线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习
第一章 队列式
一、单项选择题
1． 以下摆列是 5 阶偶摆列的是 (
).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523
(D)24351
2．假如 n 阶摆列 j 1 j 2
j n 的逆序数是 k , 则摆列 j n j 2 j 1 的逆序数是 (
). (A) k (B) n k
n! k
n(n 1)
k
(C)
(D)
2
2
3. n 阶队列式的睁开式中含 a 11a 12 的项共有 (
)项 .
(A) 0
(B) n 2
(C) (n
2)!
(D) (n
1)!
0 0 0 1
4．
0 1
0 ( ).
0 1 0 0 1 0 0
(A) 0
(B) 1
(C) 1
(D) 2
0 0 1 0
0 1 0 0 ).
5.
0 0 (
0 1 1
0 0 0
(A) 0
(B) 1
(C) 1
(D) 2
2x x 1 1
1 x 1
2 ).
6． 在函数 f ( x)
2 x 中 x
3 项的系数是 (
3
3 0
1
(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2
a
11
a
12
a
13
1
，则 D 1
2a 11 a 13 a 11
2a 12
7. 若 D
a
21 a
22 a
23
2a 21 a
23
a
21
2a 22
(
).
a
31
a
32
a
33
2
2a 31
a
33 a
31
2a 32
(A) 4
(B) 4
(C) 2 (D)
2
8． 若 a 11
a 12
a ，则 a 12
ka 22
(
).
a 21 a 22
a 11
ka 21
(A) ka
(B) ka
(C) k 2 a (D) k 2a
9． 已知 4 阶队列式中第 1 行元挨次是
4,0,1,3, 第 3
行元的余子式挨次为
2, 5,1, x , 则 x (
).
(A) 0
(B) 3
(C) 3
(D) 2
8 7 4 3
10.
若 D
6 2 3
1 ).
1 1 1
，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( 1
4
3
7
5
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
3 0
4 0
11. 若 D
1 1
1 1
，则 D 中第四行元的余子式的和为 (
).
0 1 0 0
5
3
2
2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
x 1 x 2 kx 3 0
12. k 等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组
x 1
kx 2 x 3 0 有非零解 .
kx 1 x 2
x 3 0
(
)
(A) 1
(B) 2 (C) 3
(D) 0
二、填空题
优选
1. 2n 阶摆列24 (2n)13 ( 2n 1) 的逆序数是.
2．在六阶队列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.
3．四阶队列式中包括a22a43且带正号的项是.
4．若一个n阶队列式中起码有n2 n 1 个元素等于0 , 则这个队列式的值等于.
1 1 1 0
5.
0 1 0 1
队列式
1 1
.
0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 2 0
6．队列式.
0 0 0 n 1
n 0 0 0
a
11 a
1(n
1)
a
1n
7．队列式a
21 a
2 (n 1) 0 .
a
n1 0 0
a
11
a
12
a
13
a
11
a
13 3a12 3a12
8．假如D a21 a
22
a
23 M ，则D1
a
21
a
23 3a22 3a22 .
a
31 a
32
a
33
a
31
a
33 3a32 3a32
9．已知某 5 阶队列式的值为5，将其第一行与第 5 行互换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新队列式的值为.
1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 10． 队列式
x 1 1 .
1 1 x 1
1 1 1
1 1
1 1
1
1
11． n 阶队列式
.
1
1
1
12． 已知三阶队列式中第二列元素挨次为 1,2,3, 其对应的余子式挨次为 3,2,1，
则该队列式的值为
.
1 2 3 4
5 6 7 8 1, 2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，
13．设队列式 D 3 2 ，A 4 j ( j 4 1 8 7 6 5
则 4A 41 3A 42
14． 已知 D
2 A 4
3 A 44
.
a b
c a
c b a b ， D 中第四列元的代数余子式的和为
.
b a c
c
a c
b d
1 2 3 4
15． 设队列式 D
3 3
4 4 6 ， A 4 j 为 a 4 j ( j 1, 2, 3, 4) 的代数余子式，则
1 5 6 7
1
1 2
2
A 41
A
42
， A 43
A
44
.
优选
1 3 5 2n 1
1 2 0 0
16
．已知队列式 D 1 0 3 0 ， D 中第一行元的代数余子式的和为
1 0
n
.
kx 1 2x 2
x 3 0
17
．齐次线性方程组 2x 1 kx 2 0 仅有零解的充要条件是
.
x 1
x 2 x 3 0
x 1
2x 2 x 3 0
18． 若齐次线性方程组
2x 2
5x 3
0 有非零解，则 k = .
3x 1 2x 2 kx 3
三、计算题
a b c d
x y x y
a 2
b 2
c 2
d 2
1.
;
2．
y x y x ；
a
3
b
3
c
3
d
3
x y
x
y b c d a c d a b d a b c
x a 1 a 2
0 1
x 1
a 1 x a 2
．解方程 1 0 1 x 0 ；
4． a 1 a 2 x
3
x 1 1 0
1 x
1 0
a 1 a 2 a 3
a 1 a 2 a 3
a n 2 1 a n 2
1 a n
2
1 ；
x
1
a n 1 1
a0 1 1 1
1 a1 1 1
5. 1 1 a2 1 ( a j1, j 0,1, , n )；
1 1 1a n
1 1 1 1
3 1 b 1 1
6. 1 1 2 b 1
111(n 1) b
1 1 1 1
b1 a1 a1 a1
7. b1 b2 a2 a2 ；
b1b2b3a n
1 x1
2 x1 x2 x1x n
9. x2 x1 1 x22 x
2
x
n ;
x n x1 x n x2 1 x n2
1 a a 0 0 0
1 1 a a 0 0 11． D 0 1 1 a a 0 .
0 0 1 1 a a
0 0 0 1 1 a
x a1 a2 a n
a1 x a2 a n 8． a1 a2 x a n ;
a1a2a3x
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 0 0 10.
0 0 0 2 1
0 0 0 1 2
优选
四、证明题
a 2 1
a
1 1
a
2
a
b 2 1
b
1 1 1． 设 abcd 1，证明：
b 2
b
0 . 2
1
1
c c
1
c 2 c
d 2
1
d
1 1
d 2 d
a 1
b 1 x a 1x b 1
c 1 a 1 b 1 c 1
2． a 2 b 2 x a 2 x b 2
c 2 (1 x 2 ) a 2 b 2 c 2 .
a 3
b 3x a 3x b 3
c 3
a 3
b 3
c 3
1 1 1 1 a
b
c
d
3．
2
b 2
c 2
d 2 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)( d c)(a b c d ) . a
a 4
b 4
c 4
d 4
1 1 1 a 1
a 2
a n
2
2
2
n
a 1
a 2
a n
a i
(a j a i ) .
4．
i 11 i
j n
a 1n 2
a 2n 2
a n n 2
a 1n
a 2n
a n n
1 1 1
5． 设 a,b, c 两两不等，证明 a b c 0 的充要条件是 a b c
0 .
a 3
b 3
c 3
参照答案
一．单项选择题
ADACCDABCDBB
二．填空题
1. n ;
2. “ ” ;
3. a 14 a 22 a 31a 43 ;
4. 0 ;
5. 0 ;
6. ( 1)n 1 n! ;
n( n 1)
7. ( 1)
2
a 1n a 2 (n 1) a n1 ; 8. 3M; 9. 160; 10. x 4 ; 11. ( n) n 1 ;
12. 2 ;
13.0 ; 14.0; 15.12,
9; n
1
17. k
2,3; 18. k 7
16. n! (1
) ;
k 1
k
三．计算题
1． ( a b c
d)(b a)(c a)( d a)(c
b)(d
b)(d c) ； 2.
2( x 3
y 3 ) ；
x
2,0,1
n
1
a k )
3.
4.
( x
;
k 1
n
n
1
5.
(a k
1)(1
6.
(2 b)(1 b) ((n
2) b) ;
0 a
k
) ;
k 0
k 1
( 1) n n
n
n
7.
(b k
a k ) ;
8. ( x
a k )
( x a k ) ;
k 1
k 1
k 1
n
9. 1
x k ; 10. n 1;
k 1
11. (1 a)(1 a 2
a 4 ) .
四 . 证明题 (略)
优选
第二章
矩阵
一、单项选择题
1. A 、B 为 n 阶方阵，则以下各式中建立的是 ( ) 。

