第1讲一元二次方程的根与解法学生版

初中数学联赛体系
第1讲 一元二次方程的根与解法
【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念
1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.
2、一元二次方程必须满足的三大条件 （1）整式方程
（2）含有一个未知数
（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式
形如关于x 的一元二次方程：)0(02
≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边
是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2
ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）
二、一元二次方程的根与解法
1、一元二次方程的根
0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）
的根的充要条件是002
0=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：
（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成
)0()(2≥=±a a b x 的形式
（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,
3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02
=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除
以a ，使得二次项系数为1.
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程
（1）对于一元二次方程02
=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(a
ac
b a b x -=+， ①当042
≥-ac b 时，得a
ac
b b x 242-±-=；
②当042
<-ac b 时，一元二次方程无实数解.
（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.
（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：
①必须把一元二次方程化成一般式02
=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42
-的值：
当04Δ2
≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：a
ac
b b x 242-±-=；
当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程
（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.
（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.
6、含字母系数一元二次方程的解法
解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.
【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】
1、用分解因式法解下列方程
（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）
062
5412=-+x x （4）021)1(4)1(2
=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程
（1） 0222
=--x x （2）010342
=+-x x
（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）06105442
2
=--++-p x p px x
【对应训练】：
1、用公式法解下列方程
（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+
（4）1
(61)432(2)2
x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x
【例3】解下列方程
（1）42200x x --=；
（2）06)13(2)32(2=----x x ；
（3）.02)23()21(2=++-+x x
【例4】解下列方程 （1）4122+-=x x
（2）112432--=-+x x x
【例5】解关于x 的方程 （1）；0)(222=++-ab x b a abx
（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---
【例6】
1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .
2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .
3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .
4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=b
a
【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.
【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,012
2
=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.
【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.
【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足a
x x 1
021<
<<.当10x x <<时，
证明：12x c bx ax x <++<.
【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程
0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.
（1）求证：.2++=b a ab
（2）若b a ,为正整数，求a
b a
b b
a b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040
>++-x x x
【课后强化训练】
A 组
1、下列方程中，是一元二次方程的序号是
①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③31
2=x
； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043
=+-x x ； ⑦22
=t ； ⑧03
32
=-
+x
x x ； ⑨
22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax
2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .
3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则
a
b
b a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x
5、等腰三角形的两边的长是方程091202
=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++
--2
219
294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则
_________=b
a
. 10、已知方程(
2011x
)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x
2＋2010x －
2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．
11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .
12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程
（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x
（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x
（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x
（7）)3)(21()12(5+-=-x x x
14、用因式分解法解下列方程：
（1）t (2t －1)＝3(2t －1)； （2）y 2＋7y ＋6＝0；
（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．
（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝0
15、解下列方程
（1）0)34()45(22=---x x ； （2）06)23(2=++-x x ；
（3）0154)35(222=----x x ； （4）02)32()347(2=----x x ；
（5）62
9
332+=-+++x x x x .
16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程
02
22=++++
d
b x
c a x 也有一个根为1.
17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.
B 组
1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是 、
2、已知正实数a b c ，，满足方程组222
229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是
3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，
且使得α5
3
为整数，则m 可取 个值.
4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则
123cS bS aS ++的值是
5、已知1=x 是方程02
=++c bx ax 的根，0≠abc .则)1
11(32333
222c
b a
c b a c b a +++++++的值是 .
6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012
≠-ab ，5
2213⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .
7、解下列关于x 的方程
（1）03222=-+m x m x ； （2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；
（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；
（5）
02)5(522=--+-x m x m ）（.
8、已知下面三个方程有公共根.
02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .
求证：abc c b a 3333=++.
9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.
10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，
则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.
11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .
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第2讲 可化为一元二次方程的方程（组）
模块一、特殊高次方程的解法
次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.
【例1】解下列方程
（1）13322)132(222+-=+-x x x x
（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x
（3）.3
123=--x x x
（4）.022224223=-+++x x x
（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x
【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.
【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.
