第十四章：超静定结构

Fl3 8EI
0

l3 2EI
X1

l3 3EI
X2

l2 2EI
X3

5Fl3 48EI

0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1

2EI
X2

EI
X3
8EI

0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11

1 EI

1 2
l
l

2l 3

l3 3EI
1 ql 2 2
1F


1 EI

1 3
ql2 2
l

3l 4

ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图

X1
1F
11
ql4

8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。
14

8l 3 3EI
2 1 l Fl 5 Fl
29 Fl 3
1F

EI
( 2
2
2
ll 6
2
l)
24EI
X1


1F
11

29 F 64
14
分段，作弯矩图：
F 29 Fl
128
3 Fl 64
29 F
64
3 Fl 64
29 F 64
3 Fl
64
29 Fl
128 F
3 Fl
64
1X1 1X2 1X3 1F 0 2X1 2X2 2X3 2F 0 3X1 3X2 3X3 3F 0
11X1 12 X 2 13X 3 1F 0 21X1 22 X 2 23X3 2F 0 31X1 32 X 2 33X3 3F 0
q
A
B
EI
取静定基
l
q
X1
l
1 ql 2 2
M图
1 ql 2 2
l l
M图
14
l
1 ql 2 2
l
M图
M图
1 ql 2 2
协调方程： 11X1 1F 0
11

1 EI
[1 2
l
l

2 3
l

l
l
l]

4l 3 3EI
1F

1 EI
[ 1 3
ql 2 2
l 3l 4

ql 2 2

1 )1

FR (1 cos)
2
FR( 1 cos ) 2
(0 )
2
F X1 2
14
32
14
l l
M图
F
Fl 2
1
1
1
1
1
M
图
2
M
图
3
l
1F

1 EI
(
1 2
Fl 2

l l) 2

Fl3 8EI
1 1 Fl l 5 5Fl3
2F

( EI 2
2
l) 2 6 48EI
3F

1 EI
( 1 2
Fl 2

l 1) 2
Fl2 8EI
14
代入正则方程：
C R
F 2

NC
MC
QC 0
FB
AF
F X1 2
F
D
F 2

ND
MD
QD 0
由于
Fx

0
，由于对称性：NC

ND

F 2
QC QD 0 MC M D
14
正则方程： 1 11X1 1F 0 （C 截面转角为零）
1 FC
2

荷载系统
单位力系统
M () F R(1 cos)
解除多余约束的方式： （1）去掉一个可动铰或切断一根二力杆，
相当于解除一个多余约束。
14
（2）将受弯杆件某处改为铰接或将固定 支座改为固定铰支座，相当于解除 一个多余约束。
14
（3）去掉一个联接受弯杆件的铰，相当 于解除了两个多余约束。
14
（4）在刚性联接处切断，或去掉一个固定 支座，相当于解除了3个多余约束。
ij ：当 X j 1 时引起的 i 方向的位移。
14
一般的，n 次超静定问题，有：
11X1 12 X 2 1n X n 1F 0 21X1 22 X 2 2n X n 2F 0 n1X1 n2 X 2 nn X n nF 0
解之，得：

X
1



3F 32

X
2


13F 32

X
3

Fl 32
14
3.对称及反对称性质的利用
对称结构：几何形状、支承条件、刚度 对称于某一几何轴线。
对称轴
2EI
EI
EI
EI EI 2EI
2EI
EI
EI
支承不对称
刚度不对称
对称 14
对称结构（正）对称荷载：
F
F
aa
m0
m0
——力法正则方程（典型方程）
（1）正则方程为 n 元一次方程组，n 为超静定次数。
（2）ij ji ，位移互等定理。
（3）ij

1 EI
lMi
M j dx
iF

1 EI
l Mi
M
dx
Mi 图与M j 图相乘。
Mi 图与 M 图相乘。
14
例3：解图示超静定问题。
A
B
l
EI
2
F
Fl/2 l/2 l/2 l Nhomakorabea2 ll
l
解： 利用对称性
取静定基
F
X1
F
X1
14
正则方程： 1 11X1 1F 0
F
Fl 2
F
Fl
2
l
l
Fl
Fl
2
2
M图
1
1
l
l
M1图
14
F
F
Fl
2
l
1
l
Fl
2
1
l
Fl
Fl
2 M图
2
l
M1图
11

2 EI
(1 l 2
l

2l 3
l
l l)
11 l
11)