(a)
A 2
2
A 2
B 2
( A B)( A B)
(c)
( A B)A A 2
AB
A(b)
(d) ( AB)T
A T
B T
2. 设方阵 A 、B 、 C 知足 AB=AC,当 A 知足 ( ) 时， B=C 。

(a) AB =BA (b) A 0 (c) 方程组 有非零解
(d) B 、 C 可逆
AX=0
3. 若 A 为 n 阶方阵， k 为非零常数，则 kA
( ) 。

(a)
k A
(b)
k A
(c)
k n A
(d)
n
k A
4. 设 A 为 n 阶方阵，且 A 0，则( ) 。

(a) A 中两行 ( 列) 对应元素成比率 (b)A 中随意一行为其他行的线性组合
5. 设 A ， B 为 n 阶可逆矩阵 , 下边各式恒正确的选项是
( ) 。

(a) ( A B) 1 A 1 B 1
(b)
( AB)T
A B
(c)
( A 1
B T A
1
B
(d)
A B 1
A 1
B 1
( )
)
6. 设 A 为 n 阶方阵 , A * 为 A 的陪伴矩阵 , 则( ) 。

(a) (a)
A * A 1 (b)
A *
A (c)
A *
n 1
(d)A *
n 1
A
A
7. 设A 为 3 阶方阵,队列式 A 1, A * 为 A 的陪伴矩阵,则队列式
(2A) 1 2 A * ( ) 。

(a)
27 (b)
8
(c) 27 (d)
8
8
27 8
27
8. 设 A ， B 为 n 阶方矩阵 , A 2 B 2 , 则以下各式建立的是 ( ) 。

(a) A B (b)
A
B (c)
A B
(d)
2
B 2
A
9. 设 A ， B 均为 n 阶方矩阵 , 则必有 ( )。

(a) A B A B (b)
AB BA (c)
AB
BA (d)
2
2
A
B
10. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下边各式恒正确的选项是（ ）。

（ a ）
2A 2 A T
(b)
(2 A 1 2 A 1
)
(c)
[(A 1)
1 ]
T
[(A T )T ] 1
(d)
[(A T )T ] 1 [( A 1)T ]T
a
11
a 12
a
13 a
11
3a 31
a
12
3a 32
a 13 3a 33
11. 假如 A a 21
a 22
a
23
a 21
a
22
a
23
，则 A （ ）。

a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
a
33
1 0 0
1 0 3
0 0 3
1 0 0 （a ） 0 1
0 (b)
0 1 0 (c)
0 1 0 (d)
0 1
3 0
1
0 0
1
1
1
3 1
1 3 1
12. 已知 A
2 2 0 ，则（
）。

3
1 1
（a ） A T A
(b)
A 1 A *
（c ）
1 0
0 1 1 3 （ ） 1 0 0
1 1 3
A001 2 0 2 001A 202
d
0 1 0
3 1 1
0 1 0
3 1 1
13. 设 A, B,C, I 为同阶方阵， I 为单位矩阵，若 ABC I ，则（ ）。

（ a ） ACB I
（b ） CAB I （c ） CBA I
（ d ） BAC I
14. 设 A 为 n 阶方阵，且 | A | 0 ，则（
）。

（ a ） A 经列初等变换可变成单位阵 I
（ b ）由 AX BA ，可得 X B
优选
（ c）当( A | I )经有限次初等变换变成(I | B)时，有 A 1 B
（ d）以上（ a）、（ b）、（c）都不对
15. 设 A 为m n 阶矩阵，秩 ( A) r m n ，则（）。

（ a） A 中r阶子式不全为零（b） A 中阶数小于r的子式全为零
I r 0
（ c） A 经行初等变换可化为（d） A 为满秩矩阵
0 0
16. 设 A 为m n 矩阵，C为 n 阶可逆矩阵，B AC，则( ) 。

(a) 秩 ( A)> 秩( B) (b) 秩( A)= 秩( B)
(c) 秩( A )< 秩( B) (d) 秩( A) 与秩( B ) 的关系依 C 而定
17. A ， B 为 n 阶非零矩阵，且 AB 0，则秩( A)和秩( B)( ) 。

