初中数学 第3章 一元一次方程 教案及试题

第三章一元一次方程
基础知识通关
3.1从算式到方程
1.方程：含有的等式。

2.一元一次方程：只含有未知数（元），未知数的次数是，等号两边都是，这样的方
程叫做一元一次方程.
3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的，这个值就是方程的解
对于一元一次方程： ax=b（a≠0）
若 a=0，b=0，方程有无数解
若a=0，b≠0，方程
若a≠0，方程有
4.等式的性质
等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍
等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个的数，结果仍
3.2解一元一次方程（一）
5.移项：把等式一边的某项后移到另一边，叫做移项。

6.一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且）.
3.3解一元一次方程（二）
7.一元一次方程解法的一般步骤：
整理方程---去分母---去括号---移项---合并同类项---
3.4实际问题与一元一次方程
8.列一元一次方程解应用题：
（1）读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
（2）画图分析法: 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. 9.
列方程解应用题的常用公式：
（1）行程问题：距离= 速度距离
时间
距离
；
时间速度
（2）工程问题：工作量= 工效工作量
工时
工作量
；
工时工效
（3）比率问题：部分= 比率部分
全体
部分
；
全体比率
（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；
（5）商品价格问题：售价=定价×折×1
，利润=售价-成本，利润率
售价成本
100% ；
10 成本
圆 圆 长方形 长方形 正方形 正方形 （6）周长、面积、体积问题：C =2πR ，S =πR 2
，C =2(a+b)，S =ab ， C =4a ，
S =a 2，S =π(R 2-r 2),V 长方体=abc ，V =a 3，V =πR 2h ，V 圆锥=
1 πR 2
h. 3
正方体 环形 圆柱
单元检测
一．选择题（共 10 小题）
1.下列方程中，一元一次方程共有（）
①；②；③x﹣22＝﹣3；④x＝0．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2.解方程：，下面去分母变形正确的是（） A．3x﹣（x
﹣2）＝6﹣2（x﹣1）B．3x﹣x﹣2＝6﹣2（x﹣1）
C．3x﹣（x+2）＝1﹣2（x﹣1）D．3x﹣x+2＝3﹣2（x﹣1）
3.已知关于x 的一元一次方程（a+2）x|a|﹣1+5＝0，则a 的值为（） A．±
2 B．﹣2 C．2 D．±1
4.若a+b＝0，则方程ax+b＝0 的解有（）
A．只有一个解B．只有一个解或无解
C．只有一个解或无数个解D．无解
5．有下列四种说法中，错误说法的个数是（）
（1）由5m＝6m+2 可得m＝2；（2）方程的解就是方程中未知数所取的值；
（3）方程2x﹣1＝3 的解是x＝2；（4）方程x＝﹣x没有解．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．商店将某种商品按进货价提高 100%后，又以八折售出，售价为 80 元，则这种商品的进价是（）
A．100 元B．80 元C．60 元D．50 元7．我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余 2 辆车；每 2 人共乘一辆车，最终有9 人无车可乘．问人和车的数量各是多少？”若设有x 个人，则可列方程是（） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C．+2＝D．﹣2＝
8.《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主日：“我羊食半马．”马主
曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿饲料 5 斗．羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？设羊的主人赔x 斗，根据题意，可列方程为（）
A．4x+2x+x＝5 B．C．D．x+2x+3x＝5
9.哥哥今年的年龄是弟弟的2 倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为15 岁”，若用x表示哥哥今
年的年龄，则可列方程（）
A.B．
C．D．
10．我们来定义一种运算：＝ad﹣bc．例如＝2×5﹣3×4＝﹣2；再如＝3x﹣2，按照这种定义，当x 满足（）时，．
A．B．C．D．
二．填空题（共 10 小题）
11．若 4x﹣1 与7﹣2x 的值互为相反数，则x＝．
12．当x＝时，代数式 2x﹣1 比代数式 5x+6 的值小 1．
13.若5x+3 与﹣2x﹣4 互为相反数，则x 的倒数为．
14.三个连续偶数的和为 18，这三个偶数分别为．
15.小马在解关于x 的一元一次方程＝3x 时，误将﹣2x 看成了+2x，得到的解为x＝6，请
你帮小马算一算，方程正确的解为x＝．
16.若﹣1 是关于x的方程mx﹣n＝1（m≠0）的解，则关于x的方程（m+n）（2x+1）﹣n﹣m＝0
（m≠n）的解为．
17.为了倡导居民节约用水，自来水公司规定：居民每户用水量在 8 立方米以内，每立方米收费
