2015年山东高考数学(理科)试题详细解答

2015年山东高考数学（理科）试题详细解答
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的. （1） 已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A
B =
(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)
解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A
B =-+<=<<=,答案选(C)
(2) 若复数z 满足
1z
i i
=-，其中i 是虚数单位，则z = (A)1i - (B) 1i + (C) 1i -- (D) 1i -+
解析：2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-，答案选(A) （3）要得到函数sin(4)3
y x π
=-
的图象，只需将函数sin 4y x =的图像
(A)向左平移
12π
个单位 (B) 向右平移
12π
个单位
(C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π
个单位
解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12
π
个单位答案选(B)
(4)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=
(A)23
2a - (B) 234a - (C)
234a (D) 232
a 解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，
2223
()()cos1202
BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，答案选(D)
（5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是
(A)(,4)-∞ (B) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)
解析：当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，
1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <，答案选(A)
（6）已知,x y 满足约束条件0,
2,0.x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
若z ax y =+的最大值为4，则a =
(A)3 (B) 2 (C) 2- (D) 3-
解析：由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值
14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大
值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值
24,2a a ==，满足1a >；答案选(B) 7.在梯形ABCD 中，
2
ABC π
∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD
所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
(A)
23π (B) 43π (C) 53
π (D) 2π 解析：22
15121133
V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，答案选(C)
8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2
(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,
(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）
(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%
解析：1
(36)(95.44%68.26%)13.59%2
P ξ<<=
-=，答案选(B) （9）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆2
2
(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为
(A)53-或35- (B) 32-
或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34
- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即
230kx y k ---=，则
1,|55|d k =
=+=解得43
k =-或34-，答案选(D)
（10）设函数31,1,()2, 1.x
x x f x x -<⎧=⎨
≥⎩
则满足()
(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3
(B) [0,1] (C) 2
[,)3
+∞ (D) [1,)+∞
解析：由()
(())2
f a f f a =可知()1f a ≥，则121a
a ≥⎧⎨
≥⎩或1311
a a <⎧⎨-≥⎩，解得2
3a ≥，答案选(C)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）观察下列各式：
00101
13301
225550123377774;
4;
4;4;
C C C C C C C C C C =+=++=+++= 照此规律，当*n ∈N 时，
0121
21212121n n n n n C C C C -----+++
+= .
解析：1
4
n -.具体证明过程可以是：
012
1012
1
21212121212121211(2222)2
n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------+++
+=
++++
021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422
n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= （12）若“[0,],tan 4
x x m π
∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .
解析：“[0,
],tan 4
x x m π
∀∈≤”是真命题，则tan
14
m π
≥=，于是实数m 的最小值为1.
（13）执行右边的程序框图，输出的T
解析：1
1
2
00111123T xdx x dx =++=++=⎰⎰（14）已知函数()x
f x a b =+(0,a a >≠和值域都是[1,0]-，则a b += .
解析：当1a >时101
a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；
当01a <<时1001
a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2,b =-则13
222
a b +=
-=-. (15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线
22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，
若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 解析：22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b
y x a =±，则22222222(
,),(,)pb pb pb pb A B a a a a
-
22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AF pb p
a a k p
b b a
-=
=，即2222222593,,.442b c a b c e a a a a +===== 三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）设2
()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2
A
f a ==求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222
f x x x x x x π=-++=-+=- 由222,2
2
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈得,4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
则()f x 的递增区间为[,],4
4
k k k Z π
π
ππ-+
∈；
由3222,22k x k k Z π
πππ+
≤≤+
∈得3,44
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈，
则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππ
ππ++
∈. （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6
A π
=,而1,a =
由余弦定理可得2
2
12cos
2(26
b c bc bc bc π
=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号
成立，即2bc ≤
=+
1112sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤，
故ABC ∆
. （17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF
-2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.
（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,AB BC CF DE ⊥=∠求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,
所以四边形DGCF是平行四边形,T是DC的中点，DG//FC. 又在BDC
∆,H是BC的中点，则TH//DB，
又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故//
BD
（Ⅱ）由CF⊥平面ABC,可得DG⊥平面ABC而
则GB AC
⊥,于是,,
GB GA GC两两垂直，
以点G为坐标原点，,,
GA GB GC所在的直线
分别为,,
x y z轴建立空间直角坐标系，
设2
AB=,则1,
DE CF AC AG
====
((
B C F H
则平面ACFD的一个法向量为
1
(0,1,0)
n=，
设平面FGH的法向量为
2222
(,,)
n x y z
=，则2
2
n GH
n GF
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
,即22
22
22
x y
z
-=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，
取
2
1
x=，则
22
1,
y z
==
2
(1,1
n=，
12
1
cos,
2
n n
<>==，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60.
（18）（本小题满分12分）设数列{}
n
a的前n项和为
n
S，已知23 3.
n
n
S=+
（Ⅰ）求数列{}
n
a的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}
n
b满足
3
log
n n n
a b a
=，求数列{}
n
b的前n项和
n
T.
解：（Ⅰ）由233
n
n
S=+可得
11
1
(33)3
2
a S
==+=，
11
1
11
(33)(33)3(2)
22
n n n
n n n
a S S n
--
-
=-=+-+=≥
而11
1
33
a-
=≠，则
1
3,1,
3, 1.
n n
n
a
n
-
=
⎧
=⎨
>
⎩
（Ⅱ）由
3
log
n n n
a b a
=及
1
3,1,
3, 1.
n n
n
a
n
-
=
⎧
=⎨
>
⎩
可得3
1
1
,1,
log3
1
, 1.
3
n
n
n
n
n
a
b
n
a
n
-
⎧
=
⎪⎪
==⎨
-
⎪>
⎪⎩
2311123133333n n n T --=
+++++. 2234111123213333333n n n n n T ---=++++++ 223122312111111133333333
1111111()3333333
11212131331939223313
13211823n n n n n n n n
n
n n T n n n n ---=+-++++--=-+++++--
--=+-=+--⋅-+=-
⋅ 1
13211243n n n T -+=-⋅
19（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345； （Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.
32
11284444333
9992111
(0),(1),(1)31442
C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：
0(1)13144221
EX =⨯+⨯-+⨯=
(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离
12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆22
22:144x y E a b
+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭
圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求
||
||
OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值. 解析：（Ⅰ）由椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率
为可
知c e a ==，而
222a b c =+
则2,a b c ==
，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,
圆1F
：22()9,x y +=圆2F
：22()1,x y +=
由两圆相交可得24<<
，即
12<<，
交点，在椭圆C 上，
则22
4134b b =⋅， 整理得4
2
4510b b -+=，解得2
1,b =21
4
b =
（舍去） 故2
1,b =2
4,a =椭圆C 的方程为2
214
x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为
22
1164
x y +=， 设点00(,)P x y ，满足2
20014x y +=，射线000
:(0)y PO y x xx x =<， 代入
221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --
，于是||
2||OQ OP ==. （ⅱ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：
d =
=
22
1164
y kx m
x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222
(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->
||AB =
22
11||||||36221414m m S AB d k k
∆==⋅⋅⋅=++ 222
2
1646122(41)
m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22
||82m m k ==+等号成立. 而直线y kx m =+与椭圆C ：2
214
x y +=有交点P ，则 22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即22222
4()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解， 其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即22
14k m +≥，则上述2
2
82m k =+不成立，等号不成立，
设
(0,1]t =，则2||614m S k ∆==+(0,1]为增函数，
于是当2
2
14k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12. （21）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2
()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞
21(21)(1)121()(21)111
a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，
设2
()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1
()1,()01
g x f x x '==
>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，22
8(1)98a a a a a ∆=--=-，
若8
09
a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若8
9
a >
时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则121
14
x x -<<-<，
所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；
当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；
当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。