(a) 有一个等于零(b) 都为 n (c) 都小于 n (d) 一个小于 n，一个等于 n
18.n 阶方阵 A 可逆的充足必需条件是 ( ) 。

(a) r ( A) r n (b) A 的列秩为 n
(c) A 的每一个行向量都是非零向量(d) 陪伴矩阵存在
19.n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是 ( ) 。

(a) A 的每个行向量都是非零向量
(b) A 中随意两个行向量都不行比率
(c) A 的行向量中有一个向量可由其他向量线性表示
(d) 对任何 n 维非零向量 X ，均有 AX0
二、填空题
1. 设 A 为 n 阶方阵 , I 为 n 阶单位阵 , 且 A2I , 则队列式 A_______
0a b
2. 队列式a0c_______
b c0
1 0 1
3. 设 2A 0 2 0 ，则队列式 (A 3I) 1(A 2
9I ) 的值为_______
0 0 1
1 3 4. 设 A
2 2
，且已知 A 6 I ，则队列式 A 11
_______
3 1
2
2
5. 设 A 为 5 阶方阵， A * 是其陪伴矩阵，且 A 3，则 A *
_______
6. 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其陪伴矩阵 A * 的秩为 _______
a 1
b 1 a 1b 2 a 1b n
7. 非零矩阵 a 2 b 1 a 2b 2
a 2
b n
的秩为 ________
a n
b 1 a n b 2
a n
b n
8. 设 A 为 100 阶矩阵，且对任何 100 维非零列向量 X ，均有 AX 0，则 A 的秩
为 _______
9.若A ( a ij ) 为 15 阶矩阵，则 A T A 的第 4 行第 8 列的元素是 _______
10. 若 方 阵 A 与
4I 相 似 ， 则A_______ 1 2K 11. lim 2 K K 1 _______ K
1 1
K 3 K
1
n
1 2
2
1
12. lim 0
1
_______
3
n
1
4
三、计算题
1. 解以下矩阵方程 (X 为未知矩阵 ).
优选
2 2
3 2 2 0 1 0
0 1 3
1) 1 1 0 X 3 2 ；2)
2
2 1 100X
1
1 2 1 0 2 0 0
1
1 0
1 ；
3 1 0 1 0 1
3) X (I B 1C)T B T I,此中B 4 0 4 ；C212
4 2 2 1 2 1 ；
1 0 1
4) AX A2 XI,此中A 020
1 0 1 ；
4 2 3
5) AX A 2X ,此中A 1 1 0
1 2 3 ；
2. 设 A 为n阶对称阵 , 且 A2 0,求 A.
1 1 0
3.已知A 0 2 1 ,求(A 2I)(A2 4I) 1.
1 0 1
4.设A1 1 2
, A2
3 4
, A3
0 0 1 2 A1 A2 0 1 2 3
, A4 , 求
A4
0 0 0 1 A3 .
1 1 2
5. 设 A 2 2 4 ,求一秩为 2的方阵 B,使AB 0 .
3 3 6
2 1 1 0 1 1
6. 设 A 1 0 1 , B 1 2 1 ,求非奇怪矩阵C,使 A C T BC .
1 1 0 1 1 0
7. 求非奇怪矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵 .
2 1 1 1 2
1)A 2) A1 3 1
1 2
2 0 1
8. 已知三阶方阵 A的三个特点根为 1,1,2, 其相应的特点向量挨次为(0,0,1) T ,( 1,1,0)T ,( 2,1,1)T,求矩阵A .
5 3 2
9.设A 6 4 4 , 求 A100.
4 4 5
四、证明题
1.设 A 、 B 均为n阶非奇怪阵 , 求证 AB 可逆 .
2. 设 A k 0 ( k为整数 ), 求证 I A可逆.
3. 设 a1 .a2 ,L , a k为实数, 且如果 a k 0 , 假如方阵A 满足
A k a1 A k 1 L a k 1 A a k I 0 ,求证A是非奇怪阵.
4.设 n 阶方阵A与B中有一个是非奇怪的,求证矩阵AB相像于BA .
5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵 .
6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和 .
7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者 .
8.证明可逆矩阵的陪伴矩阵也可逆，且陪伴矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的陪
伴矩阵 .
9.证明不行逆矩阵的陪伴矩阵的逆不大于 1.
10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

优选
第二章参照答案
一： 1. a ；2. b ；3.c ；4.d ；5.b ； 6.d ；7.a ；8.d ； 9.c ；10.d ；11.b ； 12.c ； 13.b ；14.a ；15.a ；16.b ；17.c ；18.b ；19.d.
15
二． 1. 1 或-1 ；2. 0；3. -4 ；4. 1；5. 81； 6. 0；7. 1；8. 100；9.
a
i4
a i8 ；
i
1
10. I ；12. 0 ；11.
0 2 .
10
0 1 1 1 4 3 2 0
1
2
三、1.1 ）、 13
2
3
；3）、 1
5 3 ；4）、 0 3 0
；2）、 2
；
16
0 1
1 6
4
1 0 2
2
3 8
6
0 3
1
1 2
1 0
1 2 1 5 ）、 2
9 6 .
2. 0；
3.
1 3
1 ；
0 0
1 2
2 12
9
1 0
4.
；
0 0
1
3
1 1 0 1 0
1 1
1 1 3
5.
1 1 1 不独一； 6. 1
0 0 ；7. 1）、
、
2 1 1 ；
1
. 2)
1 0
0 0 1
1
1
2 2
3
2 0
3 100
（ 100
）
2 100 100
100
1
2 2 1 2
3
3
8.
1 0 0
；9. （
100
100）
100
（
100） （
100
）
.
2 2
3
4 4 2
2 3
2 3
1
1 1 1
（ 100 ）
（ 100）
（ 100 ） 1
2 3 1
2 1 3
2 3
第三章
向量
一、单项选择题
1.
1, 2
,
3
，
1
,
2 都是四维列向量，且四阶队列式
1
2
3
1
m ,
1 2 3 2
n ,则队列式
1 2 3 1
2
(
)
(a)m
n (b) m n
(c) m n (d ) m n
2. 设 A 为 n 阶方阵，且 A 0 ,则（ ）。

(a) A 中两行（列）对应元素 成比率 (b) A 中随意一行为其他行的 线性组合 (c) A 中起码有一行元素全为 零 (d) A 中必有一行为其他行的 线性组合
3. 设 A 为 n 阶方阵， r ( A) r
n ，则在 A 的 n 个行向量
中（ ）。