2l EI
14
l l
M图
F
Fl 2
1
1
1
1
1
M
图
2
M
图
3
l
12

1 EI
( 1 l l l) 2

l3 2EI
21
13

1 EI
(1 l l 1 l l 1) 2

3l 2 2EI
31
23

1 EI
( 1 l l 1) 2

l2 2EI
EI
F EI
EI F
14
对称结构反对称荷载：
F
F
aa
m0
m0
F
F
14
对称结构，正对称荷载： M 正对称、Q 反对称、N 正对称。
对称结构，反对称荷载： M 反对称、Q 正对称、N 反对称。
M 、N 的对称性与荷载的对称性相同。 Q 的对称性与荷载的对称性相反。
14
对称结构，正对称荷载，在对称轴所在面上的反 对称内力为零，Q = 0；对称结构，反对称荷载，在对 称轴所在面上的正对称内力为零，M = 0， N = 0。
2
M () 1
11

1 EI

2
0
M
MRd

1 EI

2
0
Rd

R
2EI
1F

1
EI
2
0
M
MRd
1 EI

2
0
FR 2
(1

cos ) Rd

FR2
( 2EI 2
1)
14
X1
1F
11
FR(1 2
1)

（
）
M ()

X1M

M

FR( 1 2
l l] 5ql 4 8EI
代入协调方程，得：X1


1F
11
5ql 4

8EI 4l 3
15 ql （方向向上） 32
3EI
14
2.力法正则方程
例：
A
B
l
EI
2
取静定基
lF
2
l
三次超静定结构
X3 X2
X1
F
静定基
14
协调方程：
竖向位移为零 1 0 水平位移为零 2 0 绕 Z 轴的转角为零 3 0
14
弯矩图为：
F 29 Fl
128
3 Fl 64
3 Fl 64
29 Fl
128 F
3 Fl 64
3 Fl 64
14
对称性的灵活运用：
例如：
F a
F
2a
F
a2
F
F
2 a a2
l


l/2 l/2
荷载不对称
反对称荷载
正对称荷载
14
例5：等截面圆环受一对在其水平直径两端处作 用的力 F（如图示），已知圆环轴线的半 径为 R ，试作此圆环的弯矩图。
取静定基
lF
F
2
l
l l
M图
F
Fl 2
X3 X2
X1
静定基
1
M1图
14
1
M
图
2
l
1
1
1
M3图
14
l
l
M图
F
Fl 2
1
M1图
1
1
1
1
M
图
2
M
图
3
l
11

1 EI
(1 2
l
l

2 3
l

l
l
l)

4l 3 3EI
22

1 EI
(1 2
l
l

2 l) 3

l3 3EI
33

1 EI
(l
超静定结构
14
一、概 述
1.几何不变结构
几何不变体： 结构只有因变形而引起的 位移，没有刚体位移。
几何可变体： 能发生刚体位移的结构。
14
如将一个几何不变体去掉任何一个约束后 成为几何可变体，则该结构为静定结构。静定 结构的所有约束均为维持几何不变所必须。
14
如将一个几何不变体去掉某个约束后仍为 几何不变体，则该结构为超静定结构。静不定 结构有多于维持几何不变所必须的约束。
对线弹性体，位移与力成正比，
所以 X1 引起的 B 点的位移为 11
的 X1 倍。
1X1 11 X1 ——将未知力 X1 分离出来 协调方程变为： 11X1 1F 0
14
q
1 ql 2 2
M图
l
M图

X1
1
显然:
11 —— M 图自乘， 1F —— M 图与 M 图相乘。
11X1 12 X 2 13 X 3 1F 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2F 0 31X1 32 X 2 33 X 3 3F 0
得：
4l3 3EI
X1
l3 2EI
X2

3l 2 2EI
X3
解除超静定结构的某些多余约束后得到 的静定结构为原结构的静定基本结构，简称： 静定基。静定基不是唯一的。
14
三次超静定 将固定支座改为固定铰
去掉一个固定支座 在刚性联接处切断
将固定铰改为可动较
14
二、力法解超静定问题
1.力法基本原理
力法——以未知力为基本未知量的解法。 例1：
q
A
EI
l
取静定基
B
q
X1
14
q
q

B
X1

B
B
X1
协调方程：B点挠度为零： 1 0 由叠加原理：
1 1X1 1F
ij ：第一个下标1表示位移发生在 X1 的作用 点，并沿着 X1 的方向。第2个下标 X1 （或 F）表示 ij 是由 X1（或F）引起的。
14
1X1 的求法：
设 X1=1 时，B 点的挠度为 11 ，
F
F
aa
l
取静定基
F
F
X3 0
X1
X2
X1 X2
X3 0
l/2 l/2
14
F
F
X3 0
X1
X2
X1 X2
X3 0
F
F
X1
X2
X1 X2
（1）利用对称性，三次超静定变成二次超静定。 （2）变形协调条件为：1 0 、2 0 ，均为相对位移为零。
14
例4：画出图示结构的弯矩图。