综上可知当809a ≤≤
时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89
a >时，()f x 的有两个极值点.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当8
09
a ≤≤
时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意； 当
8
19
a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；
当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；
当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x
'=-
=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，
于是2
2
()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a
>-时2
(1)0ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤.
另解：（Ⅰ）2
()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞
21(21)(1)121()(21)111
a x x ax ax a
f x a x x x x -++++-'=+-==+++，
当0a =时，1
()01
f x x '=
>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-，
当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数.
若(98)0a a ∆=-≤，即8
09
a <≤时，()0g x ≥，()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数，无极值点.
若(98)0a a ∆=->，即8
9
a >
或0a <， 而当0a <时(1)0g -≥此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点； 当8
9
a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；
综上可知当8
09
a ≤≤
时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当8
9
a >
时，()f x 的极值点个数为2. （Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，0x ∀>，都有()0f x ≥成立. 即2
ln(1)()0x a x x ++-≥ 当1x =时，ln 20≥恒成立；
当1x >时，2
0x x ->，
2ln(1)
0x a x x ++≥-；
当01x <<时，2
0x x -<，2
ln(1)0x a x x
++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立。

故当1x >时，，2
ln(1)1
1x x x x +<--(0,)∈+∞，则只需0a ≥； 当01x <<时，2
ln(1)1
(,1)1
x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤.综上可知对于0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可，故所求a 的取值范围是01a ≤≤.
另解：设函数2
()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，
只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可， 于是只需0x ∀>，1
()(21)01
f x a x x '=
+-≥+成立，
当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)
g t t t =-∈-∞+， 则0a ≥；当12x =时12()023f '=>；当102x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-， 令21(1,0)x t -=∈-，2()(3)g t t t =-
+关于(1,0)t ∈-单调递增，则2()(1)11(13)
g t g >-=-=--+，则1a ≤,于是01a ≤≤. 又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，
则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；
当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x
'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<， 于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a >-
时2(1)0ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意.
综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤.
评析：求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求.。