0.8 元；超过规定用量的部分，每立方米收费 1.2 元．小明家 12 月份水费为 18 元，求小明家
12 月份的用水量，设小明家 12 月份用水量为x 立方米，根据题意，可列方程为．
18.一张试卷只有 25 道选择题，答对一题得 4 分，答错倒扣 1 分，某学生解答了全部试题共得
70 分，他答对了道题．
19．方程x+…+ ＝2009 的解是x＝．
20．某校七年级学生乘车去郊外秋游，如果每辆汽车坐 45 人，那么有 16 人坐不上汽车；如果每辆汽车坐 50 人，那么有一辆汽车空出 9 个座位，有x 辆汽车，则根据题意可列出方程为．
三．解答题（共 7 小题）
21．解方程：
（1）5﹣2x＝9﹣4x
（2）＝1﹣
22．（1）计算：﹣22﹣（﹣）÷+（﹣3）2﹣|﹣2|
（2）关于x 的方程x﹣2m＝﹣3x+4 与2﹣m＝x 的解互为相反数．求m 的值；
23.已知x＝3 是方程的解，n 满足关系式|2n+m|＝1，求m+n 的值．
24.一段长为 250km 的高速公路需要维修，现由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时 15 天，
已知甲工程队每天维修 20km，乙工程队每天维修 15km．求甲、乙两个工程队分别维修了多长的高速公路？（用一元一次方程解决问题）
25.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
别为 6 公里与 8.5 公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5 倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5 分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．（用一元一次方程解题）
四、附加题
26.我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：
方程2x＝﹣4 的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4 为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x 的一元一次方程﹣2x＝mn+n 是“和解方程”,且它的解是x＝n,求n 的值．
27.已知f（x）是关于字母x 的多项式f（x）＝a1x n+a2x n﹣1+……+a n﹣1x2+a n x+c（其中a1，a2，…，
a n 是各项的系数，c是常数项）；我们规定f（x）的伴随多项式是g（x），
且g（x）＝na1x n﹣1+（n﹣1）a2x n﹣2+……+2a n﹣1x+a n．
如f（x）＝4x3﹣3x2+5x﹣8，则它的伴随多项式g（x）＝3×4x2﹣2×3x+1×5＝12x2﹣6x+5 请根据上面的材料，完成下列问题：
（1）已知f（x）＝x2，则它的伴随多项式g（x）＝；
（2）已知f（x）＝3x2﹣2（7x﹣1），则它的伴随多项式g（x）＝；若g（x）＝10，求x 的值．
（3）已知二次多项式f（x）＝（a﹣3）x2﹣8x+7，并且它的伴随多项式是g（x），若关于x 的方程g（x）＝﹣2x 有正整数解，求a 的整数值．
基础知识通关答案
1、未知数
2、一个，1，整式
3、未知数的值，无解，唯一解
4、相等，不为 0
5、变号
6、a≠0
7、系数化为 1
8、数形结合
9、速度×时间，工效×工时，全体×比率
单元检测答案
一．选择题（共 10 小题）
1.【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析①②③④，即可得到答案．
【解答】解：①属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，
②符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
③符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
④符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，
一元一次方程有②③④，共 3 个，
故选：C．
【知识点】2
2.【分析】方程的两边都乘以6 得出3x﹣（x﹣2）＝6﹣2（x﹣1），即可得出答案．
【解答】解：，
去分母得：3x﹣（x﹣2）＝6﹣2（x﹣1）．
故选：A．
【知识点】7
3.【分析】根据一元一次方程的定义得出a+2≠0 且|a|﹣1＝1，求出即可．
【解答】解：∵关于x 的一元一次方程（a+2）x|a|﹣1+5＝0，
∴a+2≠0 且|a|﹣1＝1，
解得：a＝2，
故选：C．
【知识点】2
4.【分析】需要对a 的取值进行分类讨论：a＝0 和a≠0 两种情况．
【解答】解：当a＝0，b＝0 时，方程ax+b＝0 有无数个解；
当a≠0，b≠0 时，方程ax+b＝0 只有一个解．
综上所述，方程ax+b＝0 的解有一个解或无数个
解．故选：C．
【知识点】3
5．【分析】求出方程 5m＝6m+2，2x﹣1＝3，x＝﹣x的解，即可判断（1）（3）（4），根据方程的解的定义即可判断（2）．
【解答】解：5m＝6m+2 5m
﹣6m＝2，﹣m＝2 m＝﹣2，
故（1）错误；
方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，（2）错误；
2x﹣1＝3，2x＝4
x＝2，故（3）正确；
x＝﹣x，x+x＝0，
2x＝0，x＝0，
故（4）错误；
错误的个数有 3 个，故选：C．
【知识点】3，7
