在数学魔术中揭秘“读心术”——数学活动课“二进制”教学设计与思考
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【教学过程】
一、课始激趣,提出问题
师:你们见过街头的算命大仙吗?他们常常
莫测、故弄玄虚,一副无所不知的样子。
瞧!
大仙,号称“不用开口,便知您贵姓”,只见
摆着几张写有姓氏的纸片,你只要指出哪
纸片上有你的姓,他就能猜出你姓啥。
难道
大仙真会“读心术”?让我们一起来探索其
奥秘。
二、魔术表演,体验神奇
师:老师也会表演“读心术”。
我们用自然数
纸片上的姓氏,把1—31这些数“随机”
在五张卡片上(如图1)。
图1
师:请你从1—31这些数中任意选一个,
在心中,然后只要告诉我哪些卡片中有这
,我便能猜出你心中的这个数。
(播放表演
)其实这个魔术的奥秘就是“二进制”。
三、魔术揭秘,探究进制
(一)回顾十进制。
介绍:要了解二进制,首先要从十进制说
起。
我们常用的阿拉伯数字共有十个,分别是0、
1、2……9,将它们进行组合就可以组成不同的
数。
十进制计数的规则是“满十进一”。
讨论:用十进制计数的方法来数这些小棒,
你准备怎么数?
引导:每数10个捆一捆,表示一个十。
有几
捆就有几个十。
剩下几根就是几个一,合起来就
是几十几(如图2)。
图2
播放视频介绍:人类计数采用十进制,据说
与人类有十根手指有关。
(二)了解二进制。
介绍:二进制只需要两个数字:0和1,计数
时“满二进一”。
比如:1+1=2,满2不能写2,只能
写0,向前一位进1,记作“10”。
———数学活动课“二进制”教学设计与思考
◇朱莹
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提问:还是23根小棒,用二进制计数的方法怎么表示呢?请在练习纸上圈一圈,写一写。
结合学生的作品提问并呈现计数过程(如图3):
(1)满二记作“10”,一共数了几个“10”和几个“1”?
(2)满了两个“10”怎么写?满了两个“100”怎么写?两个“1000”呢……
(3)把10000、100、10、1合起来是多少?
图3
追问:10111中,右起第一位的“1”表示几根小棒?第二位、第三位的“1”呢?第四位的“0”、第五位的“1”呢?合起来是不是23根小棒?
播放视频介绍:二进制的出现最早可以追溯到中国古代哲学著作《易经》当中。
17世纪,德国数学家莱布尼兹是第一个认识到
二进制计数法重要性的人,他系统地提出了二进制数的运算法则。
二进制对200多年后计算机的发展产生了深远的影响。
(三)把十进制数转换成二进制数。
提问:你会把十进制数改写成二进制数吗?从1至31这些数中任选几个数,试着写一写。
播放视频介绍:人们根据十进制数与二进制数之间的关系,发明了一种简便的换算方法——
—“除2取余,逆序排列”。
以十进制数13为例,可以这样换算(如图4)。
除2取余
逆序排列
图4
(四)十进制数与二进制数的联系。
把转换后的二进制数与十进制数一一对应起来(如表1)。
表1
(说明:为了便于比较,每个数位都用0和1占位)
观察:表格中的二进制数,每一位不是1就是0,按哪一位是否为1可以将二进制数进行分类。
引导:把右起第一位是1的数列入第一张卡片,第二位是1的数列入第二张卡片,第三位是1的数
列入第三张卡片……以此类推。
为了便于区分,将这五张卡片依次编号为A、B、C、D、E。
这样每张卡片中都有16个数。
将卡片上的每个二进制数改写成十进制数,就变成了图1。
思考:为什么有的数会在不同的卡片里出现?比如9,同时出现在卡片A和卡片D中,这是什么原因?
提问:如果一个数同时出现在卡片A、B、C 中,说明它对应的二进制数哪几位是“1”,哪几位是“0”?
