初中数学专题训练--变量函数--变量与函数经典例题

例1、下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？如果不是，
解：（1）y 是x 的函数； （2）y 是x 的函数；
（3）y 不是x 的函数，因为对于变量x=1，变量y 有1与-1两个值与它对应； （4）y 是x 的函数
说明：对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义. 例 2、判断下列关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式| y |=x 中的y 与x.
分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化
过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应. 解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对
应，所以长与面积是函数关系.
（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，
它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.
（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与
身高是函数关系.
（4）x 每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以| y | = x 不是函数关系.
说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和
它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.
例 3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳
的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.
分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程
等于速度乘以时间. 解：85080S t =-
0S t ≥⎧⎨
≥⎩ 得850800
t
t -⎧⎨
≥⎩
850.8
t ∴≤≤
于是汽车距沈阳的路程S 与时间t 的函数关系式为85080S t =-，自变量t 的取值范围是850.8
t ≤≤
例 4、求下列函数中自变量x 的取值范围：
（1）235y x =- （2）21y x =+ （3）22y x =
- （4）21
23
x y x x -=--
（5）y = （6）y =
（7）y =
（8）y =分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函
数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负. 解：（1）函数2
35y x =-的自变量x 的取值范围是躯体实数 （2）函数21y x =+的自变量x 的取值范围是躯体实数 （3）
20,2,x x -=∴=
∴
当2x =时，分母20x -=，
∴函数2
2
y x =
-的自变量的取值范围是2x ≠； （4）由2
230x x --=解得123,1,x x ==-
∴ 当3x =或1x =-时，分母2230x x --=，
∴ 函数21
23
x y x x -=
--的自变量x 的取值范围是3x ≠且1x ≠-
（5）由230x -≥解得3
2
x ≤，
∴
函数y =x 的取值范围是 32
x ≤
； （6）由30x +≥得3x ≥-，由20x +=得2x =-，当2x ≠-时，分母20x +≠，
∴
函数2
y x =
+的自变量x 的取值范围是3x ≥-且2x ≠-； （7）
22224213(1)30,x x x x x ++=+++=++≥
即对于任意实数x ，2
24x x ++都是非负的，
∴
函数y =x 的取值范围是全体实数；
（8）由630,360x x -≥⎧⎨-≥⎩得1
12
,122
x x x ⎧≥⎪⎪
∴=⎨
⎪≤
⎪⎩
因此，函数y =x 的取值范围是12
x =.
典型例题五
例 已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）
分析 ：由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：
（1）若经过A 、B 两点的函数的图象是直线，设其解析式为b kx y +=，则有
⎩⎨⎧+=+=.22,4b k b k 解之，得⎩
⎨
⎧=-=.6,
2b k 此时，函数解析式为.62+-=x y
（2）由于A 、B 两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A 、B 两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为：x
y 4
=
. （3）如果经过A 、B 两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为 c bx ax y ++=2（0≠a ）
，则有 ⎩⎨
⎧++=++=.
242,
4c b a c b a
解之，得⎩⎨
⎧+=--=.
6,
23a c a b
因此，只要a 、b 、c 同时满足关系式23--=a b 和62+=a c ，即可保证二次函数
c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无数
个.如取a =1，则有b =-5，c =8，相应图象所对应的二次函数的解析式为：852+-=x x y .
（4）其他略.
典型例题六
例 （北京市海淀区，1999）如图，在矩形ABCD 中，P BC AB ,7,4==是BC 边上与B 点不重合的动点，过点P 直线交CD 的延长线于R ，交AD 于Q （Q 与D 不重合），且
045=∠RPC 。

设x BP =，梯形ABPQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并求自
变量x 的取值范围。

