数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

数列通项与求和
一.求数列通项公式
1.定义法(①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。


例.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,2
55a S =.求数列{}
n a 的通项公式.
2
项和为S ,满足3如,1对所有的4。

例.52
1a a ⋅⋅
⋅(例.已知数列{}n a 满足31=a ,n n a n a 1
1+=+,求n a 。

答案:2
3n a n
=
6.已知递推关系求n a ,用构造法(构造等差.等比数列)。

(1)形如()n f pa a n n +=+1只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异.其中()n f 有多种不同形式
①()n f 为常数,即递推公式为q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。

解法:转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中p
q
t -=
1,再利用换元法转化为等比数列求解。

例.已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 答案:123n n a +=-
②()n f 为一次多项式,即递推公式为s rn pa a n n ++=+1 例
③(n f (2)n rq ,其中p q
1
+ 例(3型(2)的方法求解。

例.已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++,求n a 。

答案:1731
(443n n a -=--
7.形如1
1n n n a a ka b
--=+或11n n n n a ba ka a ---=的递推数列都可以用倒数法求通项。

例.1,1
3111
=+⋅=
--a a a a n n n
答案:1
32
n a n =
- 8.利用平方法、开平方法构造等差数列
例1.数列{}n a
的各项均为正数,且满足11n n a a +=+,12a =,求n a 。

答案:2(1)n a n = 例2
.已知()f x x =
<,求:
(1)
9.n a +设n b =例.1.已知2.已知13a =且132n n n a a +=+,求n a 答案:1532n n n a -=⋅- 3.已知数列{}n a 中,3
1
1=
a ,前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=,试求通项公式n a 。

解:⑴当n =1时,有:S 1=a 1=2a 1+(-1)⇒a 1=1;
当n =2时,有:S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0;
当n =3时,有:S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2; 综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2;
⑵由已知得:1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得:1122(1)n n n a a --=+-
上式可化为:1122
(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+-
故数列{2(1)n n a +-}是以112
(1)a +-为首项,公比为2的等比数列.
2(33--22
[23
n -=-4.5.n 项和为S 则a 则
)2n (1n a a n
1
n ≥+=+ 所以22
32n 1
n 1n n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=
--- 22a 2
!
n a ]34)1n (n [⋅=
⋅⋅⋅⋅-= ③
由)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ,取n=2得212a 2a a +=,则12a a =,又知1a 1=,则1a 2=,代入③得2
!
n n 5431a n =
⋅⋅⋅⋅⋅= 6.已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+,2a 1=,求数列}a {n 的通项公式。

已知n n n a a a 3,311==+,求通项a n . 答案:1(31)2n n a n -=-⋅
7.
8.已知9.10.11.12.设数列{}n a 满足10a =且111
11n n
n a a +-=--,求n a
答案:22
12
n a n n =-
-+
13.已知等比数列{}n b ,11b =,等差数列{}n a (0d ≠)中,2514,,a a a 为{}n b 中连续的三项,求n b 答案:
1
3n n b -=
14.已知各项为正数的数列{}n a 满足222
3121(4)3
n a a a n n ++⋅⋅⋅+=-,求n a
答案:21n a n =-
15.已知11a =,且113n n n a S S ++=-,求n a
答案:21,1
2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩
16.2n
a 1718.n na n
++++。

(1(2,112n n +
+=16
n ++=33332
(1)123[
]2
n n n +++++=. 例.已知3
log 1
log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 答案:112n n
S =-
2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.
例2.求数列的前n 项和:231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ,… 答案:12312
n n a a n n
S a ---=+- 3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,
n .
4
5
⑥=<<=.
例6.求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
答案:1n S = 例7.在数列{a n }中,1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和.
答案:81
n n
S n =
+ 6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。

例8.求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 答案:11010981
n n n S +--=
三.能力综合
1A 2A 3.8=()
A 4(15(2008)
f ++
6(l)(2)设c n =
n
n
a b ,求数列{c n }的前n 项和T n 答案:(1)1
242,4n n n a n b -=-=
(2)1[(65)45]9
n
n T n =-+ 7.求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式。

(1)已知{}n a 满足11211
,41
2
n n a a a n +=+
=
-,求n a ; (2)已知{}n a 满足13n n n a a +=,且13a =,求n a 。

答案:(1)43
42
n n a n -=
-(2)222
3n n n a -+=
8.求下面各数列的前n 项和。

(1)
1111,,,,13355779
⨯⨯⨯⨯;(2)
1111
,,,,
123234345456
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

9.设函数()f n 的定义域为N +,且满足()()()f m n f m f n mn +=++,(1)1f =,求()f n 。

10.设正值数列{n a }的前n 项和为n s ,满足2
1(+=n n a s (1(2(311.)…,
(l)12(1)13(1)n ⎩⎭n ⎩⎭
n S 。

答案:(1)1
n a n
=
(2)1(1)22n n S n +=-+ 14数列{}n a 前n 项和n S ,且3(1)2n n S a =-,数列{}n b 满足113
(2)44
n n b b n -=-≥,且13b =。

(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n c 满足2log (1)n n n c a b =⋅+,其前n 项和为n T ,求n T 。

答案:(1)23,4
1n
n
n n a b -==-;(2)1(52)315
2
n n n T +--=
15数列{}n a 满足*122(,2)n n n a a n n N n --=⋅∈≥,且12a = (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令1
n n n
a b a +=,当数列{}n b n λ+为递增数列时,求正实数λ的取值范围。

21n -。

相关文档
最新文档