和轴对称相关的最值问题

图（5）
C
B
与轴对称相关的最值问题
【典型题型一】
：如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB
【典型题型二】如图，直线l 和l
的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。

【练习】1、(温州中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC
上，EC=2a ，∠BAD=1200
,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（ ）
解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线
BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。

这时三角形CBE 1是含有300
角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23
a 。

所以选（D
）。

2、如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B 西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）
（A ） 4+185英里 （B ） 16英里 （C ） 17英里 （D ） 18英里
3．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。

已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小?
4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上 一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。

即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交 AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。

在直角△DBC'中DB=1，BC=2， 根据勾股定理可得，DC'= 5
5．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边 上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小
作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E 的长就是PB+PE 的最小值
在直角△B'EF 中，EF = 1，B'F = 3根据勾股定理，B'E = 10
6．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．2 3 B ．2 6 C ．3 D ． 6
即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ，
连接BE 交AC 于点P ，则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 3 7．如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值；
作点C 关于BD 的对称点C'，过点C'，作C'B ⊥BC ，交BD 于点P ，则C'E 就是PE+PC 的最小
值直角△BCD 中，CH = 20
5
错误！未定义书签。

直角△BCH 中，BH = 8 5 △BCC'的面积为：
BH ×CH = 160
所以 C'E ×BC = 2×160 则CE' = 16
'
B A
8．如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；
点C 关于BD 的对称点是点A ，过点A 作AE ⊥BC ，交BD 于点P ，则AE 就是PE+PC 的最小值在等腰△EAB 中，求得AE 的长为5 2
9．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )
A 2 2
B 2
C 1
D 2
即在MN 上求一点P ，使PA+PB 的值最小作点A 关于MN 的对称点A'，连接A'B ，交MN 于点P ，则点P 就是所要作的点A'B 的长就是PA+PB 的最小值
连接OA'、OB ，则△OA'B 是等腰直角三角形所以 A'B = 2
10如图，一次函数 y = 12x 与反比例函数y = k
x 交于点A ，AM ⊥x 轴于点M ，S △OAM = 1
(1)求k 的值，
(2)点B 为双曲线y=k
x 上不与A 重合的一点，且B(1，n)，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小
(1)由S △OAM = 1知，k = 2
(2)作点A 关于x 轴的对称点A ’，连接A ’B ，交x 轴于点P ，连接PA ，则PA+PB 最小。

用待定系数法求直线A ’B 的解析式为y = - 3x + 5， 因为点P 在x 轴上，所以设 y = 0，即0 = - 3x + 5， 解得 x = 53 所以P( 5
3
，0)
11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称
点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P′的坐标为 （不必证明）； （3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标． (1)点B(5，3)、C(-2，5)关于直线l 的对称点B'(3，5)、C'(5，-2) (2)坐标平面内任一点P(a ，b)关于直线l 的对称点P'的坐标为(b ，a)
(3)作点E 关于直线l 的对称点E'，连接DE'，交直线l 于点Q 则QE+QD 的值最小设直线DE'的解析式为：y = kx+b ，因为D(1，-3)、E'(-4,-1)，
则-3 = k+b-1 = -4k+b
解得：k = - 25 ，b = - 135 所以 y = - 25 x - 13
5
当x = y 时，有x = y = - 137 则Q 点的坐标为(- 137 ，- 13
7
)
【典型题型三】：如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON
上作
点A ，B 。

使△PAB 的周长最小
12、如图（9），∠AOB=450
，角内有一点P ，PO=10，在角两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则 ①△PQR 的周长最小值是____________。

②当ΔPQR 周长最小时，∠QPR 的度数=_________。

（答案：900
）
D
B N
M
x y
l Q
E'
C'
B'
E
D C
B A'
A O 图（9）
【典型题型四】求线段差的最大值：
如图所示，已知直线MN 与MN 异侧两点A 、B ，在MN 上求作一点P ，使PA －PB 最大，并说明理由。

