(完整版)利用导数研究函数的单调性

探究3：如果在某个区间内恒有f '(x )=0，那么函数f (x )有什么特性？

编辑：赵辉、李勤涛、王芳

学习要求： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法会求单调区间

典型例题

复习回顾

例1判断下列函数的单调性，并求出单调区间

定义来判断函数的单调性.

（1）f (x )=x 3+3x （2）f (x )=-x +sin x

x ∈(0,π)

对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有或（

），那么函数f (x )

就是区间I 上的或（）函数.

自主、合作学习：

探究1画出函数y =x 2-4x +3的图像，观察函数的单调性和函数的导数正负有什么关系？

(3)

f (x )=e x -x

(4)f (x )=x -ln x

探究2观察函数图像探讨函数单调性与其导数正负的关系。

y

y

1

f (x ) =(2⋅x 3-6⋅x 2)+7

f (x ) = x+

x

2x

-1

1

-2

反思：用导数求函数单调区间的步骤：

O

12

x

①求函数f (x )的导数f ′(x ).

②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.思考如何用导数求图象未知函数的单调区间呢？-------请阅读课本24页回答下列问题

注意：定义域优先；两（或多）部分单增区间的书写。

之后再解决

（1）利用导数判断单调性的法则：

设函数y=f(x)在某个区间（a,b ）内有导数，例2

已知导函数f '(x )的下列信息；

如果在这个区间内y />0，那么函数y=f(x)在；当–2<x<2时f '(x )<0；当x>2或x<–2时f '(x )>0；当x=2或x=–2时f '(x )=0。如果在这个区间内y /<0，那么函数y=f(x)在试画出函数f(x)图像的大致形状。（能画对各区间的增减即可）

（2）用函数曲线的的切线的斜率理解上述法则:当切线斜率为正时；当切线斜率为负时。（3）若函数y=f(x)在某个区间内总有，则f(x)在这个区间上是增函数；

若函数y=f(x)在某个区间内总有，则f(x)在这个区间上是减函数。

利用导数研究函数的单调性（一）

O 1

当堂达标：

1.函数y=x+cosx在（-∞，+∞）内是（）

A增函数B减函数C有增有减D不能确定

2.．函数f(x)=x3+2x-a的单调减区间是（）

2

A．（-∞,-2) B.(-2,∞)C．，(-,0) D.以上都不对。

3

3

3f(x)=(x2-x)e x的单增区间

2

4.函数y=sin x在（０，２π）的单调增区间是

x 5、函数f(x)=

2的递减区间是

x+13、f(x)=x+cos x

π1

x∈(0,) 4 .f(x)=

2x+1

6．已知函数y=f(x)（x∈[0，2π]）的导函数y=f'(x)的图象，如图所示，则y=f(x)的单调

二、已知f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且x=1处的切线方程是y=x-2。

增区间为．

（1）求y=f(x)的解析式

（2）求y=f(x)的单调递增区间。

y

1

3π

22π

ππ

O x

2三、1、求证：函数y=2x+sin x在R上是增函数

-1

（第8题图）

课堂小结：

x3-6x2+12x-1<7

2、求证：当x<2时，

课后作业（35分钟）

一、判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：

3232

1、f(x)=x+x-x

2、y=x-8x+13x-6

2

利用导数研究函数的单调性（二）

编辑：赵辉、李勤涛、王芳学习要求：

1.掌握利用导数判断函数单调性的方法

2.掌握含参数的函数的单调性。

复习回顾：

1函数单调性和导数正负的关系

2利用导数判断函数单调性的步郰。

自主学习：

1、已知函数f(x)=x2+ax在(-∞,1)上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则a=

2、①已知函数f(x)=x2+ax的增区间是[1，+∞），则a=

②已知函数f(x)=x2+ax在[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是

典型例题

题型一用单调区间分析法求函数的解析式

【例1】已知函数f(x)=-2x3+bx2+cx在区间（0，1）上是增函数，在区间（—∞，0），（1，+∞）上是减函数，求f(x)的解析式

【方法规律】

(1)函数的递增区间是（a，b）与函数在区间（a，b）上是增函数的含义是不同的

(2)若函数f(x)的递增区间是（a，b），且f(x)在区间（c，d）上是增函数，则（c，d）⊆（a，b）

题型二，运用变量分离法求一些含参函数中的参数的取值范围

【例2】（1）已知函数f(x)=x3-ax+1在R上是增函数，求实数a的取值范围

（2）已知函数f(x)=(x+a)e x在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围

（3）已知函数f(x)=ax+1

x+1

在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围

【方法规律】

区分清楚如下两个常用的解题结论

①f(x)在区间I上满足f'(x)>0(<0)⇒f(x)在区间I上为增（减）函数

②f(x)在区间I上为增（减）函数⇒f'(x)≥0(≤0)在区间I上恒成立，且f'(x)不恒等于0

课堂达标

1、已知函数f(x)=ax+3在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A（—∞，0]B（—∞，0） C [0,+∞）D（0,+∞）

2、已知函数f(x)=ax2-2x的递增区间为（1,+∞），则实数a的取值范围为（）

A[1,+∞）B（—∞，1] C (0 , 1） D { 1 }

3、若函数f(x)=x3-ax2在[0，2]内单调递减，则实数a的取值范围是

4、已知函数f(x)=ln x-

a

x

在[1，e]上是单调函数，求实数a的取值范围

3