(a)必有 r 个行向量线性没关
(b)随意 r 个行向量线性没关 (c)随意 r 个行向量都构成极大线 性没关组
(d)随意一个行向量都能被
其他 r 个行向量线性表示
4. n 阶方阵 A 可逆的充足必需条件是（
）
(a)r ( A) r
n
(b)A 的列秩为 n
优选
（ c ） A 的每一个行向量都是非 零向量
（ d ）A 的陪伴矩阵存在
5. n 维向量组
1
, 2
,
,
s 线性没关的充足条件是 ( )
(a) 1
, 2
,
, s 都不是零向量
(b) 1
, 2 ,
, s 中任一直量均不可以由其他向量线性表示
(c) 1
, 2
, , s 中随意两个向量都不行比率
(d)
1
, 2
,
,
s 中有一个部分组线性没关
6. n 维向量组
1
, 2
,
,
s (s 2) 线性有关的充要条件是 ( )
(a) 1
, 2 ,
,
s 中起码有一个零向量
(b) 1
, 2
,
, s 中起码有两个向量成比率
(c)
1
, 2 ,
, s 中随意两个向量不行比率
(d ) 1 , 2 ,
, s 中起码有一直量可由其他向量线性表示
7. n 维向量组
1
, 2
,
, s (3 s n) 线性没关的充要条件是 ( )
(a)存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 ,
, k s 使得 k 1 1
k
2 2
k s s 0
(b) 1
, 2
,
, s 中随意两个向量都线性没关
(c)
1
, 2 ,
, s 中存在一个向量 ,它不可以被其他向量线性表示
(d ) 1 , 2 ,
, s 中任一部分组线性没关
8. 设向量组
1, 2
,
,
s 的秩为 r ,则()
(a)
1 ,
2 ,
, s 中起码有一个由 r 个向量构成的部分组线性没关
(b) 1 ,
2 ,
,
s 中存在由 r
1个向量构成的部分组线性没关
(c)
1, 2
,
, s 中由 r 个向量构成的部分组都线性没关 (d ) 1 , 2 ,
, s 中个数小于 r 的随意部分组都线性没关
9.设1,2,
,
s 均为 n 维向量 ,那么以下结论正确的选项
是 ( )
(a) 若 k 1
1
k 2
2
k s s 0 ,则 1 ,
2
,
, s 线性有关 (b) 若对于随意一组不全为零的数 k 1 , k 2 ,
, k s ,都有
k 1
1
k 2
2
k s
s
0 ,则 1
, 2
,
, s 线性没关
(c) 若 1 , 2 , , s 线性有关 ,则对随意不全为零的数 k 1, k 2 ,
, k s ,都有
k 1
1
k 2
2
k s
s
(d) 若 0
1
0 2
0 s 0,则
1, 2
,
, s 线性没关
10. 已知向量组
1
, 2
, 3
,
4 线性没关，则向量组（ ）
(a) 1
2
,
2
3
,
3 4
,
4
1 线性没关
(b) 1
2
,
2
3
, 3
4
,
4
1 线性没关
(c) 1 2 ,
2 3 ,
3
4
,
4 1 线性没关
(d )
1
2
,
2
3
,
3
4 ,
4
1 线性没关
11. 若向量 可被向量组
1, 2
,
,
s 线性表示，则（ ）
(a) 存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s 使得
k 1 1 k 2 2
k s s
优选
(b) 存在一组全为零的数 k 1 , k 2 , , k s 使得
k
1 1
k
2 2
k s
s
(c) 存在一组数 k 1 , k 2 , , k s 使得k 1 1 k 2
2
k s
s
(d) 对 的表达式独一
12. 以下说法正确的选项是（
）
(a) 如有不全为零的数 k 1, k 2 , , k s ，使得 k 1
1
k 2 2
k s s
0 ，则
1, 2
,
, s 线性没关
(b) 如有不全为零的数 k 1, k 2 , , k s ，使得 k 1
1
k 2 2
k s s
0 ，则
1, 2
,
, s 线性没关
(c) 若
1 ,
2 ,
,
s 线性有关，则此中每个向量均可由其他向量线性表示
(d) 任何 n 1 个 n 维向量必线性有关
13. 设 是向量组 1 (1, 0, 0)T ，
2
(0, 1,
0)T 的线性组合，则 =（
）
(a)( 0,
3, 0)T
(b)( 2, 0, 1)T ( c)(0, 0, 1) T
(d )(0, 2, 1) T
14. 设有向量组
1
1,
1, 2, 4 T ，
2
0, 3, 1,
2 T ，
3
3, 0, 7,
14T ， 4 1,
2, 2, 0T ， 5 2, 1, 5, 10 T ，则该
向量组的极大线性没关组为（
）
(a)
1
,
2
,
3
(b)
1
, 2
,
4
(c)
1
, 2
,
5
(d )
1
,
2
,
4
,
5
15. 设
(a 1 , a 2 , a 3 )T ， (b 1 , b 2 , b 3 ) T ， 1 (a 1 , a 2 )T ， 1 (b 1 , b 2 )T ，
以下正确的选项是（ ）
(a)若 , 线性有关，则
1 ,
1
也线性有关 ;
(b)若 , 线性没关，则
1 , 1 也线性没关；
( c)若
1 , 1线性有关，则
, 也线性有关；
( d)以上都不对
二、填空题 1. 若 1
(1, 1,
1)T ，
2
(1, 2,
3)T ，
3
(1, 3,
t) T 线性有关，则 t=▁▁
▁▁。

2. n 维零向量必定线性▁▁▁▁关。

3. 向量 线性没关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若
1 ,
2 ,
3 线性有关，则
1 ,
2 ,
, s ( s 3) 线性▁▁▁▁关。

5. n 维单位向量组必定线性▁▁▁▁。

6. 设向量组 1, 2
,
, s 的秩为 r, 则 1 , 2 ,, s 中随意 r 个▁▁▁▁的向
量都是它的极大线性没关组。

7. 设向量 1
(1, 0, 1)T 与 2 (1, 1, a)T 正交，则 a ▁▁▁▁。

8. 正交向量组必定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组
1
, 2
,
,
s
与
1
,
2
,
, t 等价，则 1 ,
2
,
,
s 的秩与
1, 2
,
,
t 的秩▁▁▁▁。