解 在矩形
A B C 中，7
==BC AD ，
090,4=∠==C DC AB 。

∵ 045=∠RPC ，∴ .450
RPC R ∠==∠ ∴ .RC PC =
∵ ,x BP =∴ .7x PC -= ∵ AD ∥BC ，∴
RC
RD
PC QD =。

∴ .347x x DC RC RD QD -=--=-== ∴ .4)3(7x x QD AD AQ +=--=-= ∵ ,)(2
1
AB BP AQ S ABCD ⋅+=
梯形∴ .84+=x y 当Q 与D 重合时，.3,4===BP DC PC ∵P 与B 不重合，Q 与D 不重合， ∴ 自变量x 的取值范围是.30<<x
典型例题七
例 下列函数中与y=3x 表示同一函数的是（ ）
（1）y = （2）2
3x y x
=
（3）2y = （4）y =
（5）y =分析：只有对应关系相同，自变量的取值范围相同，函数值的取值范围也相同的函数才是同一函数.
解：（1）y ==与y=3x 的对应关系不同，所以它们不是同一函数.
（2）23x y x
=中x 不能取0，而y=3x 中x 可取任意实数，因此，自变量的取值范围不同，
它们不是同一函数.
（3）2y =中x 的取值范围是非负数，所以它与y=3x 表示不同的函数.
（4）|3|y x =
=中函数值范围是非负数.所以y =与y=3x 不是同一函数.
（5）3y x ==因为y =y=3x 的对应关系相同，函数值的取值范围也相同，所以它们是同一函数.
典型例题八
例 求下列函数中自变量x 的取值范围：
（1）235y x =- （2）21y x =+ （3）22y x =
- （4）21
23
x y x x -=--
（5）y = （6）2
y x =
+
（7）y =
（8）y =分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义。

（1）、（2）小题函
数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负。

解：（1）函数2
35y x =-的自变量x 的取值范围是躯体实数 （2）函数21y x =+的自变量x 的取值范围是躯体实数 （3）
20,2,x x -=∴=
∴
当2x =时，分母20x -=，
∴函数2
2
y x =
-的自变量的取值范围是2x ≠；
（4）由2
230x x --=解得123,1,x x ==-
∴ 当3x =或1x =-时，分母2230x x --=，
∴ 函数2
1
23
x y x x -=
--的自变量x 的取值范围是3x ≠且1x ≠- （5）由230x -≥解得3
2
x ≤，
∴
函数y =x 的取值范围是 3
2
x ≤；
（6）由30x +≥得3x ≥-，由20x +=得2x =-，当2x ≠-时，分母20x +≠，
∴
函数y =
x 的取值范围是3x ≥-且2x ≠-； （7）
22224213(1)30,x x x x x ++=+++=++≥
即对于任意实数x ，2
24x x ++都是非负的，
∴
函数y =x 的取值范围是全体实数；
（8）由630,360x x -≥⎧⎨-≥⎩得1
12
,122
x x x ⎧≥⎪⎪
∴=⎨
⎪≤
⎪⎩
因此，函数y =x 的取值范围是12
x =
典型例题九
例 下列函数中与x y 5=表示同一函数的是一个函数？
（1）x y =与x x y 2)(=； （2）x y 2=与332x y =； （3）x y 3=与2)3(x y =；
（4）x y 1=
与2x
x y =. 解：（1）它们不是同一函数。

（x 的取值范围不同） （2）它们不是同一函数。

（函灵敏的对应关系不同）
（3）它们不是同一函数 （函数值的取值范围不同） （4）它们是同一函数
（对应关系相同，自变量，函数值的取值范围均相同）
典型例题十
例 求下列函数自变量的取值范围： （1）321-=x y ；（2）x
y -=21； （3）3-=
x y ；
（4）325-=x y ； （5）3
1
--=
x x y ；（6）4212++=x x y .
解：（1）自变量x 的取值范围是一切实数
（函数表达式为整式，x 取一切实数） （2）02≠-x ，2≠∴x
（函数表达式为分式，取分母不为0的一切实数） （3）03≥-x 3≤∴x
（函数表达式为二次根式取被开方数不小于0的实数） （4）x 取一切实数
（函数表达式为三次根式，x 为任意实数） （5）⎩⎨
⎧≠-≥-0
30
1x x （这里不能用“或”应用“且”）
解得⎩
⎨⎧≠≥31x x
∴自变量的取值范围是1≥x ，且3≠x 的一切实数
（6）03)1(422
2
≠++=++x x x
（配方是关键）
∴x 为任意实数时，y 均有意义即自变量x 的取值范围为一切实数.
典型例题十一
例 已知函数x
a a y 41
62+-=，当2=x 时，1-=y ，（1）确定此函数（2）求当21=
x 时，y 的值
解：（1）当2=x ，1-=y （要理解函数值的定义）时，有
2
41612⨯+-=-a a 即0962
=+-a a
（实际是解方程） 解出：3=a
把3=a ，代入x
a a y 41
62+-=得
（求出的a 值代回函数中）
x
y 2
-=∴自变量的取值范围是0≠x 的全体实数
（这一步要注明） （2）x y 2-
= 当2
1=x 时，42
12
=-=y
（实际是求代数式的值）
∴当2
1
=
x 时，函数值y 是4-.
典型例题十二
例 一盛满10吨水的水箱，每小时流出5.0吨水。