模块二、特殊分式方程的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。

当未知数的范围缩小时，需将可能遗失的根找回。

【例4】解下列方程
（1）.5)2
2(
22=++x x x
（2）
010
131101*********=+-++++++x x x x x x
（3）15
831561510222+-=+-+-x x x x x x x
（4）
3
2232332-+-=-+-x x x x
（5）3
523522322322222－－－－x x x x x x x x ++=++
【例5】（2001年全国TI 杯初中数学竞赛B 卷压轴题）已知关于x 的方程
01)1
)(72()1)(
1(22=+-+---x x a x x a （1）求a 的取值范围，使得方程有实根。

（2）求a 的取值范围，使得方程恰有一个实根，并求出相应的实根。

（3）若原方程的两个相异实根为21,x x ，且
11
3112211=-+-x x x x ，求a 的值。

模块三、特殊无理方程的解法
根号下含有未知数的方程叫做无理方程（或根式方程）.解无理方程的基本思路是把根式方程转化为有理方程求解，转化过程中常用的方法有:乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等，如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方），可能产生增根，因此，因注意验根.
【例6】解下列方程
（1）0226622=--+--x x x x x
（2）x x x x =---++1112
（3）2412322=+--++x x x x
（4）
a x a x a x a x a x 22222=++---+
（5）x
x x x x 1111-=---
【例7】解关于x 的方程.1222x x p x =-+-
模块四、特殊方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组均可用代入法求解.若两个二元二次方程中的一个可分解为两个一次方程，则可化归为前面一种情形.
对于两二元二次方程组组成的方程组，若二次项系数对应成比例，则可加、减消元，得到一个二元一次方程再与其中一个二元二次方程联立；若某一未知元对应项的系数成比例，则可利用加、减消元，得到一个元二次方程，先求出另一未知元；若非二次项成比例，则可利用加、减消去非二次项，得到一可分解的二元二次方程（否则无解）.
一般地，解二元二次方程组时，应先把方程写成022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 形式，对齐同次项，以利于观察、比较、分析.解题的基本思想是消元、降次、化归.
【例8】解下列方程组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=-4
832222y xy x y x ；
（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-1
3432222y xy x y x
（3）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-0
16207132362222y y xy x y y xy x
（4）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++24
340322222y y xy x y xy x
（5）⎪⎩⎪⎨⎧=---++=---++0
612125135014443732222y x y xy x y x y xy x
（6）⎩⎨⎧=++=++5
73333xy y x y x y x
（7）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+0
200182233x y x xy y x
（8）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3
33555522z y x z y x z y x
【例9】求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----++=+--+0
7203322222z yz xy z y x x xy y x 的实数解.
【例10】解方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x
【课后强化训练】
A 组
1、方程组)0(42222≠⎪⎩⎪⎨⎧==+a x
y a y x 的实数解的组数为 2、方程)1(4)1(222x x x -=+的解是
3、方程12)2)(1(22=++++x x x x 的解是
4、方程x
x x x ||34||=-
的解是 5、方程组⎩
⎨⎧=-=+122z xy y x 的实数解是
6、已知y x ,是正整数，且⎩⎨
⎧=+=++8807122xy y x y x xy ，则=+22y x 7、方程x
x x x +=++2221的解是 8、方程0215522=---+x x x x 的解是
9、已知b a 、都是负实数，且0111=--+b a b a ，则a
b 的值是
10、解下列方程
（1）.656)4(44=-+x x
（2）
.90)384)(23(22=++++x x x x
（3）.5)13)(14)(16)(112(=----x x x x
（4）
.6=)1+)(4+3()7+6(2x x x
（5）023*******=++-+x x x x .
11、解下列方程
（1）.370)4
651524(31)35582717(29++-++-=++++-x x x x x x x x
（2）1
3213223232222+-++=+-++x x x x x x x x
12、解下列方程
（1）18199815215222-=+---x x x x
（2）193525222=----x x x x x
（3）x x x x x x x +=
--+23
（4）115385322=++-++x x x x
（5）1123+-=+x x
B 组
1、（2001年湖南省高中理科实验班招生试题）若关于x 的方程
x
kx x x x x k 1122+=---只有一个解，求k 的值及方程的解.
2、解关于x 的方程x x a a =+-
3、解下列方程组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+--+03630224222y x xy x y x xy x
（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-5
142322222y xy x y xy x
（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++7
91224224y xy x y y x x
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第3讲 判别式的应用
在使用公式法求解实系数一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax
时，用判别式ac b 42
-=∆的符号可以确定方程实根的个数，从而准确的求出方程的解集.但是，并不是所有有关一元二次方程的问题都要去求根.这样一来，仅涉及到一元二次方程实根的个数问题，判别式就起到了举足轻重的作用. 模块一、利用判别式处理实根个数问题
【例1】已知关于x 的方程01)1()1(22=+++-x m x m 有实根，求实数m 的范围.