10. 若向量组
1
, 2
,
,
s 可由向量组
1
, 2
,
, t 线性表示，则
r ( 1 , 2 ,
, s ) ▁▁▁▁ r (
1, 2
,
, t ) 。

11. 向量组 1
a 1 , 1, 0, 0T ， 2
a 2 , 1, 1, 0 T ，
3
a 3 ,
1, 1, 1T 的
线性关系是▁▁▁▁。

12. 设 n 阶方阵 A 1
, 2
,
, n ,
1 2
3,则 A ▁▁▁▁ .
13. 设1 (0,
y,
1 )T ， 2
( x, 0, 0)T ，若 和
是标准正交向量，则 x
2
优选
和 y 的值▁▁▁▁ .
14. 两向量线性有关的充要条件是▁▁▁▁ .
三、计算题
1. 设 1
(1 , 1, 1)T ， 2
(1, 1
, 1)T ， 3 (1, 1,
1
)T ，
(0, ,
T
2
) ，问
（1） 为何值时， 能由 1, 2, 3 独一地线性表示？
（2） 为何值时， 能由 1, 2, 3 线性表示，但表达式不独一？
（3） 为何值时， 不可以
由
1
, 2
,
3 线性表示？
2. 设 1 (1, 0, 2, 3)T
， 2 (1, 1, 3, 5)T ， 3 (1, 1, a 2,
1)T ，
4
(1, 2, 4, a 8)T
， (1, 1,
b
3, 5)T 问：
（1） a,b 为何值时， 不可以表示为 1, 2, 3
,
4 的线性组合？
（2） a,b 为何值时， 能独一地表示为 1, 2 , 3, 4 的线性组合？
3. 求向量组
1
(1, 1, 0,
4)T ， 2 (2, 1, 5, 6)T ， 3
(1, 2,
5, 2)T ，
4
(1,
1,
2, 0)T ， 5
(3, 0,
7, 14) T 的一个极大线性没关组，
并将其他向量用该极大没关组线性表示。

4. 设1 (1,1,
1)T
， 2 (1, 2, 3)T
，
3
(1, 3, t)T
，t 为何值时
1, 2
,
3 线性相
关， t 为何值时 1 , 2 ,
3 线性没关？
5. 将向量组
1
(1, 2, 0)T ， 2
( 1,
0, 2)T ， 3
(0, 1, 2)T 标准正交化。

四、证明题
1. 设 1
1
2
, 2
3
2
1 , 3
2 1
2 ，试证 1, 2
, 3 线性有关。

2. 设1,2,
, n 线性没关，证明 1
2
,
2
3
,
, n
1 在 n 为奇数时
线性没关；在 n 为偶数时线性有关。

3. 设1,2,
, s ,
线性有关，而 1,
2
,
, s 线性没关，证明
能由
1, 2
,
, s 线性表示且表示式独一。

4. 设1,2, 3 线性有关， 2 , 3 , 4 线性没关，求证 4 不可以由
1, 2
,
3 线性表示。

5. 证明：向量组 1 , 2 ,
, s (s 2) 线性有关的充要条件是此中起码有一个向
量是其他向量的线性组合。

6. 设向量组
1
, 2
,
, s
中
1 0 ，而且每一个 i 都不可以由前
i 1个向量线性
表示 (i 2,3, , s) ，求证
1, 2
,
, s 线性没关。

7. 证明：假如向量组中有一个部分组线性有关，则整个向量组线性有关。

8.设 0 , 1 , 2 , , s 是线性没关向量组，证明向量组
0 , 0
1 , 0
2 , ,
s 也线性没关。

优选
第三章向量参照答案
一、 单项选择
15. a
二、填空题
1. 5
2.有关
3. 0
4.有关
5.没关
6.线性没关
7. -1
8.没关 9.相等 10.
11.线性没关
12. 0 13. x
1 1, y
2
14.对应重量成比率
三、解答题
1. 解：设
x 1 1 x 2
2x
3 3
(1 ) x 1 x 2 x 3 0
则对应方程组为
x 1 (1 ) x 2 x 3
x 1 x 2 (1 ) x 3 2
1
1 1
其系数队列式 A
1 1 1 2
(
3)
1
1
1
（1）当 0,
3时， A
0 ，方程组有独一解，所以
可由 1
,
2, 3
独一
地线性表示 ;
1 1 1 0 1 1 1 0 （2）当
0 时，方程组的增广阵 A
1 1 1 0 0 0 0 0 ，
1 1
1 0
0 0 0 0
r ( A) r ( A)
1 3 ，方程组有无量多解，所以 可由 1,
2 , 3
线性表示，
但表示式不独一 ;
（3）当 3时，方程组的增广阵
2 1 1 0 1 2 1 3
A1 2 1 3 0 3 3 12 ，r ( A) r ( A) ，方程组无解，
1
1
2
9
18
所以 不可以
由 1
,
2 ,
3 线性表示。

2.解:以 1,
2
, 3, 4
,
为列结构矩阵
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 2 1
0 1 1
2
1
0 1
a 1
2 3 a 2 4
b 3
4
3 5
1
a 8
5
0 0
1 a 2
b
4
（1） 当 a 1且 b 0时， 不可以表示
为 1
, 2 , 3 ,
4 的线性组合；
（2） 当 a
1, b 随意时，
能独一地表示为
1
, 2 , 3
, 4 的线性组合。

1 2 1 1
3 1 0 1 0 2 3.解： ( 1,
2
,
3 ,
4,5
)
1 1
2 1 0
0 1 1 0 1
0 5 5 2 7
0 0 0 1 1
4 6
2
0 14
0 0 0
1
, 2
,
4 为一个极大没关组，且
3 1 2
4
,
5
2
1
2
4
1 1 1 4.解： 1, 2, 3
1 2
3 t 5 ，
1
3 t
当 t 5时 1,
2
,
3
线性有关，当 t
5 时
1, 2, 3
线性没关。

5.解：先正交化：
令 1
1
1, 2, 0 T
2
,
4 2
T
1
2
2
2
1
=
,
,
1,
1
5 5
3 ,
3
,
1
1
T
1
2
2
= , , 1
3
3
1
,
1
,
3 6 6
1
2
2
再单位化：
优选
1 2 ,
T
1
1 , 0 ， 2
1
5
5
T
3
3 2 , 1 , 1
3
6 6 6
1
,
2 ,
3 为标准正交向量组。

