2019-2020年高中数学 空间中直线与直线之间的位置关系教案 新人教A版必修2

2019-2020年高中数学空间中直线与直线之间的位置关系教案新
人教A版必修2
三维目标：
1.正确理解空间直线与直线的位置关系，特别是两异面直线的异面关系。

2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成的角的概念及它
们的应用。

3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科
学态度和品质。

重点：
两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法。

难点：
两异面直线所成角的求法。

<自学导读>：
1、什么叫做异面直线？
2、总结空间中直线与直线的位置关系。

3、两异面直线的画法。

4、在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相
平行，在空间这个结论成立吗？
5、什么是空间等角定理？
6、什么叫做两异面直线所成的角？
7、什么叫做两直线互相垂直？
<预习自测>
1、在平面中，两直线的位置关系有、。

2、我们把叫做异面直线。

3、空间两直线位置关系⎧⎧
⎪⎨
⎨⎩
⎪
⎩———
———
———
4、例1：如右图，正方体ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
中
与A
1
B异面的棱有条，哪几条？。

5、公理4：。

6、定理：。

7、两异面直线a与b所成角的范围。

8、两直线垂直可分为和。

<教学过程>
一、异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

判断正误：①若l
1，l
2
，则l
1
、l
2
为异面直线。

( )
②若l
1与l
2
相交，l
2
与l
3
相交，则l
1
与l
3
相交。

( )
明确：。

异面直线的直观表示：
二、平行线公理
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

问：拿一本书张开封面，要证明书面的两边
边缘AB∥CD，该怎么办？
（加深巩固）例2 如右图，空间四边形ABCD中，
E、F、G、
H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形。

（变式一：若再加条件AC=BD，则四边形EFGH是形）
三、异面直线所成的角
1、观察：，
发现：，。

b a /
a
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

(练习“基础自测”的第3题) ２、已知两直线a 、b ① 的求法：
② 的取值范围 。

当=900
时，a b ，由此，
两直线垂直可分为 和 。

判断正误：ⅰ 若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 。

( ) ⅱ 若直线a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 。

( )
例2 变式二：若再加条件AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 形。

变式三：若再加条件AC=BD ，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 形。

（预习书上例3，完成下面练习） 练习： 1、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 （1）证明： AA 1⊥C 1D 1
（2）求异面直线BC 与B 1D 1所成角的度数。

（3）求异面直线A 1C 1与D 1C 所成角的度数
（拓展提高）如右图，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC=2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=，求异面直线AD 与BC 所成的角。

<课堂小结>
本节知识回顾与总结：
巩固练习
一、基础自测
1、以下命题正确的是 （ ）
①若直线a 、b 异面，b 、c 异面，则a 、c 异面。

②若直线a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交。

③若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 。

④若直线a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 。

A 、①④ B 、③④ C 、④ D 、②④ 2、若直线a ⊥b ，则a 与b （ ）
A 、一定相交
B 、一定是共面
C 、一定是异面
D 、一定不平行 3、空间两个角，的两边对应平行，且=600则为 （ ）
A 、600
B 、1200
C 、300
D 、600或1200
4、空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 （ ）
A 、梯形
B 、矩形
C 、平行四边形
D 、正方形
5、空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R ，且PQ=2，QR=，PR=3，那么异面直线AC 和BD 所成的角是 （ ）
A 、900
B 、300
C 、450
D 、600
二、拓展提高
1、右图是一个正方体的展开图，在原正方体中 有下列命题，期中正确命题的序号是
（ ） ①AB 与CD 所在的直线垂直 ②CD 与EF 所在的直线平行 ③AB 与MN 所在直线成600角 ④MN 与EF 所在直线异面 A 、①③ B 、①④
C 、②③
D 、③④
2019-2020年高中数学 空间位置关系的判断与证明 板块一 对平面的进
一步认识完整讲义（学生版）
题型一 平面的基本性质
【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）
A ．充分不必要条件．
B ．必要不充分条件．
C ．充要条件．
D ．既不充分也不必要条件．
【例2】 判断下面说法是否正确：
①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．
④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．
【例3】 若是正方体上底面对角线上一点，则、、三点可以确定平面（ ）
A ．个
B ．个
C ．无数个
D ．个或无数个
【例4】 下列推理错误的是（ ）
A ．,,,A l A
B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂
B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=
C ．，且不共线重合
D ．
【例5】 已知点，直线，平面，
① ② ③ ④
以上命题表达正确，且是真命题的有________．
共线问题
【例6】 在正方体中，，分别是上，下底的中心，是的中点，则、、三点（ ）
A ．不共面共线
B ．共线
C ．共面不共线
D ．不共面
典例分析
【例7】 如图，已知在空间四边形中（即这四点不共面），分别是、、、上的点，且交于．求
证：在直线上．
G F
E
D
C
B
A
P H
【例8】 在棱长为的正方体中，分别是 的中点，过点 的截面与正方体的下底面相交于直线，
①请画出直线的位置； ②设，求的长．
【例9】 在三棱锥中，作截面，若的延长线交于，的延长线交于点，的延长线交于点．求证：
三点共线．
K
R
Q
P N
M
D
B
C A
【例10】 已知正方体，记与平面交于点．求证：，，三点共线．
【例11】 在正方体 中（如图）， 与截面 交于点，交于，求证：三点共线．
M
O
D
D 1
A 1
A
B
B 1
C
C 1
【例12】 如图，在正方体中，为上底面的中心，是正方体对角线和截面的交点．求证：、、三
点共线．
O
M A
B
C
D
B 1
C 1
D 1
A 1
共面问题
【例13】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
【例14】 如图，直线是异面直线，为直线上三点，是直线上三点，
分别为的中点， 求证：⑴；⑵共面．
E'D'C'B'A'
F
E
D C
B
A
a
b
【例15】 正方体中，分别是 的中点，求证：这六点共面．
L
G F E
D C
B
A
K H A 1
D 1B 1C 1
【例16】 已知正方体，、分别为，的中点，记与平面交于点．
⑴求证：、、、四点共面； ⑵求证：，，三点共线．
【例17】 已知正方体，、分别为，的中点，，．
⑴求证：、、、四点共面； ⑵若交平面于点，求证：、、三点共线．
【例18】 已知空间四边形的对角线是，点分别是的中点，
求证：三线段，，交于一点且被该点平分．
题型二平面分空间问题
【例19】任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？
【例20】（xx重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）
A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分
【例21】把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（）
A．13部分 B．19部分 C．21部分 D．27部分
【例22】把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（）
A．11部分 B．13部分 C．15部分 D．17部分
【例23】右图是一个长方体，问此长方体过点的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面，和对角面所在的三个平面将空间分成几个部分？
D'
C'
A'
B'
C
A
B
题型三截面问题
【例24】在正方体中，分别是棱，的中点，则过点的截面（）
A．邻边不等的平行四边形B．菱形但不是正方形
C．邻边不等的矩形D．正方形
【例25】如图所示，已知正三棱柱的底面边长为，高为，过，和的中点，，画截面．
E
Q
M P
F
H
G
C 1
B 1
A 1
C
B
A
【例26】 正方体中，、、分别为，，的中点，求作正方体的过、、的截面．
R
S G Q
P
A
B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
F M
N
【例27】 如图，求作经过棱长为的正方体的棱和的中点、及点的截面．⑵求该截面与正方体
的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积．
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
F
E
Q。