢＣ２＋ＡＢ２－ＡＣ２２ＡＢ ＢＣ＝１２.
因为０<Ｂ<πꎬ所以Ｂ＝
π３
.(２)在әＡＤＣ中ꎬ由正弦定理ꎬ得ＡＤｓｉｎøＤＣＡ()＝ＡＣ
ｓｉｎＤ
.
可得
ＡＣｓｉｎ
５π６＝１
７１４
.解得ＡＣ＝７.
在әＡＢＣ中ꎬ由余弦定理ꎬ得７＝４＋ＡＢ２－２ˑ２ˑＡＢˑ１２
.可得ＡＢ２－２ＡＢ－３＝０.解得ＡＢ＝３.(负值舍去)
１８.(１)过点Ｎ作ＮＨʅＡＢ于点Ｈꎬ因为Ｎ为ＢＥ的中点ꎬ所以ＮＨ
１
２
ＡＥ.因为ＤＦʊＡＥꎬ且ＤＦ＝
１
２
ＡＥ＝１ꎬ所以四边形ＮＨＤＦ为平行四边形.所以ＦＮʊＤＨ.
因为ＦＮ⊄面ＡＢＣＤ且ＨＤ⊂面ＡＢＣＤꎬ所以ＦＮʊ平面ＡＢＣＤ.
(２)以Ａ为原点ꎬＡＢꎬＡＤꎬＡＥ所在的直线分别为
ｘꎬｙꎬｚ轴建立空间直角坐标系ꎬ则Ｎ(１ꎬ０ꎬ１)ꎬＦ(０ꎬ２ꎬ１)ꎬＭ(１ꎬ２ꎬ０).
所以ＮＦң＝－１ꎬ２ꎬ０()ꎬＭＦң
＝－１ꎬ０ꎬ１().
设平面ＭＮＦ的法向量为ｍ＝ｘꎬｙꎬｚ()ꎬ
则ｍ ＮＦң
＝－ｘ＋２ｙ＝０ꎬｍ ＭＦң
＝－ｘ＋ｚ
＝０.{
令ｙ＝１ꎬ则ｘ＝ｚ＝２.
图６
所以ｍ＝２ꎬ１ꎬ２().
因为ＡＥʅ平面ＡＢＣＤꎬＤＦʊＡＥꎬ所以
ＤＦʅ平面ＡＢＣＤ.因为ＡＤ⊂平面ＡＢＣＤꎬ
７９
所以ＤＦʅＡＤ.
因为ＡＤʅＤＣꎬＤＣɘＤＦ＝ＤꎬＤＣꎬＤＦ⊂平面ＭＦＤꎬ所以ＡＤʅ平面ＭＦＤ.
所以平面ＭＦＤ的法向量可以为ｕ＝０ꎬ１ꎬ０().设二面角Ｎ－ＭＦ－Ｄ为θꎬ由图可知二面角Ｎ－ＭＦ－Ｄ为钝角ꎬ则
ｃｏｓθ＝－
ｍ ｕｍ ｕ＝－１
３
.
所以二面角Ｎ－ＭＦ－Ｄ的余弦值为－
１
３
.１９.(１)由频率分布直方图可知
１００.００６＋０.００８＋ａ＋０.０２６＋０.０４２()＝１ꎬ
解得ａ＝０.０１８.
平均分的估计值为０.０６ˑ５５＋０.２６ˑ６５＋０.４２ˑ７５＋０.１８ˑ８５＋０.０８ˑ９５＝７４.６ꎬ
所以受奖励的分数线的估计值为７４.６.(２)策略①弃答的得分为１分.设策略②的得分为ＸꎬＸ的可能值为０ꎬ３ꎬＰ(Ｘ＝０)＝Ｃ１２Ｃ１４＝１２ꎬＰ(Ｘ＝３)＝Ｃ１２
Ｃ１４＝１２ꎬ则Ｘ的分
布列为:
Ｘ０３Ｐ
０.５
０.５
㊀㊀期望为ＥＸ()＝０ˑ０.５＋３ˑ０.５＝１.５.
