图形的全等变换

图形的全等变换
1、 当对称轴平行时，两次翻折等于一次平移。

（平移的距离=对称轴间距离的2倍）。

2、 当对称轴相交时，两次翻折等于一次旋转。

（旋转角度=对称轴间夹角的2倍）。

3、 当对称轴互相垂直时，两次翻折等于一次中心对称。

三、轴对称
1、 常见的轴对称图形及对称轴条数：
线段（2）、角（1）、等腰三角形（1）、正n 边形(n)、矩形(2)、菱形(2)、圆(无数)。

2、相关定理：
⑴、根据线段的轴对称性，有：
线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等。

⑵、根据角的轴对称性，有：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

⑶、根据等腰三角形的轴对称性，有：
等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角上的角平分线“三线合一”。

⑷、根据等边三角形的轴对称性，有：
在Rt △中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、典型例题
⑴如图，在正方形ABCD 中，P 为AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，连接EF ，
求证：DP=EF 。

⑵如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，
求证：CF ⊥DE 。

A B C D E
F
P A
B C
D E F
⑶如图，在四边形ABCD 中，DC ⊥BC 于C ，若AB=100，∠A=45°，
∠DBA=75°，∠CBD=30°，求BC 的长。

⑷如图，正方形ABCD 中，BE 平分∠DBC ，CE=1，求AB 的长。

四、平移
1、 相关定理：
平行线间的平行线段相等。

推论：平行线间的距离处处相等。

2、 典型例题
⑴如图，△ABC 是等边三角形，且DE ，EG ，DF 把它分成四个完全相同的等边三角形，试问：若把△ECF 看着是由△DFA 平移得到的，其平移的方向是 ，平移的距离是 。

⑵如图，△DEF 是由△ABC 沿MN 方向平移得到的，若∠A=60°，∠B=50°，AD=3，EF=4，则∠F= ，∠AOE= ，BE= ，EC= 。

⑶如图，把正方形ABCD 的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作n 个小正方形，设这n 个小正方形的周长和为P ，大正方形ABCD 的周长为L ，则P 与L 的大小关系是（ ）
A 、P ＞L
B 、P ＜L
C 、P=L
D 、P 与L 无关
在平行四边形中，对有关线段的取值范围的讨论，也常利用平移。

⑷若平行四边形两邻边分别为4cm 、8cm ，则其对角线d 的取值范围是 。

⑸若平行四边形的一边等于14cm ，它的对角线可能取值是（ ）
A 、20cm 和22cm
B 、12cm 和16cm
C 、10cm 和16cm
D 、8cm 和16cm ⑹若平行四边形一边长为8，一对角线长为6，则另一条对角线长x 的取值范围是 。

五、旋转
1、 常见的旋转对称图形及旋转角：
线段（180°）、正n 边形（360°/n ）、圆（任意角）
2、 旋转是由旋转中心、旋转角度（方向）决定的，在有的图形中，同样的结果，但由
于旋转角度（方向）的不同，就可能是由不同的旋转达到的，即旋转中心不唯一。

A B C D A B C D E A B C D
E F A B C D E F O A B C D
如：如图，正方形ABCD经过旋转得到正方形DCEF，
①若是顺时针旋转90°得到的，则旋转中心是，AD的对应线段是。

②若是逆时针旋转90°得到的，则旋转中心是，AD的对应线段是。

③若是旋转180°得到的，则旋转中心是
，AD的对应线段是。

3、典型例题
⑴一个正三角形，需要旋转次才能得到一个正六边形，每次旋转的角度是。

⑵把8个同样大小的等腰梯形拼成如图所示的图形．当它旋转度后与自身重合．
⑶如图，︒
=
∠
︒
=
∠
=
∠40
3
,
48
2
1，扇形AOB旋转__________角度后能与扇形DOC重合，则︒
=
∠
=____
____,B
AB．
⑷如图，CDE
∆可以看作是CAB
∆绕某一点旋转后的图形，CD与AB相交于点F，CFB
∆是等边三角形，那么旋转中心是点________；点A、B
、C的对应点分别依次是________；旋转的角度是________．
⑸如图，ABC
∆与DCE
∆都是等边三角形，点C在线段BE上，连BD，如果BCD
∆绕点C顺时针旋转60°．
①画出BCD
∆旋转后的三角形．
②旋转的角度是________度．
⑹如图，
①它可以看作是由一个菱形绕某一点旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而
得的。

a请你在图中用字母O标注出这点；
b每次旋转了_______度；
c一共旋转了_______次．
②这个图也可看作是一个等边三角形绕点________旋转，每旋转了________度，共
旋转_______次而得；也可看作是一个等边三角形绕点_________旋转，每旋转了________度，共旋转________次而得；也可看作是一个三叶电风扇绕点_______旋转，每次旋转____度，共旋转____次而得．
A
B C
D
E
F
⑺如图，AOB ∠是直角，它绕角的顶点O 旋转30°后到B O A ''∠的位置．那么 .____ ,____,____ ,____︒='∠︒='∠︒='∠︒='∠B AO B BO OB A A AO
⑻如图，△ABC 中，AB=AC ，PA=PB ，把△BPA 绕着点A 旋转到△CP ’A ，连接PP ’，则△PAP ’是
三角形；若∠PAP ’=60°，则△ABC 是 三角形。

钟表上指针的旋转角度是近年的一个考试热点问题。

如：
（1）钟表的时针与分针每分钟各转 度角，每5分钟各转
度角。

（2）从1点到1点25分，分针转了 度角，时针转了 度角，1点25分
时针与分针的夹角是 度。

（3）从8点到8点40分，分针转了 度角，时针转了 度角，8点40分
时针与分针的夹角是 度。

六、中心对称
1、 常见的中心对称图形及其对称中心：
线段（中点）、平行四边形、正偶边形（对角线的交点）、圆（圆心）。

2、 典型例题
⑴如图，观察下列“风车”的平面图案，其中是中心对称图形的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
⑵下列几组几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是
（ ）．
A ．正方形、菱形、矩形、平行四边形
B ．正三角形、正方形、菱形、矩形
C ．正方形、矩形、菱形
D ．平行四边形、正方形、等腰三角形 ⑶一个长方形内有任意一圆，请你用一条直线同时将圆和长方形的面积二等分，并
说明作图的道理和方法．
⑷用9根同样长的小棒搭成如图所示的图形，移动若干根小棒，使这9根小棒搭成
的图形成为中心对称图形．你会移吗？请试一试．
⑸按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是中心对
称图形又是轴对称图形.
A B C P
P ’。