【例2】若关于x 的方程05)2(22
=+++-m x m mx 无实根，试判定关于x 的方程0)2(2)6(2=++--m x m x m 的实根的情况.
【例3】（2014年成都市九年级上期中考试）如果关于x 的一元二次方01122
=++-x k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
【例4】已知方程.012)()1(222
2
2=-+++-+a a x x a ax 有实根，求实数a 的取值范围.
【例5】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-|5|2有且只有相异两实数根？
【例6】已知三个关于x 的方程
,0222=+++c x b a x
,0222=+++a x c b x
.0222=+++b x a c x
其中c b a ,,是正实根.求证：在上述三个方程中至少有一个方程有实根，也至少有一个方程最多有一个实根.
【例7】已知三个关于x 的方程02=+-m x x ，012)1(2=++-x x m 和012)2(2=-+-x x m .若其中至少有两个方程有实根，求实数m 的取值范围.
【例8】设非零实数d c b a ，，，满足d c a b c b d b a )(2)(22222+≤+++，试判断一元二次方程022=+-c bx ax 的实根个数.
模块二、利用判别式求函数最值
利用二次方程的判别式求函数的最值是一种常用的重要方法，其理论依据是： 如果函数)(x f y =满足关于x 的方程
).(0)()()(2R x y c x y b x y a ∈=+⋅+⋅
且y 有最大值M ，最小值.0)(,0)(,≠≠m a M a m 那么，由方程（*）有实根当且仅当可解出.M y m ≤≤
在解题时，因为先得出的是不等式M y m ≤≤，所以需要说明当)
(2)(y a y b x -=时，),(M y m y ==或,y 取到m 或M .
【例9】求函数1
22++=x x x y 的最大值与最小值.
【例10】已知实数y x ,满足
6)3(322=-+-y x ）（，试求x
y 的最大值与最小值.
【例11】设函数1
2++=x b ax y 的最大值为M ，最小值为)0(m M m >>，求b a ,的值（用m M ，表示）.
模块三、利用判别式证明不等式
【例12】设实数m z y x ,,,满足不等式m z y x z y x 4)(2)(2
222+++≥++.
求证：m zx yz xy 3≥++.
模块四、有理根与无理根的判定
定理 有理系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有理数根的充要条件是它的判别式∆是一个有理根数的平方.
证： 充分性：
设2r =∆（r 为有理数），则方程的两根为a r b x 21+-=，a r b x 22--=.由于r b a ,,都是有理数，所以21,x x 都是有理数.
必要性：
设0x 是方程的有理根，则a
b x 20∆±-=. ∴ ∆±=+b ax 02，∴ 202）
（b ax -=∆.
0,,x b a 为有理数，∴ b ax +02为有理数，
202）
（b ax -=∆是一个有理数的平方. 由上面定理可知，利用二次方程的判别式可以判定根的有理性与无理性.
【例13】设m 为有理数，试求k 的值，使方程0423642
2=+-++-k m m x mx x 有有理根.
【例14】若方程0222=++q px x 有实根，其中q p ,都为奇数，求证：此方程必有两个无理根.
【课后强化训练】
A 组
1、若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆与平方式 20)2(b ax M +=的关系是（ ）
A.M >∆
B.M =∆
C.M <∆
D.∆不确定
2、当m 时，方程032)1(2=-++-m mx x m 有两个实数根.
3、实数y x ,满足5422=--y x x ，则y x 2-的取值范围是
4、（2014广州）若关于x 的方程023222=-+++m m mx x 有两个实数根1x 、2x ，则
22211)(x x x x ++的最小值为 .
5、若0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实根，则b a +的值是
6、（1）关于x 的一元二次方程04)13(2)13(2
=+++-+m x m x m 有两个相等的实根，则
m 的值是 .
（2）关于x 的方程0)1()1(2
=++++m x m x 有两个不等的实根，则m 的值是 . （3）关于x 的方程08)18(22=+++k x k kx 有实数根，则k 的取值范围是
7、已知b a ,为整数，方程032=-+-b ax x 有两个不相等的实根；方程
07)6(2=-+--b x a x 有两个相等的实数根；方程05)4(2=-+-+b x a x 没有实数根.求
b a ,的值.
8、设c a b a +>>,0，求证：方程02=++c bx ax 必有两个不同的实根.