设策略③的得分为ＹꎬＹ的可能值为０ꎬ６ꎬＰ(Ｙ
＝６)＝Ｃ２２
Ｃ２４＝１６
ꎬＰ(Ｙ＝０)＝１－Ｐ(Ｙ＝６)＝５６.
则Ｙ的分布列为:
Ｙ０６Ｐ
５
６
１６
㊀㊀期望为ＥＹ()＝０ˑ
５６＋６ˑ１
６
＝１.显然Ｅ(Ｙ)＝１<Ｅ(Ｘ)ꎬ所以应选策略②.２０.(１)设动圆Ｐ的半径为Ｒꎬ圆心Ｐ的坐标
为ｘꎬｙ()ꎬ由题意可知:圆Ｃ１的圆心为Ｃ１－１ꎬ０()ꎬ半径为７
２
ꎻ圆Ｃ２的圆心为Ｃ２１ꎬ０()ꎬ半径为
１
２
.因为动圆Ｐ与圆Ｃ１内切ꎬ且与圆Ｃ２外切ꎬ所以ＰＣ１＝７２－ＲꎬＰＣ２
＝１２＋Ｒ.ìî
í
ïï
ïï所以ＰＣ１＋ＰＣ２＝４>Ｃ１Ｃ２＝２.
所以动圆Ｐ的圆心的轨迹Ｅ是以Ｃ１ꎬＣ２为焦点的椭圆.
设其方程为ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ
２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ其中２ａ＝４ꎬ
２ｃ＝２ꎬ所以ａ＝２ꎬｂ２＝３.
从而轨迹Ｅ的方程为ｘ２４＋ｙ２
３
＝１.
(２)当直线ＡＢ的斜率不存在ꎬ或为０时ꎬ四边形ＡＤＢＧ面积Ｓ＝１２ˑ长轴长ˑ通径长＝１２
ˑ２ａˑ２ｂ２
ａ
＝６.当斜率存在且不为０时ꎬ设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ－１()ｋʂ０()ꎬＡｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ
由ｙ＝ｋｘ－１()ꎬｘ２４
＋ｙ２３＝１ꎬ
ìîíïï
ï得４ｋ２＋３()ｘ２－８ｋ２ｘ＋４ｋ２－１２＝０.
所以ｘ１＋ｘ２＝８ｋ２４ｋ２＋３ꎬｘ１ｘ２＝４ｋ２－１２
４ｋ２＋３.
所以ＡＢ＝１＋ｋ２ｘ２－ｘ１
＝１＋ｋ２ˑｘ２＋ｘ１()２－４ｘ１ｘ２
＝
１＋ｋ２
ˑ
８ｋ２４ｋ２＋３æèçöø
÷２－４ˑ４ｋ２
－１２４ｋ２
＋３＝１２ｋ２＋１()４ｋ２＋３
.
因为ＡＢʅＤＧꎬ所以
ｋＤＧ＝－
１
ｋ
.同理可得ＤＧ＝１２ｋ２＋１()
３ｋ２＋４
.
因为ＡＢʅＤＧꎬ所以四边形ＡＤＢＧ面积
８９
Ｓ＝１
２
ＡＢˑＤＧ＝
１２ˑ１２ｋ２
＋１()４ｋ２＋３ˑ１２ｋ２
＋１()３ｋ２＋４
＝
７２ｋ２＋１()２
４ｋ２＋３()３ｋ２＋４()
ȡ７２ｋ２＋１()２
４ｋ２＋３＋３ｋ２＋４２æèçöø
÷
２
＝２８８
４９<６ꎬ当且仅当４ｋ２＋３＝３ｋ２＋４时取等号ꎬ即ｋ＝ʃ１时ꎬＳｍｉｎ
＝２８８４９
.２１.(１)由已知可得Ｇｘ()＝ｆｘ()－３ｌｎｘꎬｆｘ()＝ｌｎｘ＋ａ
２ｘ２ꎬａ＝１.
