研究生数值分析试卷.docx

2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）
科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法
（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.
kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.
二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。

x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,
v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，
2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・
a 0、
a 0 ,说明对任意实数。

工0,方程组AX=
b 都是
0 Q,
非病态的。

（范数用||・|L ）
四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:
求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。

五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为
已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分
(2a 三、（8分）若矩阵A = 0
J(a, /?) = !] [ax2
取得最小值。

七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:
'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—L
n-1（兀）
（斤=1, 2,…）
试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式
£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀
2）
的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
go ） = y （）
儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +
hk ｛）
（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。

2005〜2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）
科目名称：数值分析
学生所在院： ______ 学号： _________ 姓名： _______
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解卜列方程组的 收敛性。

二、（15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法
八、（14分）对于下而求解常微分方程初值问题
牛"（3）的单步法:
^+i =4 + -COSX A .
(1) 证明对Vx 0 G 7? 有lim® =M,其中/为方程的根.
k->8
(2) 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.
'la a O'
三、 (8分)若矩阵0 a O ,说明对任意实数QHO,方程组AX=h 都是
、0 0 。

丿
非病态的。

(范数用||・|L ) 四、 (15分)
________________________
求/(x)的Hermite 插值多项式H 3(x),并给出截断误差/?(%) = /(%)-W 3(x) o 五、(10分)在某个低温过程屮，函数y 依赖于温度兀
(°C)的试验数据为
已知经验公式的形式为y = ax^bx 2
，试用最小二乘法求出a , b □ 六、(12分)确定常数a, b 的值，使积分
取得最小值。

七、(14分)对于求积公式：J/?(x)/(x)cZr = £人/(忑)，其屮：°(兀)是区间(d,b) k=\ 上的权函数。

(1) 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; (2) 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明
吕 c h
LA =J P （x ）dx A=1 a
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题■孚二'。

，刃的单步法: 丿（兀0）
=儿
/（6Z, /?） = j f
\ciX 2
儿+】=儿+力（*心+*為）k\二心，儿）
忍=f（X n + 人儿 + hk\）
（3）验证它是二阶方法；
（4）确定此单步法的绝对稳定域。

2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）
科目名称：数值分析学生所在院： ______ 学号：_________ 姓名：_______
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解卜列方程组的收敛性。

x x + 2 兀2 一2 无3 = 1, x x + x2+x3 =_1, 2x l + 2X2+x3 = 0.
'2a a 0、
说明对任意实数GH0,方程组AX=b都是
二、（8分）若矩阵0 6/ 0
、0 0 d丿
非病态的。

（范数用||・|L）
三、（15分）设0（兀）导数连续，迭代格式x k+l =（p（x k）一阶局部收敛到点构造
新的迭代格式：
耳+i =几耳+ 〃0（无）
问如何选取常数久及“，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。

四、（15分） ________________________
求/（x ）的Hermite 插值多项式比⑴，并给出截断误差尺⑴=/⑴-比（兀）。

五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为
1
2 3 4
0・8
1・5
1. 8
2・0
已知经验公式的形式为y = ax + bx 2
,试用最小二乘法求出a , b 。

六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分
/(a, b)二 =j [ [ax? + 方 一 |
时]dx
取得最小值。

p(x)f(x)dx A k f(x k ),其中：p(x)是区间(a,b) k=\ 上的权函数。

（3） 证明此求积公式的代数精度不超过2叶1次; （4） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明
儿+】=儿+ 何+㊁心) k\ =f(x n ,y n )
k 2 = f(x n + h,y n + hkj
（5） 验证它是二阶方法； （6） 确定此单步法的绝对稳定域。

2006-2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）
科目名称：数值分析学生所在院： ________ 学号： _____________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（12分）设方程组Ax = b 为
、 ^11
七、（14分）对于求积公式: 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题
卜（尢0）=儿
的单步法:
(1)用Doolittle分解法求解方程组;
(2)求矩阵A的条件数Ccmdg
二、(12分)设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为人5入5…5人，为求解方程组Ax = b f建立迭代格式求出常数⑵的取值范围，使迭代格式收敛。