四、证明题
1.证：∵ 3(
1
2
)
4(2 1
3
) 0
∴ 5
1
3
2
4
3
∴
1, 2 , 3线性有关
2.证：设 k 1 (
1
2
) k 2 (
2
3
) k n ( n
则 (k 1 k n ) 1 (k 1
k 2 ) 2 (k n 1
k n )
∵ 1 ,
2
,
, n 线性没关
k 1 k n 0 ∴ k 1
k 2 0
k n 1 k n
1 0 0 0 1
1
1 0 0 0
其系数队列式 0
1 1 0 0 =1
2 1 5 T
2
，
,
,
30 2
30
30
1 )
n 0
为奇数
( 1)n 1
2, n
为偶数
0, n
0 0 1 0 0
1
1
∴当 n 为奇数时， k 1 , k 2 , , k n 只好为零， 1 , 2
,
, n 线性没关；
当 n 为偶数时， k 1 , k 2 ,
,k n 能够不全为零，
1, 2
,
, n 线性有关。

3.证：∵ 1, 2 , , s , 线性有关
∴存在不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s , k 使得
k
1 1
k
2 2
k s s k 0
若 k 0 ，则 k 1 1
k
2 2
k
s s
0 ，（ k 1 , k 2 ,
, k s 不全为零 ）
与1,2,
,
s 线性没关矛盾
所以 k 0
于是
k 1 k 2
k s
k
1
k
2
s
k
∴ 能由 1, 2
,
, s 线性表示。

设
k
1 1
k
2 2
k
s s
①
l 1
1
l 2
2
l s
s
②
则① - ②得 (k 1 l 1 ) 1 (k 2 l 2 ) 2 (k s l s ) s
∵1,2,
, s 线性没关
∴ k i l i
0, (i 1,2, , s)
∴ k i
l i , (i 1,2, , s) 即表示法独一
4.证：假定
4 能由 1
, 2
,
3 线性表示
∵2,3, 4 线性没关，∴ 2, 3线性没关
∵1,2,
3 线性有关，∴
1可
由
2
, 3 线性表示，
∴
4 能由
2
,
3 线性表示，进而
2
,
3 ,
4 线性有关，矛盾
优选
∴
4不可以由 1 , 2 , 3 线性表示。

5.证：必需性
设向量组
1, 2
,
, s 线性有关
则存在不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s , 使得 k 1 1k 2 2 k s s 0
不如设 k s
0 ，则 s
k 1 k 2 k
s 1
，
1
2
s 1
k s
k s
k s
即起码有一个向量是其他向量的线性组合。

充足性
设向量组 1, 2
,
, s 中起码有一个向量是其他向量的线性组合
不如设 s
k 1
1
k 2
2
k
s 1
s 1
则 k 1 1
k
2 2
k s 1
s 1 s
0 ，
所以 1, 2, , s 线性有关。

6.证：用数学概括法
当 s=1 时， 1
0 ，线性没关，
当 s=2 时，∵ 2 不可以
由 1 线性表示，∴
1
,
2 线性没关，
设 s=i-1 时， 1 ,
2
, ,
i 1 线性没关
则 s=i 时，假定 1
, 2
,
, i 线性有关， Q
1
,
2 ,L
, i 1 线性没关，
i
可
由 1 ,
2
, , i
1 线性表示，矛盾，所以
1
, 2
,
,
i
线性没关。

得证
7.证：若向量组 1
, 2
,
,
s 中有一部分组线性有关， 不如设
1,2,, r （r<s ）
线性有关，则存在不全为零的数 k 1 , k 2 ,
, k r , 使得
k
1 1
k
2 2
k
r r
于是 k 1 1 k 2 2
k r
r
0 r 1 0
s
由于 k 1 , k 2 ,
, k r , 0，┈， 0 不全为零
所以 1, 2
,
,
s 线性有关。

8.证：设 k 0
k 1 ( 0
1
)
k 2 ( 0
2
) k s ( 0s ) 0
则 (k 0 k 1 k 2
k s ) 0
k
1 1
k
2 2
k
s s
因 0 ,
1
,
2
, ,
s 线性没关，
k 0
k 1 k 2
k s 0
k 1
所以
k 2 0 解得 k 0 k 1 k 2
k s 0
k s
所以向量组
,
1
, 0
2
,
, 0
s 线性没关。