9、证明，对于正整数c b a ,,如果发现0)(2
2
2
2
2
2
=+--+b x c b a x c 无实根，那么以c b a ,,为长的线段能够组成一个三角形.
10、设)(4321133221b b b a a a a a a ++=++，求证：实系数方程
0112=++b x a x ， 0222=++b x a x ， 0332=++b x a x ，
中至少有一个方程有实数根. 11、已知))(()(4
1
2a c b a c b --=-，求证：a c b 2=+.
12、求下列函数的最值. （1）1352+--=x x x y ； （2）6
322
2
+++=x x x y ; (3)222x x y -+=.
13、设k b a ,,是有理数，0,≠+=a k
c
ak b ，求证：02=++c bx ax 的根是有理数.
14、已知关于x 的方程0223)1(422=+-+--k m m x m x 对于任意有理数m 均有有理数 根，试求k 的值.
B 组
1、设r q p ,,是有理数，求证：二次方程0)()(2)(2
=-+++-++r q p x q p x r q p 的根是有理数.
2、若m a a a ,,,321都是非零实数，且 m a a a a a m a a )(2)(3122
32222221+=+++， 求证：312
2a a a =.
3、设p 是质数，如果方程05802=--p px x 的两根均为整数.求p 的值.
4、已知实数p r c b a ,,,,满足条件02,1=+->ra b pc pr .求证：一元二次方程022=++c bx ax 有实数根.
5、求方程122++-=+y xy x y x 的实数解.
初中数学联赛体系
第4讲 韦达定理
【知识要点与基本方法】
1.一元二次方程根的根与系数关系（韦达定理）
韦达定理：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根1x 和2x ，那么
=+21x x ，=⋅21x x .我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数
的关系，简称韦达定理.
注：在实数范围内运用韦达定理，必须注意0Δ≥这个前提条件，而应用判别式△的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数0≠a ，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件0Δ≥和0≠a . 2、关于1x 和2x 的常用变形：
①()212
2122212x x x x x x -+=+； ②22
12121212()x x x x x x x x +=+；
③212
12111x x x x x x +=+； ④()()221212
2122
21211x x x x x x x x -+=+； ⑤()2
1212
2121122x x x x x x x x
x x -+=+； ⑥()2
12212
14x x x x x x -+=-.
3、韦达定理逆定理
如果两数1x 和2x 满足a b x x -
=+21，a
c x x =21，则1x ，2x 是方程02
=++c bx ax 的两根. 4、韦达定理的推广
一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程. 定理 设一元n 次实系数方程
0122110=+++++---n n n n n a x a x a x a x a .
的n 个根为n x x x ,,,21 ，则
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
-=-=+++=+++-=+++---.
)1(,,
.0210
31242132102131210
12
1a a x x x a a x x x x x x x x x a a x x x x x x a a x x x n n n n n n n
n n
逆定理 如果n 个数n x x x ,,,21 满足⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
-==++-=+++*-.)1( ,
,)(021********
121
a a x x x a a x x x x x x a a x x x n n n n n n
则n x x x ,,,21 是方程.
01110=++++--n n n n a x a x a x a 的n 个根.
1. 已知一个根，求另一个根 【例1】
1、已知方程0542=+++px x 的一个根是52+，求另一个根与p 的值.
2、解方程：42
2233+=+x x .
2.求根的对称式
设21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，应用韦达定理，根21,x x 的对称式2221x x +，
n
n x x 21+，
2
11
1x x +等可以方便地用系数表达出来. 【例2】已知βα，是方程02=++q px x 的两根，试用q p ，表示 （1）44βα+；（2）βααβ55-+-；（3）8
1
8122+++βα.
【例3】
1、已知m 为实数，方程022=++m x x 有两实根21,x x ，求21x x +的值.
2、已知关于x 的二次方程01222=+-+a ax x 的两个实根的平方和为4
17，则a 的值是 .
3、已知x 1、x 2是方程x 2－x －9＝0的两个实数根，则代数式x 13＋7x 22＋3x 2－66的值是 ．
【例4】已知βα、是方程0872=+-x x 的两根，且βα>.不解方程，求232
βα
+的值.
【例5】设βα，是方程012=++px x 的两个根，δγ，是方程012=++qx x 的两个根，求证：22))()()((p q -=++--δβδαγβγα.
【例6】已知关于x 的一元二次方程02=++q px x 的一个根是另一个根的平方，求证：
)13(32-=+p q p q .