所以Ｇｘ()＝１２
ｘ２
－２ｌｎｘꎬＧᶄｘ()＝ｘ－
２ｘ＝ｘ２
－２ｘ
.当１ɤｘ<２时ꎬＧᶄｘ()<０ꎬ函数Ｇｘ()在
１ꎬ２[)上单调递减ꎻ当２<ｘɤ４时ꎬＧᶄｘ()>０ꎬ函数Ｇｘ()在
２ꎬ４(]上单调递增.
又Ｇ１()＝
１
２
ꎬＧ４()＝８－４ｌｎ２ꎬＧ２()＝１－ｌｎ２ꎬ因为ｌｎ２ʈ０.６９３ꎬ
所以Ｇ２()<Ｇ１()<Ｇ４().所以函数Ｇｘ()在１ꎬ４[]上的最大值为８－４ｌｎ２ꎬ最小值为１－ｌｎ２.
因为存在ｘ１ꎬｘ２ɪ１ꎬ４[]ꎬ使得Ｇｘ１()－Ｇｘ２()ȡｍ成立.所以Ｇｘ()[]ｍａｘ－Ｇｘ()[]ｍｉｎȡｍ.所以ｍɤ７－３ｌｎ２.
又因为ｌｎ２ʈ０.６９３ꎬ所以７－３ｌｎ２ʈ４.９２１.
所以满足条件的最大整数ｍ的值为４.(２)因为ｘ>０ꎬ所以原不等式可变为
ｋɤｆ(ｘ)－３ｘ－
ａ２
ｘ２
＋ｘｌｎｘ＋ｂ＋１ｘ
＋２
＝
ｘｌｎｘ＋ｌｎｘ＋ｂ＋１
ｘ
－１.
令ｇ(ｘ)＝ｘｌｎｘ＋ｌｎｘ＋ｂ＋１
ｘ
－１ꎬ则
ｇᶄ(ｘ)＝
ｘ－ｌｎｘ－ｂ
ｘ２
.令ｐ(ｘ)＝ｘ－ｌｎｘ－ｂꎬ则ｐᶄ(ｘ)＝１－
１ｘ＝ｘ－１ｘ
.当ｘɪ[１ꎬｅ]时ꎬｐᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则ｐ(ｘ)单调递增.所以ｐ(ｘ)ｍｉｎ＝ｐ(１)＝１－ｂꎬｐ(ｘ)ｍａｘ＝ｐ(ｅ)＝ｅ－１－ｂ.①当ｐ(１)ȡ０ꎬ即ｂ＝１时ꎬ在[１ꎬｅ]上ｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则ｇ(ｘ)单调递增.
所以ｃ＝ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(１)＝ｂꎬ
ｃ＋ｂ＝２ｂ＝２.
②当ｐ(ｅ)ɤ０ꎬ即ｂɪ[ｅ－１ꎬ２]时ꎬｇᶄ(ｘ)ɤ０ꎬ则ｇ(ｘ)单调递减.所以ｃ＝ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(ｅ)＝ｂ＋２
ｅ
ꎬｂ＋ｃ＝
ｂ＋２ｅ＋ｂɪ[１ｅ＋ｅꎬ４
ｅ
＋２].③当ｐ(１)ｐ(ｅ)<０时ꎬｐ(ｘ)在(１ꎬｅ)上单调递
增ꎬ存在唯一的实数ｘ０ɪ(１ꎬｅ)ꎬ使得ｐ(ｘ０)＝０.
即ｘ０－ｌｎｘ０－ｂ＝０.所以ｂ＝ｘ０－ｌｎｘ０.
则当ｘɪ(１ꎬｘ０)时ꎬｐ(ｘ)<０ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)单
调递减ꎻｘɪ(ｘ０ꎬｅ)时ꎬｐ(ｘ)>０ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)单调递增.