优选
第四章 线性方程组
一、单项选择题
1． 设 n 元齐次线性方程组 AX 0的系数矩阵的秩为 r ，则 AX
0 有非零解的充
分必需条件是（ ）
(A) r n (B) r n
(C) r n (D) r n
2． 设 A 是 m n 矩阵，则线性方程组 AX b 有无量解的充要条件是（
）
(A) r ( A) m
(B) r ( A) n
(C) r ( Ab) r (A) m
(D) r ( Ab) r ( A) n
3． 设 A 是 m n 矩阵，非齐次线性方程组 AX b 的导出组为 AX 0 ，若 m n ， 则（ ）
(A) AX b 必有无量多解 (B) AX b 必有独一解 (C) AX
0 必有非零解
(D) AX 0 必有独一解
x 1 2x 2 x 3 4
4． 方程组
x 2
2x 3 2
无解的充足条件是
（
）
( 2) x 3
(
3)(
4)( 1)
(A) 1
(B) 2 (C) 3 (D) 4
x 1 x 2 x 3
1
5． 方程组
2x 2 x 3
2 有独一解的充足条件是
（
）
x 3 4
( 1)x 3
( 3))(
1))
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
x 1 2x 2 x 3 1
6． 方程组
3x 2 x 3
2
有无量解的充足条件是
（
）
x 2 x 3 ( 3)(
4) ( 2)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
7． 已知
1
,
2 是非齐次线性方程组 AX b 的两个不一样的
解，
1
,
2 是导出组
AX
0的基本解系， k 1, k 2 为随意常数，则 AX b 的通解是（ ）
(A)
k 1
1
k 2 ( 1
2
)
1 2
(B)
k
1 1
k 2 ( 1 2 )
1 2
2
2
(C) k
1 1
k
2
(
12
) 1 2
(D)
k
1 1
k
2
(
1 2
) 1 2
2 2
8．设 A 为m n 矩阵，则以下结论正确的选项是（）
(A)若 AX 0 仅有零解，则 AX b 有独一解
(B)若 AX 0 有非零解，则 AX b 有无量多解
(C)若 AX b 有无量多解，则 AX 0 仅有零解
(D) 若 AX b 有无量多解，则AX0 有非零解
9．设 A 为m n 矩阵，齐次线性方程组AX 0 仅有零解的充要条件为（）
(A) A 的列向量线性没关(B) A 的列向量线性有关
(C) A 的行向量线性没关(D) A 的行向量线性有关
x1x2x3 1
10 ．线性方程组x12x23x30（）
4x17x210 x3 1
(A) 无解(B)有独一解(C)有无量多解(D)其导出组只有零解
二、填空题
1. 设 A 为 100 阶矩阵，且对随意 100 维的非零列向量 X ，均有 AX 0，则 A的秩为.
kx1 2x2 x3 0
2. 线性方程组2x1 kx2 0 仅有零解的充足必需条件是.
x1 x2 x3 0
3. 设 X1, X 2,L X s和 c1 X1 c2 X 2 L c s X s均为非齐次线性方程组AX b 的解
（ c1 ,c2 ,L c s为常数），则 c1 c2 L c s .
4. 若线性方程组 AX b 的导出组与BX 0(r ( B) r ) 有同样的基础解系，则
r ( A) .
5. 若线性方程组 A m n X b 的系数矩阵的秩为 m ，则其增广矩阵的秩为.
6. 设 10 15矩阵的秩为 8 ，则 AX 0 的解向量组的秩为.
优选
7. 假如 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为 0 ，且 r ( A) n 1 ，则线性方程组 AX 0 的通解为.
8. 若 n 元齐次线性方程组 AX
0 有 n 个线性没关的解向量，则 A
.
1 2 1
1 x 1
9. 设 A
2 3 a 2 ,b
3 , x x 2
，若齐次线性方程组 AX
0 只有零解，
1 a
2
x 3
则 a
.
1 2 1
1 x 1
10. 设 A
2 3 a
2 ,b
3 , x
x 2 ，若 线性 方程 组 AX b 无解 ，则
1 a
2
x 3
a
.
11. n 阶方阵 A ，对于 AX
0 ，若每个 n 维向量都是解，则 r ( A)
. 12. 设 5 4 矩阵 A 的秩为 3， 1, 2, 3是非齐次线性方程组 AX
b 的三个不一样
的
解向量，若 1223 (2,0,0,0) T ,3 12(2, 4,6,8) T ，则 AX
b 的通解
为.
13. 设 A 为 m n 矩阵， r ( A) r
min( m, n) ，则 AX 0 有
个解，有
个线
性没关的解 .
三、计算题
1. 已知 1,
2
,
3是齐次线性方程组 AX 0的一个基础解系，问
1
2 ,
2
3,
3
1 是不是该方程组的一个基础解系？为何？
5 4 3 3 1 1 2 0 1 0 2. 0 1 2 2
6 5 6 0 0 1
设 A
2 1 1 ， B
1 2 1 0 ，已知 B 的行向量都是线
3 3 0
1
1
1 1
1
1
2 3
2 0
性方程组 AX 0 的解，试问 B 的四个行向量可否构成该方程组的基础解系？为何？
3. 设四元齐次线性方程组为
x1 x2 0 （Ι）：
x4 0
x2
1）求（Ι）的一个基础解系
2）假如k1(0,1,1,0)T k2 ( 1,2,2,1)T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组
（Ι）和（ II ）能否有非零的公共解？如有，求出其所有非零公共解；若无，
说明原因。

4.问 a, b 为何值时，以下方程组无解？有独一解？有无量解？在有解时求出所有解（用基础解系表示所有解）。

x1 ax2 x3 a x1 x2 bx3 4
1）ax1 x2 x3 1 2）x1 bx2 x3 b2
x1 x2 ax3 a2 x1 x2 2x3 4
5.求一个非齐次线性方程组，使它的所有解为
x1 1 1 2
x2 1 c1 3 c2 3 .(c1 ,c2为随意实数 )
x3 3 2 1
6. 设A 2 2 1 3 ，求 4 2一个矩阵 B ，使得 AB 0 ，且r ( B) 2。

9 5 2 8
优选
参照答案
一、单项选择题
二、填空题
1. 100
2. k 2且 k 3
3. 1
4. r
5. m
6. 7
7. (1,1, ,1)T （k 为随意实数）8. 0 9. a 或10. a 1 11.
k L 1 3
12. ( 1
,0,0,0) T k(0, 2,3, 4)T , k随意实数13. 无量， n r
2
三、计算题
1. 是
2. 不可
以
3. 1）v1 (0,0,1,0) T , v2 ( 1,1,0,1)T ）T 此中为随意非零常数
)
2 k( 1,1,1,1) ( k
4. 1）当 a 2 时，无解；当 a 2且 a （ - 1 a 1 (1 a)2 T
, , ）；
1 时有独一解：
2 a 2 2 a
a
当 a 1时有无量多解：c1
( 1,1,0)T c2 ( 1,0,1)T (1,0,0) T (此中 c1,c2为随意常数 )
2 ）当 b 1 时，无解；当 b 1且
b 4时有独一解：
（b(b 2) b2 2b 4
,
2b T
时有无量多解：b 1 , b 1 b 1 ）
；当 b 4
c( 3, 1,1)T (0, 4,0) T (此中 c为随意常数 )
5. 9x1 5x2 3x3 5
10
0 1
6.
112 12 52 12
第五章特点值与特点向量
一、单项选择题
0 0 1
1.设A 0 1 0 ,则 A的特点值是( ) 。

1 0 0
(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2
1 1 0
2. 设A 1 0 1 ,则A的特点值是 ( ) 。

0 1 1
(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1
3. 设 A 为n阶方阵 , A2 I ,则( ) 。

(a) | A | 1 (b) A 的特点根都是 1 (c) r ( A) n (d) A 必定是对称阵
4. 若 x1, x2 分别是方阵 A 的两个不一样的特点值对应的特点向
量, 则k1x1 k2 x2也
是 A 的特点向量的充足条件是 ( ) 。

(a) k1 0且 k2 0 (b) k1 0且 k2 0 (c) k1k2 0 (d) k1 0且 k2 0
5. 若 n 阶方阵 A, B 的特点值同样, 则( ) 。

