2015年高考数学走出题海之黄金30题系列(第01期)专题02新题精选30题文(含解析)

2015年高考数学走出题海之黄金30题系列
专题二 新题精选30题
1．设,x y ∈R ，且1i 3i x y +=+，则i x y +等于
A ．2
B ．4
C
D ．10
【答案】C 【解析】
试题分析：由复数相等的条件可得x=3,y=1;从而i x y +1013322=+=
+=i ；故选C.
2．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为
A ．1 :
B ．3
C ．9
D ．27
【答案】A 【解析】
试题分析：由程序框图知，当输入的x=3知，x>0成立故y=log 33=1,所以输出的y=1; 故选：A ．
3．“2a =”是“{}{}1,1,2,3a ⊆”的
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：由2a =知{}{}1,1,2,3a ⊆成立，反之，由{}{}1,1,2,3a ⊆不能得到2a =，还有可能a=3;由充
要条件的概念可知“2a =”是“{}{}1,1,2,3a ⊆”的充分而不必要条件. 故选A.
4．已知y x ,满足2,1,220,x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪--≤⎩
则z x y =-的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】
C
5．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面命题正确的是
Ａ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α Ｂ．若a ∥b ，b α⊂，则a ∥α Ｃ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ Ｄ．若αβ⊥，a β⊂，则a α⊥ 【答案】C 【解析】
试题分析：对于A ，直线a 可能平行α，也有可能在α平面内的，所以A 错误； 对于B ，直线a 同样可能平行α，也有可能在α平面内的，所以B 错误；
对于C ，由于两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，所以a α⊥正确； 对于D ，互相垂直的两个平面中的一个平面内的一直线，既有可能与另一平面平行，也有可能相交，还有可
能线在面内的，所以D 错误； 故选：C ．
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22sin sin sin A B B C -，
c =，则角A 等于
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150 【答案】A 【解析】
试题分析：由正弦定理可知：条件
22sin sin sin A B B C -等价于：bc b a 32
2
=-，又c =，
由余弦定理有2
3
233222cos 22222=
-=--=-+=bc b a b c bc a c b A ， 又因为o
o A 1800<<， 所以A=30o
, 故选A.
7．若过点(的直线l 与曲线y =l 的斜率的取值范围为
A ．11,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．⎡⎣ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：如图：由于曲线y =1为半径的在X 轴上方的一个半圆；
不难求得过点(的直线与半圆相切时的斜
率为：
21；所以直线 的斜率的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故选D.
8．函数cos(sin )y x =的图象大致是
【答案】B 【解析】 试题分析：由2
1sin 12
π
π
<
≤≤-<-
x ，所以cos(sinx)>0,故排除A ，D ；
且知余弦函数在[0，1]上是减函数，故排除C ； 从而选B.
9．在等边ABC ∆中，6AB =,且D ,E 是边BC 的两个三等分点，则∙等于
A. 18
B. 26
C. 27
D. 28 【答案】B 【解析】
试题分析：如图
A
∙)()(+∙+=
)31
()32(+∙+
= )3
1
32()3231(+∙+= 229
2
9592+∙+=
20269
2
60cos 6695692⨯+⨯⨯+⨯=
=26 故选B.
10．已知1F 为双曲线22
:
11411
x y C -=的左焦点，直线l 过原点且与双曲线C 相交于,P Q 两点．若011=∙QF PF ，则△1PFQ 的周长等于
A ．10
B ．10
C ．22
D ．24 【答案】C
11．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()f x f x -=,()()22f x f x +=-．若曲线()y f x =在
1x =-处的切线方程为30x y -+=，则曲线()y f x =在5x =处的切线方程为
A ．30x y --=
B ．70x y --=
C ．30x y +-=
D ．70x y +-= 【答案】D 【解析】
试题分析：由()()f x f x -=,()()22f x f x +=-得
)()())2(2()22()4(x f x f x f x f x f =-=+-=++=+
知函数()f x 是以4为周期的周期函数, 所以2)1()1()14()5(=-==+=f f f f
又由()()22f x f x +=-知: 曲线()y f x =关于直线x=2对称， 所以1)1()5(-=-'-='f f ；
从而曲线()y f x =在5x =处的切线方程为)5(2--=-x y 即70x y +-=； 故选D.
