2012年高考数学安徽卷理科(word完美解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数z 满足()()25z i i --=，则z 为A.-2-2i B -2+2i C 2-2i D 2+2i 【答案】D2.下列函数中，不满足()2f x 等于()2f x 的是（ ）A f(x)＝xB f (x)=x-xC f(x)＝x+1 D. ()f x x =- 【答案】C3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.3 B.4 C.5 D.8【答案】B4. 公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且311a a =16，则210log a =（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】B5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（A ）甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 （B ）甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数（C ）甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 （D ）甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】C6.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内.直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A7. (22x +)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）（A ）-3 （B ）-2 （C ）2 (D)3【答案】D8.在平面直角坐标系中，点O （0，0），点()6,8P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ，则点Q的坐标是（ ）（A）(- （B）(- (C) ()2-- (D) ()- 【答案】A9.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则△AOB 的面积为（） （A ）2（B） （C ）（D ）【答案】C 10. 6之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为 （A ）1或3 （B ）1或4 （C ）2或3 （或4【答案】D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置.11. 若x ，y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则x y -的取值范围是______.【答案】[]3,0-12.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是______. 【答案】92【解析】如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积为()125424254442S =⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+.13.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=的距离是____________.14.若平面向量a ，b 满足23a b -≤，则a b 的最小值是___________.【答案】98-15. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①若2ab c >，则3C π<；②若2a b c +>，则3C π<； ③若333a b c +=，则2C π<；④若()2a b c ab +<，则2C π>；⑤若()222222a bca b +<，则3C π>.【答案】①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分) 设函数2())sin 24f x x x π=++. 侧（左）俯视25455424（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 【解题指导】本题考察两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三角函数的周期性，求分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+- 11sin 222x =-. （1）函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=，当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-， 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=.得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0),22()1sin 2().22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩【高考把脉】三角类解答题在高考中是送分题，主要考查方式有三种：一是以考查三角函数的图象和性质为主，三角恒等变换是一个主要工具；二是三角形这一背景下的三角恒等变换，正、余弦定理和三角公式是工具；三是考查解三角形的文字应用题，正、余弦定理是解决问题的主要工具．以上三种形式的考查往往命题者都是利用向量语言来叙述题目中的条件部分.安徽高考卷2008年考查了类型一，近五年只有2009年考查了类型二，2010年考查了类型三，2011年没有单独考察三角解答题，今年又重新考查类型一.考生在备考时要注意这几个特征．17.（本小题满分12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后 该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用 的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试 题库中A 类试题的数量. （Ⅰ）求2X n =+的概率；（Ⅱ）设m n =，求X 的分布列和均值（数学期望）.【解题指导】本题考查基本事件概率，条件概率，离散型随机变量及其分布列均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用创新意识.【解析】（I ）2X n =+表示两次调题均为A 类型试题，概率为()()()1122n n n n m n m n m n m n ++⨯=++++++. （Ⅱ）m n =时，每次调用的是A 类型试题的概率为12p =，随机变量X 可取,1,2n n n ++. 21()(1)P X n p ==-=，1(1)2(1)P X n p p =+=-=，21(2)4P X n p =+==.(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+.答：（Ⅰ）2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++； （Ⅱ）X 的均值为1n +.【易错警示】本题在求解时，注意第一次取出不同试题之后，放回的试题不一样，这样在第二次取试题的时候，背景就改变了，究竟第二次取试题是在什么样的背景下，要紧密关联第一次取试题的结果，如果割裂开两次取试题之间的关系，就会出现错误.18.（本小题满分12分）平面图形111ABB AC C 如图4所示，其中11BB C C 是矩形，12,4BC BB ==，AB AC ==， 1111A B A C ==现将该平面图形分别沿BC 和11B C 折叠，使ABC ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（Ⅰ）证明：1AA BC ⊥； （Ⅱ）求1AA 的长；（Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值.