高中数学第五章计数原理1计数原理1-3基本计数原理的简单应用分层作业北师大版选择性必修第一册

排在后面3个数位,有4×3×2=24(种)情况,则组成无重复数字的四位数有
4×24=96(个),故选项B正确;
对选项C,若0在个位,有4×3×2=24(个)四位偶数,若0不在个位,有
3×3×2×2=36(个)四位偶数,则组成无重复数字的四位偶数共有
24+36=60(个)四位偶数,故选项C错误;
对选项D,组成无重复数字的四位奇数有3×3×2×2=36(个),故选项D错误.
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12.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为( B )
A.9
B.12
C.18
D.24
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13.[2023辽宁葫芦岛高二校联考期中]如图,提
解 (1)可分成两步完成,第一步,先选出停在原来车位的那辆车,有4种情况,
第二步,停放剩下的3辆车,将剩余3辆车分别编号为A,B,C,将剩余3个停车
位分别编号为一、二、三,设A车先选停车位,此时有2种停法,剩余两辆车
有且只有1种停法,所以有2种停法,根据分步乘法计数原理,共有4×2=8(种)
停法.
A级
必备知识基础练
1.[2023云南楚雄第一中学校考阶段练习]甲、乙、丙三名同学报名参加学
校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、百米比赛,每人限报一项,不同的报
名方法数为( C )
A.12 B.24 C.64 D.81
解析 甲、乙、丙三名同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳
远、百米比赛,每人限报一项,每人有4种报名方法,根据分步乘法计数原理,
结合图形可知,底面上的六条棱所在的直线中的每一条与和它不相交的四
条侧棱所在的四条直线中的每一条能构成异面直线.
再由分步乘法计数原理知,可构成异面直线6×4=24(对).
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8.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域
号买一注),需要( D )
A.3 360元
B.6 720元
C.4 320元
D.8 640元
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5.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中
甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有
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所以比赛局数为5局时共有2×6=12(种),综上可知,共有2+6+12=20(种).故
选C.
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11.(多选题)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜,甲、乙两人每人在该窗口打
2种菜,且每人至多打1种荤菜,则下列说法中正确的是( AB )
x+y=1 000(a1+a2)+100(b1+b2)+10(c1+c2)+(d1+d2),
1 + 2 = 2,
1 + 2 = 0,
根据题意得
其中 ai,bi,ci,di(i=1,2)均为自然数,满足条件
1 + 2 = 1,
1 + 2 = 8,
a1+a2=2的自然数对(a1,a2)有(0,2),(1,1),(2,0),共3对;满足条件b1+b2=0的自
C级
学科素养创新练
17.已知A∪B={a1,a2,a3},且A≠B,当A≠B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这
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样的(A,B)对有
个.
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18.一个非负整数的有序数对(x,y),如果在做x与 y的加法时不用进位,则称
A.甲若选一种荤菜,则有6种选法
B.乙的选菜方法数为9
C.若两人分别打菜,总的方法数为18
D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同,则方法数为30
解析 若甲打一荤一素,则有2×3=6(种)选法,故A正确;若乙打一荤一素,则
有6种选法,若打两素,则有3种选法,共9种选法,故B正确;选项C应为
9×9=81(种)方法,选项D应为2×3×2+3×2×1=18(种).
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10.两人进行乒乓球比赛,采取五局三胜制,即先赢三局者获胜,决出胜负为
止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( C )
A.10种
B.15种
C.20种
D.30种
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15.整数630不同的正因数(包括1和630)共有
24
个.
解析 整数630=2×32×5×7;
然后注意到每一因数可出现的次幂数,2可有20,21两种情况,
3有30,31,32三种情况,
5有50,51两种情况,7有70,71两种情况,
按分步乘法计数原理,整数630的正因数(包括1和630)共有
2×3×2×2=24(个).
供4种不同的颜色给图中A,B,C,D四块区域涂色,
若相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂
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法共有
种.
解析 先对B区域涂色,共有4种不同的涂法,再对D区域涂色,共有3种不同的
涂法,再对A区域涂色,共有2种不同的涂法,最后对C区域涂色,共有2种不同
的涂法,
根据分步乘法计数原理,则不同的涂法共有4×3×2×2=48(种).