3.判定实根的符号
利用韦达定理可以得出二次方程根的符号定理： 定理 给定一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax . （1）方程有异号两根的充要条件是0<ac ；
（2）方程有两正根的充要条件是04Δ2≥-=ac b ，0<ab ，0>ac . （3）方程有两负根的充要条件是04Δ2≥-=ac b ，0>ab ，0>ac . 【例7】
1、m 为何值时，方程0124)3(2=-+-+m mx x m 的两根异号且负根的绝对值大于正根.
2、当m 为何值时，方程01)3(2=+-+mx x m 有两个负数根.
3、已知x 的方程042
2
=-+-m mx x 恰有一个正根，求m 的范围.
【例8】已知方程030112=++-m x x 的两实根都大于5，求m 的取值范围.
【例9】设m 是实数，试讨论方程mx x =-1的实数的个数.
4、已知两根式求作新方程
韦达定理的逆定理是已知两根求作新方程的理论依据.
【例10】已知βα，是方程02722=+-x x 的两根，求作两根为β
α1
+，α
β1
+
的一元二次
方程.
【例11】如果二次方程02=++b ax x 与02=++q px x 有一个公共根α，并且p a ≠，试求以这两个方程相异的两根为根的一元二次方程.
5、韦达定理的推广
【例12】 设023=+++r qx px x 的根为γβα，，，求以αβγαβγ，，为根的三次方程.
【例13】 已知方程081224234=++--x x x x 的四个根δγβα，，，满足δγβα+=+， 解这个方程.
6.韦达定理与判别式的综合运用 如果已知一个二次方程，那么就可以利用韦达定理与判别式综合得出一些结论，如果题目没有直接给出要讨论的一元二次方程，从而与该方程的判别式联系就可以解决一些综合问题.
【例14】设c b a ,,都是实数，k 为正常数，且⎩
⎨⎧==++.,
0k abc c b a
（1）试求c b a ,,max 的最小值； （2）试求c b a ++的最小值.
【例15】设实数b a ,满足122=++b ab a ，求22b a ab --的取值范围.
（2001年全国初中数学联赛试题）.
【例16】 若u z y x ,,,满足
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+-+-+-=-+-+-+-=-+-+-+-=-+-+-+-.17
858381
8,176563616,174543414,17252321222222
222
222222222
22
2
2222
2222
2
22
2
2222
2222
2
22
2
22
22u z y x u z y x u z y x u z y x 试求2222u z y x +++的值.
【例17】设b a ,为整数，且方程012=++bx ax 的两个不同的正数根都小于1，求a 的最小值.
【课后强化训练】
A 组
1、已知方程04
15
32=+-
a x x 的一个根是另一个根的平方，则实数a 的值是 2、对正整数n ，作x 的二次方程0)12(22=+++n x n x ，设它为α和β，则代数式
)1)(1(1
)1)(1(1)1)(1(120204433+++
++++++βαβαβα 的值是 3、已知βα，是方程02=++q px x 的两根，用q p ,表示下列各式的值. （1）)2)(2(--βα； （2）
α
ββα1
1-+
-； （3）
2
2
1
1
β
α
+
； （4）55βα+；
（5）2121-+-βα； （6）1
1
112
2+++βα.
4、已知08199952=+-a a 及05199982=++b b ，则
b
a
的值是 . 5、已知βα，是方程02)1(222=+++-k x k x 的两实根，且8)1)(1(=++βα，则k 的值是 .
6、若一元二次方程01)3(2=-+-+k x k x 的两个根为βα，，且22<-βα，则k 的取值范围是 .
7、（1999年全国初中数学联合竞赛试题）设实数s 、t 分别满足
01999,01991922=++=++t t s s ，并且st ≠1，则
t
s st 1
++的值是 8、已知方程012
=--x x 的根是方程026=+-q px x 的根，则=p ，=q .
9、（1）关于x 的方程05)2(2
=-+++m x m x 有两个正根，求m 的范围.
（2）证明方程)0,0(0223222>>=+--n m mn n mx x 的两根一个大于n ，另一个小于n . （3）关于x 的方程0)1()12(22=-++-m x m x 的两根都小于1，求实数m 的范围.
10、已知整系数方程04)1(2
2
=-+-+m x m x 有一个正根和一个负根，且正根的绝对值较小，则m 的值是 .