三、(12分)已知数据
试用二次多项式p(x) = ax2 +加+ c拟合这些数据o
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：
(1)求f(x)的Hermite插值多项式H3 (x)；
3 3 3
(2)为求^f{x)dx的值，采用算法：J(J(x)tZx + R
试导出截断误差R
五、(12分)确定常数a , b的值，使积分
! 2
f
I (a, b) = J 0(czx + b-e') dx
取得最小值。

六、(12)确定常数人，使求积公式
匸/(兀)心=A』(0) +仏/(1) +人』⑵ 的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设俠劝导数连续，迭代格式x,+I =(p(x k)-阶局部收敛到点对于常数久，构
造新的迭代格式：
A 1 ,、 X.+]-——-X ，+ ——- "1 + 2 1 + A
问如何选取2,使新迭代格式有更高的收敛阶, 八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题 弓="刃的单步法:
儿+】=儿+ hk
2
k\ ="“，儿）
kq= f （匚 +打，y,t + ：/必]）
(7) 验证它是二阶方法；
(8)
确定此单步法的绝对稳定区域。

2007〜2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题
科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： ________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

—> （15 分）给定方程 f （x ） = （x-l ）e x
-l=0
(1) 分析该方程存在几个根；
(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数;
(3) 说明所用的迭代格式是收敛的. 二、(15分)设线性方程组为
(1) 证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛, 要么同
时发散.
(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.
三、(10分)设4为非奇异矩阵，方程组Ax = b 的系数矩阵人冇扰动AA,受扰 动后的方程组为(A + M)(x + Ax) = &,若 || A'1 ||-||^||<1,试证：
II A Y ||^
II % II "
并问是儿阶收敛。

a 2l x } + a 22x 2 = b .
求/（X ）的Hermite 插值多项式H 3（x ）,并给出截断误差7?（兀）=f （x ）-H 3（x ）。

五、（10分）己知数据
ix /(x) = ax + b(x-l)2
,求常数 a , b,使得
y, ]2
= min
/=O
八、（15分）定义内积（于，g ） =
必 在H = Span{l ,x ,x 2}中求
/（x ） =| x |的最佳平方逼近元素.
七、（10分）给定求积公式
r 2/?
J f^dx - Af （-h ） + 砂（0） + Cf （h ） J 一2h
试确定A,B,C,使此求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式.
八、（10分）给定微分方程初值问题
y (o )= 2
用一个二阶方法计算y （x ）在0.1, 0.2处的近似值.取h = 0.1计算结果保留 5位冇效数字。

dy < y 2
0<x<l
200旷2009学年第一学期硕士研究生期末考试试题
一、（本题共3小题，每题8分，共24分）解答下血各题：
用复化求积公式近似计算函数在区间上的积分。

2）已知函数 式。

3）取初值为2,利用Newton 迭代法求方程:
/（x ） = x 2
-2 = 0
在［0, 2］中的近似解。

要求迭代两次。

（如果计算结果用小数表示，则最后结果 应保留5位小数）。

二、（本题1 5分）设常数a^O,试求a 的取值范围,使得用雅可比（Jacobi ） 迭
代法求解下面线性方程组时是收敛的。

(
a
1 3
、 Z
、
，a ' 1 a 2
y = Q + 1 ‘―3 2 °丿 l z X /
卫+ 2,
三、（本题
16分）利用Hermite 插值多项式构造下面的求积公式：
j f （x ）dx « y ［/（o ）+ /（/?）］+ 告沪［厂（0）一 厂（/?）［
2
I ，
并导出其积分余项。

四（14分）己知方程/+10—4 = 0在0.2附近有解，建立用于求解此解的 收敛的迭
代公式。

并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有4位有效数字 （不计舍入误差）。

五、（15 分）对初值问题一处+
导出改进Euler 方法的近似解的
I y （o ）= o
1 9
表达式，并与准确解y--ax +bx 相比较。

2
六（15分）设A 为n 阶对称正定矩阵，从方程组Ar"的近似解严二兀⑹出
发依次求得）"使得0（严）=migtyi +©）, i=l,2,...,n,然后令兀（如）=y （/,）。

其屮：©为n阶单位矩阵的第i列，0（尤）二（\/2）x T Ax-h T x o 请验证这样得到的迭代算法就是Gauss-Seidle迭代法。