2019-2020年中考数学专题特例特析：与切线有关的证明与计算

2019-2020年中考数学专题特例特析：与切线有关的证明与计算1. 如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙Ｏ上，过点C作⊙Ｏ的切线CM．
（1）求证：∠ACM＝∠ABC;
（2）延长BC到D，BC＝CD，连接AD与CM交于点E，若⊙Ｏ的半径为3，ED＝2，求△ACE的外接圆的半径．
第1题图
（1）证明：如解图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90° ，
∴∠ABC＋∠BAC＝90° ，
又∵CM是⊙O的切线，
∴OC ⊥CM，
∴∠ACM＋∠ACO＝90° ，
∵CO＝AO，
∴∠BAC＝∠ACO，第1题解图
∴∠ACM＝∠ABC；
(2)解：∵BC＝CD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，
又∵∠ABC＋∠BAC＝90° ，∠ACM＋∠ECD＝90° ，
由（１）知∠ACM＝∠ABC，∴∠BAC＝∠ECD，
又∵∠ACB＝∠CED＝90° ，∴△ABC∽△CDE，
∴AB BC CD DE
=,
∵⊙Ｏ的半径为 3，∴AB＝6，
∴
6
2
BC CD
=
∴2=12
BC，
∴BC，
∴AC=
∴△AEC
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D．点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长.
第2题图（1）证明：如解图，连接OD，OE，BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE，
在△OBE和△ODE中，
,OB OD OE OE BE DE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△OBE ≌△ODE (SSS ）， ∴∠ODE ＝∠OBE ＝90°， 且OD 为⊙O 的半径, ∴DE 为⊙O 的切线；
（2）解：在Rt△ABC 中，∠BAC ＝30°， 第2题解图 ∴BC ＝
1
2
AC ， ∵BC ＝2DE ＝4 ∴AC ＝8，
又∵∠C ＝60°，DE ＝EC ，
∴△DEC 为等边三角形，即DC ＝DE ＝2， 则AD ＝AC －CD ＝6.
2019-2020年中考数学专题特例特析：二次函数与几何图形综合题
1.如图，抛物线24y x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交直线BC 于点E ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标和直线BC 的解析式； （2）求△ODE 面积的最大值及相应的点E 的坐标；
（3）是否存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵在24y x =-+中，当y ＝0时，即24=0x -+， 解得x ＝±2．
当x ＝0时，即y ＝0+4，解得y ＝4．
∴点A 、B 、C 的坐标依次是A （－2，0）、B （2，0）、C （0，4）. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋ｂ（k ≠0），
则20,4k b b +=⎧⎨=⎩
解得-2,4
k b =⎧⎨=⎩
∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4； （2）∵点E 在直线BC 上， ∴设点E 的坐标为（x ，－2x ＋4）， 则△ODE 的面积S 可表示为：
S ＝1
2
x （－2x ＋4）＝－x ＋2x ＝－（x －1)＋1， ∴当x ＝1时，△ODE 的面积有最大值1， 此时，－2x ＋4＝－2×1＋4＝2， ∴点E 的坐标为（1，2）；
（3）存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似，理由如下： 设点P 的坐标为（x ，－x ＋4），0＜x ＜2， ∵△OAC 与△OPD 都是直角三角形，
∴分两种情况：①当△PDO ∽△COA 时，PD OD
CO AO
=
，有2-442x x +=，
解得121,1x x ==（不符合题意，舍去），
第1题图
当x
时，y
)2
此时点P
）;
②当△PDO ∽△AOC 时，,PD OD
AO CO
=有2-4,24x x +=
解得3x =
，4x =（不符合题意,舍去）,
当x =
时，24y =-+=此时，点P
）， 综上可得，满足条件的点P 有两个：
1P
14-+-2），2P
（14-+
，18
-+）. 2.如图，已知二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 的图象经过点A （-4，0），B （-1，3），
C （-3，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的对称轴为直线l ，该图象上的点P （ｍ，ｎ）在第三象限，其关于直线l 的对称点为M ，点M 关于y 轴的对称点为N ，若四边形OAPN 的面积为20，求ｍ、ｎ的值
.
解：(1)将A （－4，0），B （－1，3），C （－3，3）代入y ＝ax ＋bx ＋ｃ，
第2题图
得16403933a b c a b c a b c -+=⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩
， 解得：a ＝－1，ｂ＝－4，ｃ＝0． 故此二次函数的解析式为y ＝－x －4x ；
(2)如解图所示：由题可知，M 、N 点坐标分别为（－4－ｍ，ｎ），（ｍ＋4，ｎ）， 四边形OAPN 的面积＝（OA ＋NP ）÷2×n ＝20， 即4n ＝20， ∴n ＝5．
∵点P （ｍ，ｎ）在第三象限， ∴ｎ＝－5，
∴－ｍ－4ｍ＋5＝0，
解得ｍ＝－5或ｍ＝1（舍去）,
第2题解图
故所求ｍ、ｎ的值分别为－5，－5． 3. 如图，在直角坐标系内有 点 P （1,1）、点 C （1,3）和二次函数2y x =- ． （1）若二次函数2y x =-的图象经过平移后以点C 为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；
（2）若（1）中平移后的抛物线与x 轴交于点A 、点B （A 点在B 点的左侧），求 cos ∠PBO 的值；
（3）在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出D 点的坐标；若不存在， 说明理由．
第3题图
解：（1）平移后以C 为顶点的抛物线解析式为()2
1+3y x =--，
则可知一种移动方式是：将2y x =-向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度；
（2）由（1）知移动后的抛物线解析式为：()2
2
1+3=22y x x x =---++．
令222x x -++=0，
解出1=1x ，2x ， 过点 P 作 PM ⊥x 轴于点M ，
∴BM ，PM ＝１， 根据勾股定理得，
2PB ==
=，
∴cos ∠PBO ＝BM PM =
第3题解图
（3）存在这样的点D ． 理由如下： 连接OC 、PD ，
欲使OC 与PD 互相平分，只要使四边形OPCD 为平行四边形， 由题设知，PC ∥OD ，又 PC ＝2，PC ∥y 轴， ∵点 D 在 y 轴上， ∴OD ＝2， 即D （0，2）．
∵点P （1，1）、点C 为（1，3），则 OD 与 PC 平行且相等， ∴四边形 OPCD 为平行四边形．
又∵点D （0， 2）在抛物线222y x x =-++上，
∴存在点D （0， 2），使线段OC 与PD 相互平分．。