举例:假如你心里想了一个数,它出现在卡片
A、B、C、E中,写成二进制数就是10111。
(如
图5)再对照刚才的表格,就可以找到对应的
十进制数23。
图
5
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讨论:如果不看表格,有没有办法找出二进
制数所对应的十进制数呢?
引导:只要知道二进制数每一个数位表示
的数值是多少,也就是“计数单位”是多少,就
可以解决了。
想一想,二进制数每一位的计数
单位是多少?可以结合十进制数的计数单位来
推想。
说明:十进制数满十进一,相邻两个计数单
位的进率是10,所以每个数位的计数单位依次
是:1、10、100、1000、10000……
二进制数满二进一,相邻两个计数单位的进
率是2,所以每个数位的计数单位依次是:1、2、
4、8、16……
提问:知道了计数单位,你能根据每个二进
制数数位上的数推算出相应的十进制数吗?
师:你学会“读心术”了吗?不妨小试身手,和
你的同桌玩一玩这个数学魔术。
四、总结与拓展
师:今天我们玩了一个数学魔术,并且成功
地破解了魔术的奥秘,那么,这个魔术背后的秘
密到底是什么呢?(运用了十进制数与二进制数
的关系)
师:满十进一是十进制数计数规则,满二
进一是二进制数计数规则。
你觉得还可能有几
进制数呢?试着选择一种进制,将十进制中的
1~20转换成相应进制的数。
数学家瓦列斯说
过:数学是魔术家真正的魔杖。
其实在很多魔
术中都蕴含了数学知识,感兴趣的同学可以进
一步探索,也许你也可以成为一个小小魔术
师!
【思考】
本课是在学习了“十进制计数法”之后对
计数法的延伸和拓展。
在计数系统中,阿拉伯
数字和十进制由于在生产和生活中的广泛运
用,学生习以为常,但并非真正理解十进制数
的计数原理以及进率、计数单位的意义。
除了
十进制,二进制、十二进制、六十进制等计数
规则也被各个领域所应用,因此打破“满十进
一”的思维定式,适当地了解、掌握一些其他
进制数的计数原理,反而能凸显十进制的特
点,帮助学生更好地理解计数原理,初步建立
位值的概念,为以后进一步学习计数作好铺
垫。
计数法对于小学生来说是相对抽象和枯燥
的,通过数学魔术这样一个新颖有趣的形式展
开教学,激起了学生探究的欲望。
“算命大仙真
的会‘读心术’吗?”这是一个匪夷所思又欲罢
不能的问题和挑战。
探究的过程以“数学”的方
式开启了。
首先将“猜姓氏”转化成“猜数”,将
生活问题数学化。
将十进制数数的方法迁移到
二进制中,满2个圈一圈,同时记作0并向前
一位进1,而新的数位上满2个,又要记0再向
前一位进1,以此类推、逐位推进。
利用已有的
认知和学习经验,降低了理解的难度。
通过十
进制与二进制的转换,引导发现两种计数法之
间的联系,并由此揭开了“读心术”的奥秘。
随
着谜底的层层拨开,学生进一步了解十进制的
由来和特点,在不知不觉中走进了一个新的计
数系统——
—二进制。
本课的学习可以让学生体
会到,同一个数量用不同的计数规则来表示,
结果是不一样的。
即便是相同的数字,在相同
的数位上,但基于不同的计数规则,所表示的
数值也是不一样的。
归根结底,数字只是一个
符号,不同的计数规则赋予它们不同的数值和
意义。
本课的教学目标不是让学生掌握不同进
制数之间的转换,而是通过其他进制的学习,
更好地理解十进制,理解计数法的基本原
理——
—位值制和进位制。
课末设计了一个开放
性的学习任务,由十进制、二进制继而进行猜
想,还可能有几进制数呢?不同的进制如何计
数?以此来巩固内化计数的本质:满几进一就
是几进制。
参考文献:
[1]沈强,王建良.“二进制数和五进制数”教
学实录与评析[J].小学教学(数学版),2018(10).
[2]雷皓.认识“五进制”———以数学绘本建
构三年级拓展课程[J].小学数学教师,2018(4).
(作者单位:江苏南通市实验小学)H 40
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