所以ｃ＝ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(ｘ０)＝ｘ０ｌｎｘ０＋ｌｎｘ０＋ｂ＋１
ｘ０
－１＝
１
ｘ０
＋ｌｎｘ０ꎬｂ＋ｃ＝ｘ０－ｌｎｘ０＋１ｘ０＋ｌｎｘ０＝ｘ０＋１ｘ０
.令ｈ(ｘ)＝ｘ－ｌｎｘꎬ则
ｈᶄ(ｘ)＝１－
１
ｘ
.
９９
当ｘɪ(１ꎬｅ)时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｈ(ｘ)单调递增.所以ｂɪ(１ꎬｅ－１)时ꎬｘ０ɪ(１ꎬｅ).所以ｂ＋ｃ＝ｘ０＋
１ｘ０ɪ(２ꎬｅ＋１ｅ).综上ꎬｂ＋ｃɪ[２ꎬ
４
ｅ
＋２].２２.(１)由曲线Ｃ的参数方程ꎬ消去参数φꎬ可得其普通方程为ｘ－４()２＋ｙ２＝４.
由直线ｌ的方程ρｃｏｓθ＋π４æ
èçöø÷＝２ꎬ可得
ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝２.则其直角坐标方程为ｘ－ｙ＝２.即ｘ－ｙ－２＝０.
(２)由(１)可知ꎬＰ０ꎬ－２()在直线ｌ上.故直线ｌ的参数方程为ｘ＝２２ｔꎬｙ＝－２＋２２ｔ.ìîíïï
ïï(ｔ为参数)
将其代入曲线Ｃ的普通方程ꎬ整理可得ｔ２－６２ｔ＋１６＝０.则有ә＝
－６２()２－４ˑ１６>０.
记交点ＡꎬＢ对应的参数为ｔ１ꎬｔ２ꎬ有ｔ１＋ｔ２＝６２ꎬｔ１ｔ２＝１６.
那么ＡＢ的中点Ｍ对应的参数ｔ＝ｔ１＋ｔ２
２
＝３２ꎬ从而ＰＭ＝
ｔ１＋ｔ２
２
＝３２.即ＰＭ的长为３２.
２３.(１)若ａ＝１ꎬ由ｆ(ｘ)<１ꎬ得２ｘ＋１－ｘ－１<１.应用零点分段法原不等式等价于ｘɤ－
１２
－２ｘ＋１()＋ｘ－１()<１
{
或
－
１
２
<ｘɤ１２ｘ＋１()＋ｘ－１()<１
{
或
ｘ>１ꎬ
２ｘ＋１()－ｘ－１()<１.
{
解得－３<ｘɤ－
１２或－１２ɤｘ<１
３
或ｘ无解.故所求不等式解集为－３ꎬ１３æ
èçöø÷.(２)ｆｘ()>－２恒成立ꎬ等价于ｆｘ()ｍｉｎ>－２ꎬ分类讨论如下:
①若ａ>－
１
２
ꎬ可得ｆｘ()＝－ｘ－１－ａꎬｘɤ－１２ꎬ３ｘ＋１－ａꎬ－１
２<ｘɤａꎬｘ＋１＋ａꎬｘ>ａ.ìîíïï
ï
ïïï
则有ｆｘ()ｍｉｎ＝ｆ－１２æèçöø÷＝－１２－ａ>－２ꎬ
解得ａ<３
２
.即有－
１２<ａ<３
２.②若ａ<－
１
２
ꎬ可得ｆｘ()＝－ｘ－１－ａꎬｘɤａꎬ－３ｘ－１＋ａꎬａ<ｘɤ－１２
ꎬ
ｘ＋１＋ａꎬｘ>－１２
.
ìîíïïïï
ïï则有ｆｘ()ｍｉｎ＝ｆ－１２æèçöø÷＝１２＋ａ>－２ꎬ解得ａ>－５
２
.即有－
５２<ａ<－１２
.(３)若ａ＝－１
２
ꎬ可得ｆｘ()＝２ｘ＋１－
ｘ＋
１２
＝ｘ＋
１
２
>－２ꎬ显然符合题意.
综上所述ꎬ所求ａ的取值范围是－５２ꎬ３２æ
èçöø
÷
.[责任编辑:李㊀璟]
００１。