12．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ）
A ．i 54
B ．
5
4
C ．i 4
D ．4 【答案】B 【解析】 试题分析：
()()()534534(34)43,3434345
i i
i z i z i i i ++-=+∴=
==
--+，故虚部为54. 13．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(－2，1)，在平面区域0
+20x x y y ≥⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
上取一点N ，则使MN 取得最小
值时，点N 的坐标是( )
A .(0，0)
B . (0，1)
C . (0，2)
D . (2，0) 【答案】B 【解析】
试题分析：作出不等式组0+20x x y y ≥⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域，
得到ABO ∆及其内部，其中()()()2002000A B ，，，，，,点N 是区域内的动点，运动点N ,可得当N 坐标为
()01，时，MN y ⊥轴，此时MN 取得最小值2,故选：B .
14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ）
A .4
B .4-
C .6
D .6-
【答案】B 【解析】
试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()0
0301f m m =+=⇒=-，
()()()
3log 533log 5log 5314f f ∴-=-=--=-.
15．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，
若存在,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19
m n
+的最小值为( ) A .2 B .16 C .83
D .
32
【答案】C 【解析】 试题分析：
23211112,2a a a a q a q a =+∴=+，得2q =（负值舍去）
，又2116m n a a a ⋅=，所以112241111621626m n m n a q a q a m n --+-⋅=⇒==⇒+=，所以
(
)9191919863n m
m n m n m n m n ++
+
⎛⎫
+=++=≥
= ⎪⎝⎭，当且仅当69m n n m m
n +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即
39
,22
m n ==时，取等号.
16．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】
试题分析：21(11)1s =+-=，不满足判断框中的条件，k =2；21(21)2s =+-=，不满足判断框中的条件，
k =3；22(31)6s =+-=，不满足判断框中的条件，k =4；26(41)15s =+-=，不满足判断框中的条件，k =5；215(51)31s =+-=，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k =5；故选C ．
17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )
A .
B
C .
D 【答案】C
试题分析：由三视图知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体，故体积等于
考点：三视图、几何体体积
18．已知F 1、F 2
,P
双曲线离心率的取值范围是（ ）
A . (1,2]
B . [2 +∞)
C . (1,3]
D . [3，+∞)
【答案】C 【解析】
试题分析：设2 PF m =，则()12P F a m m c a =+≥
-,，所以()2
22
12|24|8|| 4a m a m a m PF m
a PF +==++=，得2m a =，所以2c a a -≤，3e ≤ ，故选C .
19．已知PC 为球O 的直径，,A B 是球面上两点，且6,4
AB APC BPC π
=∠=∠=
,若球O 的表面积为
64π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）
A
．B
．
C
D ．
5
21
2 【答案】A 【解析】
试题分析：因为球O 的表面积为64π，所以球的半径为4，如图，
由题意APC BPC ∆∆，均为等腰直角三角形，求出PA AC PB BC ====∴90POA POB ∠=∠=︒，所以PC ⊥平面ABO ．又6AB ABO =∆， 为等腰三角形，则
162S ABO =⨯=，进而可得： 1
243
P ABC C AOB P AOB
V V V =+=⨯⨯=﹣﹣﹣ 故答案为：A .
20．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A . ∞（-，0）
B . 1
2
（0，） C .
（0，1） D .
+∞（0，）
【答案】B 【解析】
，显然要使()
f x 21．sin15cos15-=o o
12 C. 2-12-
【答案】C 【解析】 试题分析：
2
11(sin15cos151-2sin15cos15=1-=,sin15cos150,sin15cos15222
-=-<∴-=）o
o o
o
o o o o
Q Q
法2:
sin15cos15sin(4530)cos(4530)2
-=---=-
o o o o o o
法3：
sin15cos15cos45cos15sin 45)45)2
-=-=-=-
o o o o o o o o 22．一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为 A. 38 B.382π- C.382π+ D. 12π- 【答案】A 【解析】
试题分析：由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其表面积为2
2(343141)212138ππ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=，故选A.
