2023最新高二数学上册期末考试试卷及答案

2023最新高二数学上册期末考试试卷及答案
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
1、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则(　C　)
A．p：∃x∈R，sinx≥1
⌝
B．p：∀x∈R，sinx≥1
⌝
C．p：∃x∈R，sinx>1
⌝
D．p：∀x∈R，sinx>1
⌝
2．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此
数列前20项和等于( B )．
A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
3．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( C )．
A ．5
B ．13
C ．
13
D ．
37
4．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线x 2a 2y 2
b 2的离心率为( D )
A. B. C.
D. 7
35
44
35
3
5．在△ABC中，能使sinA ＞成立的充分不必要条件是( C )
3
2A ．A∈ B ．A∈ C ．A∈
(0，π
3)(π3，2π3)(π3，π
2)D ．A∈(π2，5π
6)6．△ABC 中，如果
＝
＝
，那么△ABC 是( B )．
A
a
tan B
b
tan C
c tan A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
7.
如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，
F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为(　B )
A ．1∶2
B ．1∶1
C ．3∶1
D ．2∶1
8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线A B 1夹角的余弦值为(　A )
A. B.
555
3C. D. 25
53
59．当x ＞1时，不等式x ＋≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D 1
1
-x )．
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，3]
10．若不等式组，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋分为⎪⎩
⎪⎨
⎧4
≤ 34 ≥30
≥y x y x x ＋＋34
面积相等的两部分，则k 的值是( A )．
A ．7
3
B ．3
7
C ．4
3
D ．34
11．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是(　A )
A ．a ≤－4
B ．a ≥－4
C ．a ≥－12
D ．a ≤－12
12．定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)
在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为 ( B )
A.
B. C. D. (0，2
2)(0，3
3)(0，5
5)(0，6
6)解析　
由于定义为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，
得f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)＝0，即f (1)＝0，故f (x ＋2)＝f (x )，可知f (x )的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f (x )的部分图象，如图，
∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f (x )的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f (2)＝－2且0<a <
1，解得a ∈。

(0，
3
3
)
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置
13．已知某抛物线的准线方程为y ＝1，则该抛物线的标准方程为________。

x 2＝－4y
14.若a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是________。

75
15．过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M 平分，则
22
1164
x y +=这条弦所在直线
的斜率等于________　－
1
216．已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令
a n ＝，n ∈N *。

记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2
1
f n ＋1 ＋f n 016＝________。

－1
2 017
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
17．(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C 。

(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝
，求△ABC 的面积。

2
解　(1)由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ，
∵a ＝b ，∴a ＝2c 。

由余弦定理，得cos B ＝
＝
a 2＋c 2－
b 2
2ac
＝。

a 2＋1
4a 2－a 2
2a ×1
2
a
14(2)由(1)得b 2＝2ac 。

∵B ＝90°，a ＝
，∴a 2＋c 2＝2ac ，∴a ＝
2
c ＝，∴S △ABC ＝ac ＝1。

21
218．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足Error!
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

解　(1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得：(x －3a )(x －a )＜0，当a ＝1时，解得1＜x ＜3，
即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3。

由Error!解得：2＜x ≤3，
即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3。

若p 且q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3。

(2)p 是q 的必要不充分条件，即q 推出p ，且p 推不出q ，
设集合A ＝{x |p (x )}；集合B ＝{x |q (x )}，则集合B 是集合A 的真子
集，
又B ＝(2,3]，
当a ＞0时，A ＝(a,3a )；a ＜0时，A ＝(3a ，a )。

所以当a ＞0时，有Error!解得1＜a ≤2，当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意，
19．(本小题满分12分)已知动圆经过点F (2,0)，并且与直线x ＝－2相切。

(1)求动圆圆心P 的轨迹M 的方程；
(2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l 与轨迹M 相交于A ，B 两点，求|AB |。