水箱中水量y （吨）与时间x （时）之间有什么函数关系？x 的取值范围是什么？
解 ∵ 每小时流出5.0吨水，∴ x 小时流出x 5.0吨。

∴ .5.010x y -=
显然，有⎩⎨
⎧≥-≥.
05.010,
0x x ∴ .200≤≤x ∴ )200(5.010≤≤-=x x y .
说明：本题考查函数式的列法，解题关键是要弄清各数量之间的关系，易错点是忽视在实际问题中自变量的取值范围.
选择题
1. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积1
2
S ah =，当a 为定长时，在此式子中（ ）
（A ）S 、h 是变量，a 是常量 （B ）S 、h 、a 是变量，1
2
是常量 （C ）a 、h 是变量，12、S 是常量 （D ）S 是变量，1
2
、a 、h 是常量 2. 在函数
y =
中，自变量x 的取值范围是（ ）
（A ）1x ≠ （B ）1x ≠-
（C ）3x ≥-且1x ≠ （D ）3x ≥-或1x ≠- 3. 已知函数21
2
x y x -=
+，当x m =时函数值为1，则m 值为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）-3 （D ）-1
4. 若函数22
2
2
x x y x --=+，与函数值0y =对应的x 的值是（ ） （A ）1x =-或2x = （B ）1x =或2x =-
（C ）1x =-且x ≠
（D ）1x =-或x ≠5. 自变量的取值范围是
1
13
x <<的函数是（ ）
（A ）y =
（B ）y = （C ）
y =
（D ）y =
+
6．函数431
-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．34≠x B ．1-≠x C ．34<x 且1-≠x D ．3
4
>x
7．函数x
y 421
-=
的自变量x 的取值范围是（ ）
A ．2≥x
B ．2>x
C ．21<
x D ．2
1≤x 8．下列函数中，自变量取值范围选取错误的是（ ）
A ．2
x y =中，x 取全体实数 B ．1
1
-=
x y 中，0≠x C ．1-=x y 中，1≥x D ．1-=x y 中，1-≠x
9．如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y （元）与圆珠笔的支数x 之间的函数关系式是（ ） A ．x y 23=
B ．x y 3
2
= C ．x y 12= D ．x y 18= 10．已知函数m
x x x y 4422
+--=
的自变量x 的取值范围是全体实数，则实数m 的取值范
围是（ ）
A ．1>m
B ．1<m
C ．1≥m
D ．1≤m
11．已知函数33524232
21;)(;;;x y x y x y x
x y x y =====，其中相同的两个函数是
（ ）
A ．1y 与2y
B ．1y 与3y
C ．1y 与4y
D ．1y 与5y
12．有一内角为120°的平行四边形，它的周长为l ，如果它的一边为x ，与它相邻的另一边长y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=
210)2(21x x l y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛
<<-=210)2(21x x l y C ．()l x x l y <<-=
0)(21 D ．()l x x l y <≤-=0)(2
1
答案
1.A
2. C
3. B
4. A
5. D 6．A 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12．B .
填空题
1．函数12
-+=
x x
y 中自变量x 的取值范围是_______. 2．函数3
-=
x x
y 的自变量x 的取值范围是_________. 3．函数x y 21-=中自变量x 的取值范围是______；函数1
1
+=x y 中自变量x 的取值范围是_______. 4．14. x
x
x y -+
-=21中自变量x 的取值范围是______. 5．圆锥的体积为3
50cm ，则圆锥的高h （cm ）与底面积)(cm 2
S 之间的函数关系是________. 6．将)2(2
1
≠++=
y y y x 改用x 的代数式表示y 的形式是_____；其中x 的取值范围是________. 7．函数2
01
)2(1x x x x y +--÷
=
中自变量x 的取值范围是________.
8．物体从离A 处20m 的B 处以6m/s 的速度沿射线AB 方向作匀速直线运动，t 秒钟后物体离A 处的距离为s m ，则s 与t 之间的函数关系式是________，自变量t 的取值范围是_______. 9．等腰三角形的周长是50cm ，底边长是x cm ，一腰长为y cm ，则y 与x 之间的函数关系式是______；自变量x 的取值范围是______.
10. 平行四边形相邻的边长为x 、y ，它的周长是30，则y 关于x 的函数关系式是_______， 自变量x 的取值范围是 .
11. 某水果批发市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元.小于携带现金3000元到市场采购苹果,并以批发价买进,如果购买的苹果为x 千克,小王付款后的剩余现金为y 元,则y 与x 之间的函数关系式是＿＿＿,自变量x 的取值范围是 .
12. 用50牛的力推动一个物体,所做的功W(焦)与物体移动距离S(米)之间的函数关系式是 ,自变量S 的取值范围是 .
答案
1．1≥x 2．0≥x 且3≠x 3．1,21-≠≤
x x 4．1≤x 5．S h 150= 6．1,112≠--x x
x 7．0>x 且1≠x 和2 8．0,620≥+=t t S 9．250,250<<-=x x y 10.15,015y x x =-<< 11. 3000 2.5,1001200y x x =-≤≤ 12. 50,0W s s =>.
解答题
1、分别指出下列各关系式中的变量与常量：
(1) 球的表面积S(cm 2)与球半径R(cm)的关系式是S=4πR 2;
(2) 设圆柱的底面半径R(cm)不变，圆柱的体积V(m3)与圆柱的高h(m)的关系式是v=πR 2h;
(3) 以固定的速度V O (米／秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之 间的关系式是h=V O t-4.9t 2.
2、分别写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与函数：
(1) 设一长方体盒子高为10cm ，底面是正方形，求这个长方体的体积V(cm 3)与底面边长a(cm)的关系；
(2) 秀水村的耕地面积是106(m 2)，求这个村人均占有耕地面积x(m 2)与人数n 的关系
(3) 设地面气温是20℃，如果每升高1km ，气温下降6℃，求气温t(℃)与高度h(km)的关系.
3．已知1)3)(2(=++y x 。