可知共有4×4×4=64(种)不同的报名方法.故选C.
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2.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点
(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是( C )
A.100 B.90 C.81 D.72
然数对(b1,b2)有(0,0),共1对;满足条件c1+c2=1的自然数对(c1,c2)有(0,1),(1,0),
共2对;满足条件d1+d2=8的自然数对(d1,d2)有
(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0),共9对,由分步乘法计数原理
综上,一共有2+2+3×8=28(种).
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7.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面
直线共有多少对?
解 底面上的六条棱所在的直线共面,则每两条之间不能构成异面直线.
六条侧棱所在的直线共点,每两条之间也不能构成异面直线.
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16.相邻的4个车位中停放了4辆不同的车,现将所有车开出后再重新停入这
4个车位中.
(1)若要求有3辆车不得停在原来的车位中,有多少种不同的停法?
(2)若要求所有车都不得停在原来的车位中,有多少种不同的停法?
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D.组成无重复数字的四位奇数有28个
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解析 对选项A,四位数的首位不能为0,有4种情况,其他数位有5种情况,则组
成可以有重复数字的四位数有4×5×5×5=500(个),故选项A正确;
对选项B,四位数的首位不能为0,有4种情况,在剩下的4个数字中任选3个,
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14.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、
戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、
己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成
60
组.
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(x,y)为“中国梦数对”,x+y称为“中国梦数对”(x,y)的和,则和为2 018的“中国
梦数对”的个数为
54
.
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解析 设x=1 000a1+100b1+10c1+d1,y=1 000a2+100b2+10c2+d2,则
有4种不同的选法;
第四步,选数学天地用的彩色粉笔,只要与理综世界不同即可,有5种不同的
选法.
由分步乘法计数原理知,共有6×5×4×5=600(种)不同的书写方案.
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B级
关键能力提升练
9.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学,在数学检测时要求
96
种.
6.[2023上海嘉定高二校考期中]已知a,b∈{0,1,2,…,9},若满足|a-b|≤1,则称
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a,b“心有灵犀”,则a,b“心有灵犀”的种数共有
.
解析 当a为0时,b只能取0,1两个数;
当a为9时,b只能取8,9两个数;
当a为其他数时,b都可以取三个数,例如当a=1时,b可取0,1,2.
故选AB.
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4.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想
从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个
号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全(每组
不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用,则该板报有多
少种书写方案?
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解 第一步,选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;
第二步,选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角相同,有5种不同的选法;
第三步,选理综世界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不相同,
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3.(多选题)[2023广东湛江高二校考阶段练习]已知数字0,1,2,3,4,由它们组
成四位数,下列说法正确的有( AB )
A.组成可以有重复数字的四位数有500个
B.组成无重复数字的四位数有96个
C.组成无重复数字的四位偶数有66个
可知,和为2 018的“中国梦数对”的个数为3×1×2×9=54.
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(2)将4辆车分别编号为A,B,C,D,将4个停车位分别编号为一、二、三、四.
不妨设A车先选停车位,此时有3种停法,若A车选了二号停车位,那么B车再
选,有3种停法,剩下的C车和D车都只有1种停法,故共有3×3=9(种)停法.
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解析 由题意知,比赛局数最少为3局,至多为5局.当比赛局数为3局时,情形
为甲或乙连赢3局,共2种;当比赛局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,
最后一局甲赢,共有3种情形;同理,若乙赢,则也有3种情形,所以共有6种情
形;当比赛局数为5局时,前4局,甲、乙双方各赢2局,最后一局胜出的人赢,
若甲前4局赢2局,共有赢取第1,2局,1,3局,1,4局,2,3局,2,4局,3,4局六种情形,
每位教师不能在本班监考,则监考的方法种数是( B )
A.8
B.9
C.10
D.11
解析 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为a,b,c,d.若A监考b,则余
下三人监考剩下的三个班,共有3种不同方法.同理,若A监考c,d时,也分别有
3种不同方法.由分类加法计数原理,得监考方法共有3+3+3=9(种).