江苏省盐城市射阳县第二高级中学高一数学理月考试题含解析

江苏省盐城市射阳县第二高级中学高一数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f （1）=﹣2，f（1.5）=0.625；f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260；
f（1.438）=0.165，f（1.4065）=﹣0.052．
那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根可以为（精确度为0.1）（）
A．1.2 B．1.35 C．1.43 D．1.5
参考答案：
C
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】由根的存在性定理得出f（x）在（1.4065，1.438）内有零点，再由题意求出符合条件的方程f（x）=0的近似根．
【解答】解：∵f（1.438）=0.165＞0，
f（1.4065）=﹣0.052＜0，
∴函数f（x）在（1.4065，1.438）内存在零点，
又1.438﹣1.406 5＜0.1，
结合选项知1.43为方程f（x）=0的一个近似根．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点的应用问题，也考查了求方程近似根的应用问题，是基础题目．
2. 把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是（）
A．对立事件B．不可能事件
C．互斥但不对立事件D．以上答案均不对
参考答案：
C
【考点】C4：互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件、对立事件的定义和性质直接求解．
【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，
事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”，由互斥事件和对立事件的概念可判断两者不可能同时发生，故它们是互斥事件，又事件“乙取得红牌”与事件“丙取得红牌”也是可能发生的，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不是对立事件，故两事件之间的关系是互斥而不对立，
故选C．
3. 设集合，则下列四个关系中正确的是（）
A B C D
参考答案：
A
略
4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯
A. 81盏
B. 112盏
C. 162盏
D. 243盏
参考答案：
D
【分析】
从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为，此数列是等比数列，公比为3，5项的和
为363，则，，∴．
故选D．
【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．
5. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积是
参考答案：
略
6. 对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f （x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x
），且
x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
B
【考点】函数的值；对数函数的图象与性质．
【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用．
【分析】f（x）是周期为2的周期性函数，根据函数的周期性画出图形，利用数形结合思想能求出y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数．
【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的周期性函数，
又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．
根据函数的周期性画出图形，如图，
由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点
故选：B．
【点评】本题考查两个函数的图象的交点个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
7. 若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则D．若，则
参考答案：C
略
8. 将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，所得函数图象的解析式为（）
A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）
参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），可得y=sin2x 的图象；
再将所得到的图象上所有点向左平移个单位，
所得函数图象的解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+），
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
9. 设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，
的大小关系是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
10. 已知角θ的终边经过点P （x ，3）（x ＞0）且，则x 等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣9
D ．9
参考答案：
B
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出x 的值．
【解答】解：由题意可得，cos θ=，∴x=1，
故选B ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数
是定义域为
的奇函数，当
时，
，求当
时，
的解析式
__________．
参考答案：
∵是奇函数，
∴
．
时，
． 12. 当时，恒成立，则a
的取值范围是
；（结果用区间表示）
参考答案：
13. 已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________.
参考答案：
14. （4分）用辗转相除法求得459和357的最大公约数是 _________ ．
参考答案：
51
15. 已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|等于 ．
参考答案：
【考点】93：向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算律；9R ：平面向量数量积的运算． 【分析】因为、均为单位向量，且夹角为60°，所以可求出它们的模以及数量积，欲求|+3|，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，把前面所求代入即可．
【解答】解；∵，均为单位向量，∴||=1，||=1 又∵两向量的夹角为60°，∴=||||cos60°= ∴|+3|=
=
=
故答案为
16. 二次函数满足且．则函数的零点
是 ； 参考答案： 2 略
17. （5分）比较大小：log 27 0.53．（填＞、＜或=）
参考答案：
＞
考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用对数函数和指数函数的单调性求解．
解答：∵log27＞log22=1，
0.53＜0.50=1，
∴log27＞0.53．
故答案为：＞．
点评：本题考查两个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的单调性的合理运用．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (1)化简；
(2)已知且，求的值.
参考答案：
19. 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且c=3，C=60°．
（Ⅰ）若a=，求角A；
（Ⅱ）若a=2b，求△ABC的面积．
参考答案：
分析：
（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得，解得sinC的值，再由大边对大角可得A 为锐角，从而求得A的值．
（Ⅱ）若a=2b，则由余弦定理可得9=（2b ）2+b 2﹣2?2b?b?cos60°，解得b 的值，可得a的
值，再由△ABC的面积S=，运算求得结果．
解答：
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵c=3，C=60°，a=，由正弦定理可得，即
，解得sinC=．
再由大边对大角可得A为锐角，故A=45°．
（Ⅱ）若a=2b，则由余弦定理可得c2=（2b）2+b2﹣2?2b?b?cosC，即9=（2b）2+b2﹣
2?2b?b?cos60°，
解得b=，∴a=2，故△ABC的面积S==．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，大边对大角，二倍角公式，诱导公式，已知三角函
20. 已知函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）判断当时函数f(x)的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式．
参考答案：
（1）；（2）在上是增函数，证明详见解析；（3）. 【分析】
（1）根据函数是奇函数得，再由可得的值，从而得函数的解析式；
（2）设，作差得，即可得解；
（3）由函数是奇函数和（2）的结论，建立不等式组，解之得解.
【详解】（1）由，知：。

又，
（2）在上是增函数，证明如下：
设，则
又，∴，
从而，即
所以在上是增函数.
（3）由题意知：由, 得，即为
由（2）知：在上是增函数，
所以即为，解得：
又∵，且
所以且，即.
不等式解集为，
故得解.
【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于熟练掌握函数的性质的定义和其证明方法，求解不等式时注意考虑函数的定义域，属于中档题.
21. （本小题满分10分）
化简
（1）
（2）
参考答案：
（1）tan70°cos10°（tan20°﹣1）
=cot20°cos10°（﹣1）=cot20°cos10°（）
=×cos10°×（）
=×cos10°×（）
=×（﹣）
=﹣1
（2）∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+（tan1°+tan44°）+tan1°?tan44°
=1+tan（1°+44°）[1﹣tan1°?tan44°]+tan1°?tan44°=2．
同理可得（1+tan2°）（1+tan43°）
=（1+tan3°）（1+tan42°）
=（1+tan4°）（1+tan41°）= (2)
故=
22. 在△ABC中，角A，B， C所对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若m，n，试求|m n|的最小值．
参考答案：
∵，∴，∴，且．从而．。