11、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为1-和4，那么
=+a
c
b 32 12、已知γβα，，是方程01322
3=---x x x 的三个根，则222γβα++的值是
.
13、求作一个一元三次方程，使它的三根分别是方程0814723=-+-x x x 三根的倒数.
14、设方程0123234=-++x x x 的根为δγβα，，，，求以δγβ++，αδγ++，βαδ++，
γβα++为根的方程.
15、方程04322=-++qx px x 的三个根分别为同一个正三角形的边长，外接圆半径和边心距，求q p ,的值.
16、（2003山东竞赛）实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x . （1）有两个正根；
（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大； （3）一个根大于3，一个根小于3.
17、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三个实根可以作为一个三角形的边长，求实数m 的范围.
18、设βα，是022=++p px x 的根，δγ，是方程022=++q qx x 的根，q p ,是常数，试求βδαγ+，βγαδ+为根的二次方程.
19、设01422=+--m x x 的实根βα，满足5≤+βα，求m 的范围.
20、a 为何值时，方程012222=-++a ax x 至少有一个正根.
B 组
1、设c b a >>，1222=++=++c b a c b a ，试求b a +的取值范围.
2、设a 是非零整数，z y x ,,是互不相同的正数，
且a z y x =++，4222=++z y x ，2z xy =，求a 的值.
3、已知实数z y x ,,满足a z y x =++，)0(212222>=++a a z y x .求证：a z y x 3
2,,0≤≤.
4、设实数c b a 、、满足0782=+--a bc a ，06622=+-++a bc c b ，求a 的取值范围.
5、设实数c b a ,,满足2=++c b a ，且对任何实数t ，10189222+-≤++≤+-t t ca bc ab t t .求证：3
4,,0≤≤c b a .
6、设b a 、是方程0132=+-x x 的两根，d c 、是方程0242=+-x x 的两个根，且
c
b a d
d b a c a d c b d c b a B +++
++++++++=
，求证： （1）772
222-=+++++++++++B c b a d d b a c a d c b d c b a ；
（2）68493
333-=+++++++++++B c
b a d d b a
c a
d c b d c b a
7、已知02=-+c by ax ，2c ab ≥，求证1≤xy .
初中数学联赛体系
第5讲 一元二次方程整数根、有理根
【知识要点与基本方法】
一元二次方程的整数根问题涉及到的知识面很广，除了一元二次方程的知识外，还要用到数论的有关知识，因此，在初中数学竞赛中，这类问题几乎是每次必考的内容.下面我们分几个方面来介绍这类问题的解法.
1、实系数一元二次方程整数根问题的解法
实系数一元二次方程有一个整数根时，其另一个根可以是整数，有理分数，也可以是无理数，因此，不要误认为实系数一元二次方程有整数根，就是两根为整数. （1）利用0=+N y x （N 为无理数，y x ,为有理数）0==⇔y x . 【例1】已知方程063)13(2=-++-a x x 有整数根，求整数a 的值.
2.变换主元
【例2】已知方程02)1()1(222=++++--a a x a a x a . （1）有整数根，求实数a 的值； （2）有两整数根，求实数a 的值； （3）恰有一个整数根，求实数a 的值.
【例3】设关于x 的方程04)462()86(2222=-+--++-k x k k x k k . （1）当实数k 为何值时，方程有整数根； （2）当整数k 为何值时，方程有整数根； （3）当实数k 为何值时，，方程有两个整数根.
（3）利用判别式估计整数根的范围
【例4】已知方程071222=-+-a ax x a 有整数根，求实数a 的值，并说明整数根的个数.
【例5】已知方程01222=---k kx x . （1）当k 为何实数时，方程有整数根； （2）当k 为何整数时，方程有整数根.
（4）利用韦达定理 【例6】（1998年江苏省初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程
0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数.
【例7】（2001年全国初中数学联赛）求所有的正整数a ，b ，c ，使得关于x 的方程
0232=+-b ax x ，0232=+-c bx x ，0232=+-a cx x 的所有的根都是正整数。

2、整系数一元二次方程整数根问题的解法
整系数一元二次方程整数根问题的解法除了实系数时的方法仍适用外，还可以根据整数的性质求解.
（1）利用判别式
整系数一元二次方程有整数解时，判别式是完全平方数，利用这条性质可以确定整参数的值，但需验证这些值是否使得方程的根是整数.
【例8】设m 是整数，404<<m ，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值.。