(a) A B (b) |A| |B| (c) A与B相像(d)A 与 B 合同
6. 设 A 为n阶可逆矩阵 , 是 A的特点值 , 则 A* 的特点根之一是 ( ) 。

(a) 1 | A |n(b) 1 |A| (c) | A | (d) | A |n
7. 设 2 是非奇怪阵 A 的一个特点值 , 则( 1 A2 ) 1起码有一个特点值等于( ) 。

3
(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4
优选
8. 设 n 阶方阵A的每一行元素之和均为a( a 0) ,则2A1 E 有一特点值为
( ) 。

(a)a (b)2a (c)2a+1 (d) 2
+1
9. 矩阵 A 的属于不一样特点值的特点向量
（
a
）。

(a) 线性有关(b) 线性没关
(c) 两两订交(d) 其和还是特点向量
10. | A | | B |是 n 阶矩阵A与B相像的( ) 。

(a) 充要条件(b) 充足而非必需条件
(c) 必需而非充足条件(d) 既不充足也不用要条件
11.n 阶方阵A有 n 个不一样的特点根是A与对角阵相像的( )。

(a) 充要条件(b) 充足而非必需条件
(c) 必需而非充足条件(d) 既不充足也不用要条件
1 1 0 0 0
12. 设矩阵 A 1 与 B 0 1 0 相像,则,的值分别为 ( ) 。

1 1 0 0 2
(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1
13. 设 A, B 为相像的 n 阶方阵,则( ) 。

(a) 存在非奇怪阵 P , 使 P 1 AP B (b) 存在对角阵 D , 使 A与 B 都相像于 D
(c) 存在非奇怪阵 P , 使 P T AP B (d)A 与 B 有同样的特点向量
14. 若 n 阶方阵A与某对角阵相像,则( ) 。

(a) r ( A) n (b) A 有n个不一样的特点值
(c) A 有n个线性没关的特点向量(d) A 必为对称阵
15. 若A相像于 B,则( ) 。

(a) I A I B (b) |I A||IB|
(c) A 及B 与同一对角阵相像(d) A 和 B 有同样的陪伴矩阵
1 0 0
16. 设A 0 1 0 , 则与 A相像的矩阵是 ( ) 。

0 0 2
1 1 0 1 0 0 1 0 1
2 0 0
(a) 0 1 0 (b) 0 2 0 (c) 0 2 0 (d) 0 1 1
0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 2
17. 以下说法不当的是（）
(a) 由于特点向量是非零向量，所以它所对应的特点向量非零
(b) 属于一个特点值的向量或许只有一个
(c) 一个特点向量只好属于一个特点值
(d) 特点值为零的矩阵未必是零矩阵
18. 若 A : B ，则以下结论错误的选项是（）
(a) E A E B(b)A B
(c) 存在可逆矩阵 P ，使 P 1 AP B(d)trA trB
二、填空题
1. n 阶零矩阵的所有特点值为 _______。

2. 设 A 为n阶方阵，且A2 I ，则A的所有特点值为 _______。

3. 设 A 为 n 阶方阵，且A m 0 (m是自然数)，则A的特点值为_______。

4. 若 A2 A ，则 A 的所有特点值为 _______。

5. 若方阵 A 与 4I 相像，则 A _______。

6. 若 n 阶矩阵 A 有 n 个相应于特点值的线性没关的特点向量，则 A _______。

7. 设三阶矩阵 A 的特点值分别为 -1,0,2, 则队列式 A2 A I 。

8. 设二阶矩阵 A 知足A2 3A 2E O ，则A的特点值为。

优选
9. 特点值全为 1 的正交阵必是
阵。

10. 若四阶矩阵 A 与 B 相像， A 的特点值为 1
, 1 , 1 ,
1
，则B 1
E =。

2 3 4 5
11. 22 31 1 2 B ，则 x
， y =。

若 A
x
:
4
y
3
三、计算题
1. 若 n 阶方阵 A 的每一行元素之和都等于 a , 试求 A 的一个特点值及该特点值
对应的一个特点向量 .
2. 求非奇怪矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵 .
2 1
1 1
2 A
1 3 1 1)A
2)
1 2
2
1
3. 已知三阶方阵 A 的三个特点根为 1,1,2, 其相应的特点向量挨次为
(0,0,1) T ,( 1,1,0)T ,( 2,1,1)T , 求矩阵 A .
2 1 2 1
4. 设 A
5 a 3 ，有一个特点向量 1 ，求 a,b 的值，并求出对应
1
b
2
1
于 的特点值。

3 3 1
1
5. 设 A
t 2 2 ，有一个特点向量 2 ，求 s,t 的值。

3 s 1
3
0 0 1
6. 设 A
x 1 y 有三个线性没关的特点向量，求 x, y 知足的条件。

1
0 0
7. 求正交阵 P ，使 P 1 AP 为对角阵，此中 A
a b 。

b a
8. 设三阶矩阵 A 的特点值为 -1,2,5 ，矩阵 B 3A A 2 ，求
（ 1） B 的特点值； （ 2） B 可否对角化，若可对角化求出与 B 相像的对角阵；
（ 3）求 B,A 3E.
1 1 1 2
9.
已知矩阵 A
2 4 2 与 B 2相像，
3
3
5
y
（ 1） 求 y ；
（ 2） 求一个知足 P 1 AP
B 的可逆阵 P 。

5 3 2
10.
设 A 6
4 4 , 求 A 100.
4
4 5
四、证明题
1. 设 A 是非奇怪阵 ,是 A 的任一特点根 , 求证 1
是 A 1的一个特点根 , 而且 A
对于 的特点向量也是 A 1
对于 1
的特点向量 . 2. 设 2 E , 求证 的特点根只好是
. A A
1 3. 设 n 阶方阵 A 与 B 中有一个是非奇怪的 , 求证矩阵 AB 相像于 BA .
4. 证明 : 相像矩阵拥有同样的特点值 .
5. 设 n 阶矩阵 A E ，假如 r ( A E) r ( A E) n ，证明： -1 是 A 的特点值。

6. 设 A : B ，证明 A k : B k 。

7. 设
1, 2 是 n 阶矩阵 A 分别属于 1 , 2 的特点向量，且 1
2 ，证明 1
2 不
是 A 的特点向量。

优选。