解　(1)设动圆圆心P (x ，y )。

因为动圆经过点F (2,0)，并且与直线x ＝－2相切，
所以点P 到定点F (2,0)的距离与到定直线x ＝－2的距离相等，故点P 的轨迹是一条抛物线，其焦点为F ，准线为x ＝－2，设轨
迹方程为y 2＝2px (p ＞0)，则＝2，
p
2所以轨迹M 的方程为y 2＝8x 。

(2)轨迹M 的焦点(2,0)，直线l 的斜率k ＝tan 135°＝－1，于是其方程为y ＝－(x －2)。

由Error!消去y 得x 2－12x ＋4＝0。

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16。

20．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 是直角三角形，且PA ＝AB ＝AC 。

又平面QBC 垂直于底面ABC 。

(1)求证：PA ∥平面QBC ；
(2)若PQ ⊥平面QBC ，求锐二面角Q －PB －A 的余弦值。

解　(1)证明：过点Q 作QD ⊥BC 交BC 于点D ，因为平面QBC ⊥平面ABC 。

所以QD ⊥平面ABC 。

又PA ⊥平面ABC ，所以QD ∥PA 。

而QD ⊂平面QBC ，PA ⊄平面QBC ，所以PA ∥平面QBC 。

(2)因为PQ ⊥平面QBC ，
所以∠PQB ＝∠PQC ＝90°。

又PB ＝PC ，PQ ＝PQ ，所以△PQB ≌△PQC ，所以BQ ＝CQ 。

所以点D 是BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ，因此AD ⊥平面
QBC ，故四边形PADQ 是矩形。

分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设PA ＝2a ，则Q (a ，a,2a )，B (0,2a,0)，P (0,0,2a )。

设平面QPB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
因为＝(a ，a,0)，＝(0,2a ，－2a )，PQ → PB
→ 所以Error!取n ＝(1，－1，－1)。

又平面PAB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，设锐二面角Q －PB －A 的大小为θ，
则cos θ＝|cos〈m ，n 〉|＝＝，
m ·n
|m ||n |3
3即锐二面角Q －PB －A 的余弦值等于。

3
321．(本小题满分12分)若的前n 项和为，点均在函数y ＝
{}n a n S ),(n S n 的图像上。

x x 2
1
232-（Ⅰ）求数列的通项公式;=3n-2{}n a n a （Ⅱ），是数列的前n 项和，
1
3
+=n n n
a a
b n T {}n b (1) 点均在函数y ＝的图像上,
),(n S n x x 2
12
32-=,
∴n S n n 2
1
232-
故 ,…=
-1
n S
)1(2
1
)1(232---n n )2(≥n 从而当2
≥n -=3n-2,即=3n-2,
n
S 1
-n S n
a 又当n=1时,,满足上式
111
==S a
=3n-2
∴n a (2) ,=3n-2, 1
3
+=
n n n a a b n a =∴)13)(23(3
+-=
n n b n 1
31
231+--n n =∴++-+-+-
=...101717141411n T 131231+--n n .1
331311+=+-n n n 22．(本小题满分12分)已知椭圆x 2＋2y 2＝a 2(
a ＞0)的一个顶点和两
个焦点构成的三角形的面积为4。

(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在x 轴上的点M (m,0)，使得对任意的k ∈R ，·为定值？若存在，求MA → MB
→
出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

解　(1)设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，
则b 2＝，由c 2＝a 2－b 2，得c 2＝a 2－＝，a 22a 22a 2
2由×b ×2c ＝4解得a 2＝8，b 2＝4，则椭圆方程为
1
2＋＝1。

x 28y 2
4(2)由Error!
得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得
x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，
4k 2
2k 2＋12k 2－8
2k 2＋1则·＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)MA → MB
→ ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(m ＋k 2)·(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2
＝(k 2＋1)－(m ＋k 2)＋k 2＋m 2
2k 2－82k 2＋14k 2
2k 2＋1＝－
＋m 2， 5＋4m k 2＋82k 2＋1
当5＋4m ＝16，即m ＝时，·＝－为定值，
11
4MA → MB
→ 7
16故存在点M
，使得·为定值。

(11
4，0
)MA → MB
→。