（1）用含x 的代数式表示y ，并指出x 的取值范围；
（2）求当0=x 时，y 的值；当0=y 时，x 的值。

4．写出等腰三角形的顶角的度数y 与底角x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。

5.求下列函数中，自变量x 的取值范围；
6．求下列函数自变量的取值范围
（1）x x y 2133++=； （2）2
12--+=x x y ； （3）x x y --=21； （4）1
)2(0
---=x x x y . 7．已知函数1112
+-=x y
（1）求自变量x 的取值范围；
（2）若点)5,(m 在此函数的图象上，求m 的值；
（3）在此函数的图象上，是否有纵坐标为2的点？求出该点的坐标；若没有，请说明理由。

8．在A B C ∆中，已知4,3,6===CA BC AB ，任取AB 上一点M ，作BC MQ AC MP /,//，设AM 的长为x ，平行四边形MPCQ 的周长为y ，求出y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围.
9．ABC ∆中，已知C B ∠∠,的平分线交于点D ，设A ∠和BDC ∠的度数分别为x 和y ，写出y 与x 之间的函数关系式，并求x 的取值范围.
10.设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.
答案：
1.略
2.(1)V=10a 2，自变量是a ，函数是V ；(2)61ln 10x n =
⋅，自变量是n ，函数是x;(3)t=20-6h,自变量是h ，函数是t.
3．（1）253++-=x x y ，x 取值范围是2-≠x 的一切实数（2）0=x 时，2
5-=y ，0=y ，3
5-=x 4．)900(2180︒<<︒-︒=x x y
5.（1）全体实数（2）4x ≠（3）5x ≥（4）21x x ≠≠-且
6．（1）全体实数；（2）1≥x 且5≠x ；（3）2≤x 且1≠x ；（4）1>x 且2≠x
7．（1）0≠x 且1-≠x 的全体实数（2）32=
m （3）不存在 8．)60(831<<+-=x x y 9．)1800(902
1︒<<︒︒+=x x y 10.y=0.1x,x 取正整数.。