13.如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=6， CD=4，P 在直线MN 上运动，则 的最大值为( c )
A.
B.
C.
D.
14.如图，已知两点A ，B 在直线l 的异侧，A 到直线l 的距离AC=6，B 到直线l 的距离 BD=2，CD=3，点P 在直线l 上运动，则 的最大值为( d )
A. B.3 C.1 D.5
15.如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，1），B （3，-4），在x 轴上有一点P ， 当 的值最大时，点P 的坐标是( b )
A. B.（-1，0） C.（0，0） D.（3，0）
16、在直角坐标系中，X 轴上的动点M （X ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标X=_ ___.（你能求出当MP-MQ 最大时点M 的横坐标X= ？)
【典型题型四】
17.如图，已知A （1，3），B （5，1），长度为2的线段PQ 在x 轴上平行移动，当 AP+PQ+QB 的值最小时，点P 的坐标为( b )
A. B. C.（1，0） D.（5，0）
18.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点．若E ，F 为边OA 上的 两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF 的周长最小时，点F 的坐标为( b )
A. B. C.（2，0） D.（3，0）
19.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a 的值为( a )
A. B.1 C.2 D.
20如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点，点P 、Q 为BC 边上
两个动点，且PQ=2，当BP=( )时，四边形APQE 的周长最小．
21.已知A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN ，使从A 到B 的路径AM-MN-NB 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( D )
A. B. C. D.
22．如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？
*逆向思维23．如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线y = ax 2
上．
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；
(2) 平移抛物线y = ax 2
，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？
若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． (1)直线AP 的解析式为：y = - 53 x + 43 则Q 的坐标为（4
5
，0）
(2)①解法一：CQ = |- 2 - 45 | = 145 则抛物线 y = 12 x 2向左移动14
5 个单位时，
A ’C+
B ’
C 最短抛物线的解析式为：y = 12 （x+145
）2
(2) ②
抛物线向左或向右平移时，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，因为A ’B ’ + CD 是定值，只要使A ’D + B ’C 最短即可 当抛物线向右移动时，因为A ’D > AD ，B ’C > BC ，所以A ’D + B ’C > AD + BC ，则在不存在一个向右的位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短
当抛物线向左移动时，设A ’(-4-a ，8)，B ’(2-a ，2)，因为CD = 2，则将点B ’向左平移2个单位得到点B ’’(-a ，2).
点A ’关于x 轴的对称点是A ’’(-4-a ，-8)，直线A ’’B ’’的解析式为：y = 52 x + 5
2
m + 2
要使A ’D + B ’’D 最短，点D 应在直线A ’’B ’’上将点D(-4，0)的坐标代入到直线A ’’B ’’的解析式，得m = 165 故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，抛物线函数解析式为y = 12 (x+165 )2
【典型题型五】
如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得AN MN BM ++之和最小。

24.如图，点A ，B 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点C ，D 。

使四边形CABD 的周长最小。

25．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值． 如图分别作点A 、B 关于x 轴、y 轴的对称点A'，B'，连接A'B'，交x 轴、y 轴 于点P 、Q ，则四边形PABQ 的周长最小
构造如图在Rt △A'B'C 中，B'C = 30+30+40 = 100， A'C = 10 +40 =50
所以A'B' = 1002
+ 502
=50 5
26．等腰△ABC 中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M 、N 分别是AB 、AC 上的点， 求BN+MN+MC 的最小值
分别作点C 、B 关于AB 、AC 的对称点C ’、B ’，连接C ’B ’交AB 、AC 于点M 、N ， 则BN+MN+MC = B ’N+MN+MC ’ = B ’C ’， BN+MN+MC 的最小值就是B ’C ’的值 ∵∠BAC ’ = ∠BAC ，∠CAB ’ = ∠CAB
∴∠B ’AC ’ = 60°∵AC ’ = AC ，AB ’ = AB ，AC = AB ∴AC ’ = AB ’ ∴△AB ’C ’是等边三角形∴B ’C ’ = 20
五. 【典型题型六】
①如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ， 使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小
②如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确 定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。

27．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
作点B 关于AD 的对称点B'，过点B'作B'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B'E 的长就是BM ＋ＭＮ的最小值 在等腰Rt △AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4
C'
28．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的 值最小，则这个最小值
作AB 关于AC 的对称线段AB'，过点B'作B'N ⊥AB ，垂足为N ，交AC 于点M ，则B'N = MB'+MN = MB+MN
B'N 的长就是MB+MN 的最小值
则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。

所以AN = 1 在直角△AB'N 中，根据勾股定理
B'N = 3
29．如图：在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 是等腰梯形，A 、B 在X 轴上，D 在Y 轴上，AB ∥CD ，AB=5，CD=3，AD=BC= 17 ，抛物线y = - x 2
+ bx + c 过A 、B 两点。

（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标及抛物线的解析式。

（2）设M 是第一象限内抛物线上的一个动点，它到x 轴与y 轴的距离之和为 d ，求 d 的最大值。

（3）当（2）中的M 点运动到d 取最大值时，记此时的点M 为点N ，设线段AC 与y 轴交于点E ，F 为线段EC 上一动点，求F 点到点与它到y 轴的距离之和的最小值。

(1) y = - x 2 + 3x +4 (2)设M(a ，-a 2
+3a+4)，则
d = a –a 2
+ 3a + 4 = -(a - 2)2
+ 8
所以，当a = 2时，d 有最大值，且最大值是8，此时M(2，6)
(3)作点N 关于直线AC 的对称点N'，过点N'，作N'H ⊥y 轴于点H ，交AC 于点F ，则F 点到点N 与它到y 轴的距离之和的值最小
直线AC 的解析式为： y = x + 1
F 点的横坐标为2，则纵坐标为3，即F(2，3) 而N(2，6)，所以FH = 2，FN = 3，则FN+FH = 5
A。