23．已知1,a b ==
，且a b ⊥，则||a b +为（ ）
（A （B （C ） 2 （D ）【答案】B 【解析】
试题分析：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，2
2
2
2123a b a a b b +=+⋅+=+=，所以3a b +=
，故选B.
24．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222
a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积
为（ ）
（A ）
1
2
（B ）1 （C （D ）2 【答案】C 【解析】
试题分析：2
2
2
a b c bc =+-,由余弦定理得2
2
2
2cos a b c bc A =+-，所以1cos ,23
A A π
=
=，所以1
sin 2
ABC S bc A ∆=
=，故选C. 25．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
11
12
，则判断框中填写的内容可以是( )
（A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤ 【答案】C 【解析】
试题分析：第一次运算结果为11
0,22422
S n =+
==+=；第二次运算结果为113,426244S n =+==+=；第三次运算结果为3111
,6284612
S n =+==+=，这时应输出结果，停止
运算，对照选项，应选C.
26．函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有(
)()44f x f x π
π+=-，则()4
f π
等于( )
（A ）2或0 （B ）2-或2 （C ）0 （D ）2-或0 【答案】B 【解析】
试题分析：因为x ∀都有(
)(
)4
4
f x f x π
π
+=-，所以函数()f x 的对称轴为直线4
x π
=
，所以当4
x π
=
时，
函数()f x 取得最大值或最小值，所以()2()244
f f ππ
==-或，故选B.
27．已知抛物线:C x y 42
=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点．若
AF mFB =，则m 的值为（ ）
（A （B ）3
2
（C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】
试题分析：如下图所示，抛物线的准线为l ，直线1)y x =-恒过抛物线的焦点(1,0)F ，过点,A B 分别作直线,AA l BB l ''⊥⊥，垂足分别为,A B ''，过B 作直线BC AA '⊥于C ，则(1)AB m BF =+，
(1)AC m BF =-，60BAC ∠=︒，所以
(1)(1)
2(1)(1)
AB m BF m AC m BF m ++===--，解之得3m =，故选D.
28．若关于x 方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且只有两个解，则 （ ） （A ） 1b = （B ）0b = （C ）1b > （D ） 0b > 【答案】B 【解析】
试题分析：函数log (0,1)a y x b a a =+>≠的图象如图所示，由图可知，只有当0b =时，函数
log (0,1)a y x b a a =+>≠与直线y b =有且内有两个公共点，即方程log (
0,1)a x b b a a +=>≠有且
29．（本小题满分14分）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足2
99
,9971-=-=+S a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n
n S b 21
=
，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T .
【答案】（Ⅰ）21
2
n n a +=-
.（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）基本量法，设出1,a d ，列出方程，解之即可.
（Ⅱ）先求数列{}n a 的前n 项和n S ，从而可求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法求其n 项和n T ，放缩可证结论成立.
30．（本大题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k AB
AE
=，点F 为PD 中点. (Ⅰ)若2
1
=
k ，求证：直线AF //平面PEC ； (Ⅱ)是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB ，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由，
【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)存在，2
k =. 【解析】
试题分析：(Ⅰ)证线面平行，可在平面内构造一直线与已知直线平行即可，即作//FM CD 与PC 相交于点
M ，连接EM ，则直线EM 就是在平面内构造的直线，只要证//AF EM 即可.(Ⅱ)先假设存在常数k ，
使平面PED ⊥平面PAB ，由面面垂直的判定求出k 的值，写过程时再返过来写出结果即可. 试题解析：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M .
∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=
. ∵21=k ，∴FM AB AE ==2
1
，又FM ∥CD ∥AB ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，
∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………6分
(Ⅱ)存在常数2
2
=
k ，使得平面PED ⊥平面PAB ．…………8分 ∵
k AB AE =，1AB =
，22=k ，∴2
AE =， 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB .
又∵PD D E D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，
∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分。