【解题指导】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判定，空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考察空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.【解析】（Ⅰ）取11,BC B C 的中点为点1,O O ，连接1111,,,AO OO AO AO ， 则AB AC AO BC =⇒⊥，面ABC ⊥面11BB C C AO ⇒⊥面11BB C C . 同理：11AO ⊥面11BB C C ， 得：1111//,,,AO AO A O A O ⇒共面. 又11,OO BC OO AO O ⊥=⇒ BC ⊥面111AOO A AA BC ⇒⊥. （Ⅱ）延长11A O 到D ，使1O D OA =，得：11////O D OA AD OO ⇒.1OO BC ⊥，面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ⇒⊥面111A B C ⇒AD ⊥面111A B C ，15AA ===.（Ⅲ）11,AO BC AO BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角. 在11Rt OO A ∆中，1A O ===在1Rt OAA ∆中，2221111cos 2AO A O AA AOA AO A O +-∠==⨯得：二面角1A BC A --的余弦值为5-. 【规律总结】一般来讲，安徽高考设计的立体几何试题，多是在背景几何体这个地方进行创新. 解法上，采用同一个题目既可用传统立体几何知识求解，亦可用向量法求解，两种办法都是考查空间想象能力、分析问题解决问题的能力.而用向量的方法解决立体几何问题，使几何问题代数化，这样降低了思维的抽象性，也使逻辑性较强的证明与计算简单化，突出向量的工具性，同时也为学生进入大学进一步学习高等数学知识奠定基础.19.（本小题满分13分） 设1()(0)xxf x ae b a ae =++>.（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 【解题指导】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.【解析】（I ）设(1)xt e t =≥，则2222111a t y atb y a at at at -'=++⇒=-=. ①当1a ≥时，0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数， 得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a++.②当01a <<时，12y at b b at =++≥+，当且仅当11(,ln )xat t e x a a ====-时，()f x 的最小值为2b +.（II ）11()()x xx x f x ae b f x ae ae ae'=++⇒=-，由题意得：2222212(2)3,3,,3131(2),,.222f ae b a ae ef ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩【技巧点拨】安徽高考对于函数与导数这一综合问题的命制，呈现的面目多是含有参量且以有理函数与半超越（指数、对数、三角）函数的组合复合形式，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽作用，指数式可以整体换元以及三角式的周期性.这类问题重点考查函数导数公式、导数几何意义、单调性、极值最值、函数零点的判断以及不等式的转化求解和证明，解题时注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合.20.（本小题满分13分） 如图，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2a x c=于点Q ；（I ）若点Q 的坐标为(4,4)；求椭圆C 的方程； （II ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.【解题指导】本题考查椭圆方程和椭圆几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识和运算求解的基本技能，考查推理论证能力及数形结合思想.【解析】（I ）点11(,)(0)P c y y ->代入22221x y a b +=，得：21b y a=.21204014b a PF QF c c c --⊥⇔⨯=---- .①又24a c=. ② 222(,,0)c a b a b c =->.③由①②③得：2,1,a c b ===，即椭圆C 的方程为22143x y +=.（II ）设22(,)a Q y c ，则221222012b y a PF QF y a a c c c c--⊥⇔⨯=-⇔=---.得：222PQb ac a k a a c c -==+，2222221b xx y y y a b -'+=⇒==过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x cPQ ck y k a=-'===. 得：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.【技巧点拨】解析几何解答题的一般命题模式就是先根据已知的关系确定一个曲线的方程，然后再结合直线方程、圆的方程等把问题引向深入，其中的热点问题有：参数范围、最值、直线或者曲线过定点、某些量为定值等.在直线与圆锥曲线交于不同两点的问题中，一般是设出点的坐标，然后确定点的坐标之间的关系（特别是直线是动直线时这个方法是必需的），再进行整体（安徽高考回避判别式、韦达定理的运用）处理，在直线与曲线相切的问题中，多运用导数求出直线斜率，再整理化简解决问题.21.（本小题满分13分）数列{}n x 满足：2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈.（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <； （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列.【解题指导】本题考查数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解的能力. 【解析】（I ）必要条件 当0c <时，21n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列； 充分条件数列{}n x 是单调递减数列22121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<=. 得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <. （II ）由（I ）得：0C ≥.①当0c =时，10n a a ==，不合题意；②当0c >时，22132,201x c x x c c x c c =>=-+>=⇔<<，2211010n n n n n x x c x x c x x +-=->⇔<<⇔=≤<， 22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-.当14c ≤时，1211102n n n n n x x x x x +++<≤⇒+-<⇔-与1n n x x +-同号， 由212100n n n n x x c x x x x ++-=>⇒->⇔>，21lim lim()lim n n n n n n n x x x c x +→∞→∞→∞=-++⇔=当14c >时，存在N ，使121112N N N N N x x x x x +++>⇒+>⇒-与1N N x x +-异号. 与数列{}n x 是单调递减数列矛盾，得：当104c <≤时，数列{}n x 是单调递增数列.【规律总结】安徽高考理科对数列的考查一般以等差等比数列求通项、求前n 项和为主要形式，淡化递推公式的运用，有时也结合函数性质、不等式强化综合性，增加难度，运用数学归纳法解题.十分注重推理能力的考察，但推理能力不再是数列递推，而是常用逻辑中的充分必要条件，安徽高考已经不止一次这样考察了，2010年对数列的考查是这样的，今年也是，这一点要引起我们的重视.。