中职高考数学一轮复习讲练测专题10-4 离散型随机变量的分布列(讲)(含详解)

专题10.4 离散型随机变量的分布列
【考纲要求】
1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验． 【考向预测】
1. 独立重复试验与二项分布．
2. 离散型随机变量的分布列．
【知识清单】
1. 离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质
①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑n
i ＝1
p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为
其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．
若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．
(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n N
，
k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.
4.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.
(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率
为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －
k
(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.
【考点分类剖析】
考点一 独立重复试验的概率
例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．
2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验． 3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3
4，假设每次射击是否击中目标，相
互之间没有影响．(结果须用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 考点二 离散型随机变量的分布列-二项分布
例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为1
2
．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．
【方法归纳】 解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －
k
(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．
【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35
；
②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2
5；
③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为26
27．
其中所有正确结论的序号是__ __． 考点三 二项分布的应用
例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为1
3，该
研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．
【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．
2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23
．
(1)求油罐被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．
2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和3
4.假定甲、乙两位同学答
题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．
①用X表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设M为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M发生的概率．
考点四离散型随机变量的分布列-超几何分布
例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
【方法归纳】求离散型随机变量的分布列应注意的问题
(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．
(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．
【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．
2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
专题10.4 离散型随机变量的分布列
【考纲要求】
1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验． 【考向预测】
1. 独立重复试验与二项分布．
2. 离散型随机变量的分布列．
【知识清单】
1. 离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质
①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑n
i ＝1
p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为
其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．
若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任
取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，
n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.
4.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.
(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率
为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －
k
(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )． 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.
【考点分类剖析】
考点一 独立重复试验的概率
例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [解析] (1)记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8． 5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23
＝0.0512≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05．
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01．
所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99．
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99． (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．
【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．
2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3
4，假设每次射击是否击中目标，相
互之间没有影响．(结果须用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
[解析] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝19
27
．
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 1
2×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16． 考点二 离散型随机变量的分布列-二项分布
例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12
．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．
[解析] (1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立．
所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12
． (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.且X ～B (4，12)．
所以P (X ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k
＝C k 4(12)4(k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量X 的分布列为：
【方法归纳】 解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －
k
(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两
者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．
【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是3
5
；
②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2
5；
③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为26
27．
其中所有正确结论的序号是__①③__．
[解析] ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24
C 36＝35
，故①正确；②设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取
到红球}．
则P (A )＝2
3，P (A ∩B )＝4×36×5＝25，
∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝3
5，故②错；
③每次取到红球的概率P ＝2
3，
所以至少有一次取到红球的概率为 1－(1－23)3＝26
27，
故③正确．
考点三 二项分布的应用
例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为1
3，该
研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．
[解析] (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X ，则P (X ＝3)＝C 35×(13)3×(23)2＝40243，
P (X ＝4)＝C 45×(13)4×23＝10
243， P (X ＝5)＝C 55×(13)5×(23)0＝1243
．
所以至少有3次发芽成功的概率
P ＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝40243＋10243＋1243＝51243＝17
81．
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5． P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝2)＝23×13＝2
9
，
P (ξ＝3)＝(23)2×13＝427，P (ξ＝4)＝(23)3×13＝8
81，
P (ξ＝5)＝(23)4×1＝16
81．
所以ξ的分布列为：
【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．
2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是2
3
．
(1)求油罐被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．
[解析] (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C 15·23·(13)4＋(13
)5
， 所以所求的概率为1－[C 15·23·(13)4＋(13)5]＝232
243． (2)当X ＝4时记为事件A ， 则P (A )＝C 13·23·(13)2·23＝427
．
当X ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B ． 则P (B )＝C 14
·23·(13)3＋(13)4＝19
， ∴射击次数不小于4的概率为427＋19＝7
27
．
2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和3
4.假定甲、乙两位同学答
题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．
①用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
②设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率．
[解析] ①X 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝1
27； P (X ＝1)＝C 13·23×⎝⎛⎭⎫132＝29； P (X ＝2)＝C 23
⎝⎛⎭⎫232×13＝49； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝8
27. ∴随机变量X 的分布列为
∴E (X )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2或E (ξ)＝np ＝2
3.
②设Y 为乙连续3次答题中答对的次数， 由题意知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， P (Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫143＝1
64，
P (Y ＝1)＝C 13
⎝⎛⎭⎫341⎝⎛⎭⎫142＝964
，所以P (M )＝P (X ＝3且Y ＝1)＋P (X ＝2且Y ＝0) ＝827×964＋49×164＝7144. 即事件M 发生的概率为7
144
.
考点四 离散型随机变量的分布列-超几何分布
例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；
[解析] (1)解法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12
C 310
＝
23
． 解法二：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A ，“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B ，事件A 和事件B 是对立事件．
因为P (B )＝C 15C 22C 1
8
C 310＝13
，
所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝2
3．
(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5．
P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22
C 310＝130；
P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22
C 3
10＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22
C 310＝310；
P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22
C 3
10＝815
． 所以随机变量X 的概率分布列为：
【方法归纳】 求离散型随机变量的分布列应注意的问题
(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．
【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值？求X 的分布列； (2)求出赢钱(即X >0时)的概率．
[解析] (1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．
当取到2个白球时，随机变量X ＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X ＝－1； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X ＝1； 当取到2个黄球时，随机变量X ＝0；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X ＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X ＝4．
所以随机变量X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4． P (X ＝－2)＝C 26
C 212＝522
，
P (X ＝－1)＝C 16C 12
C 212＝211
，
P (X ＝0)＝C 22
C 212＝166
，
P (X ＝1)＝C 16C 14
C 212＝411，
P (X ＝2)＝C 14C 12
C 212＝433
，
P (X ＝4)＝C 24
C 212＝111．
所以X 的分布列如下：
(2)P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝411＋433＋111＝19
33
．
所以赢钱的概率为19
33．2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体
方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．
[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48
C 510＝518
.
(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则
P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 1
4
C 510＝521，
P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34
C 510＝521，
P (X ＝4)＝C 16C 44
C 510＝142
.
因此X 的分布列为。