6.【分析】根据题意假设出商品的进货价，从而可以表示出提高后的价格为（1+100%）x，再根据
以八折优惠售出，即可得出符合题意的方程，求出即可．
【解答】解：设进货价为x 元，由题意得：
（1+100%）x×80%＝80
解得：x＝50
故选：D
【知识点】9
7.【分析】设有x 个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余 2 辆车；每 2 人共乘一辆车，最终有 9 人
无车可乘，根据车的数量不变列出方程即可．
【解答】解：设有x 个人，则可列方程：
+2＝．
故选：C．
【知识点】8
8.【分析】设羊的主人赔x 斗，则马的主人赔 2x 斗，牛的主人赔 4x 斗，据此求得总和是 5 斗．【解答】解：设羊的主人赔x 斗，则马的主人赔 2x 斗，牛的主人赔 4x 斗，
依题意得：4x+2x+x＝5
故选：A．
【知识点】8
9.【分析】由于用x 表示哥哥今年的年龄，那么根据题意得到弟弟的年龄是，又六年前，他们俩
的年龄和为 15 岁，由此可以列出方程解决问题．
【解答】解：∵用x 表示哥哥今年的年龄
∴弟弟的年龄是
又∵六年前，他们俩的年龄和为 15 岁
∴x﹣6+ ﹣6＝15
故选：B．
【知识点】8
10.【分析】首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程
2（﹣1）﹣2x＝（x﹣1）﹣（﹣4）×，通过去括号、移项、系数化为1，求得x 的值．【解答】解：根据运算的规则：
可化简为：2（﹣1）﹣2x＝（x﹣1）﹣（﹣4）×
化简可得﹣2x＝3；即x＝﹣
故选：A．
【知识点】7
二．填空题（共 10 小题）
1.【分析】利用互为相反数两数之和为 0 列出方程，求出方程的解即可得到x 的值．
【解答】解：根据题意得：4x﹣1+7﹣2x＝0
移项合并得：2x＝﹣6
解得：x＝﹣3
故答案为：﹣3
【知识点】7，相反数
12.【分析】根据代数式 2x﹣1 比代数式 5x+6 的值小 1 可列出方程，解出即可．
【解答】解：根据题意得 2x﹣1＝5x+6﹣1
解得：x＝﹣2
故填：﹣2．
【知识点】7
13.【分析】由互为相反数的两数之和为 0 列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可求
出x 的倒数．
【解答】解：根据题意得：5x+3﹣2x﹣4＝0
整理得：3x＝1
解得：x＝，则x 的倒数为3
故答案为：3
【知识点】7，相反数，倒数
14.【分析】此题考查了连续偶数的概念，它们之间相差 2，则可设中间的一个为x，那么其它两个
为（x﹣2）、（x+2），有它们和为18，列方程即可解得．
【解答】解：设中间的一个为x，
根据题意得（x﹣2）+x+（x+2）＝18
解得x＝6
则三个偶数为 4，6，8．
【知识点】7
15.【分析】先把x＝6 代入＝3x，求出a，然后再把a 的值代入＝3x 中求x 的解．
【解答】解：当x＝6 时，＝3×6
解得：a＝8
∴原方程是＝3x，解得：x＝
3．故答案为：3．
【知识点】3，7
16.【分析】根据方程的解满足方程，可得m+n，根据整体代入法，可得关于x 的方程，根据解
方程，可得答案．
【解答】解：由若﹣1 是关于x 的方程mx﹣n＝1（m≠0）的解，得m+n＝﹣1
把m+n＝﹣1 代入（m+n）（2x+1）﹣n﹣m＝0（m≠n），得﹣（2x+1）﹣（﹣1）＝0
解得x＝0
故答案为：0．
【知识点】3，7
17.【分析】先计算 8 立方米时的水费：8×0.8＝6.4，与 18 对比，说明小明家 12 月份的水量
x＞8，可列方程即可．
【解答】解：∵8×0.8＝6.4＜18
∴x＞8
根据题意，可列方程为：8×0.8+1.2（x﹣8）＝18
故答案为：8×0.8+1.2（x﹣8）＝18
【知识点】8
18.【分析】设他做对了x 道题，则他做错了（25﹣x）道题，根据总得分＝4×做对的题数﹣1×
做错的题数，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设他做对了x 道题，则他做错了（25﹣x）道题，
根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝70，
解得：x＝19．
【知识点】7，8
19.【分析】本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答．
【解答】解：原方程可化为：＝2009
即
提取公因式，得
化简得：2x（1﹣）＝2009
解得：x＝1005．
（＝，＝﹣）
【知识点】7
20.【分析】设有x 辆汽车，根据去郊游的人数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x 辆汽车根
据题意得：45x+16＝50x﹣9 故
答案为：45x+16＝50x﹣9
【知识点】8
三．解答题（共 7 小题）
21.【分析】（1）依次移项、合并同类项、系数化为 1 可得；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得．
【解答】解：（1）﹣2x+4x＝9﹣5
2x＝4，x＝2
（2）2（2x﹣1）＝6﹣（5x+7）
4x﹣2＝6﹣5x﹣7
4x+5x＝6﹣7+2
9x＝1
x＝
【知识点】7
2.【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）将m 看做已知数分别表示出两方程的解，根据互为相反数两数之和为 0 列出关于m 的方程，求出方程的解即可得到m 的值．
【解答】解：（1）﹣22﹣（﹣）÷+（﹣3）2﹣|﹣2|
＝﹣4+ ÷+9﹣2
＝﹣4+1+9﹣2
＝4；
（2）x﹣2m＝﹣3x+4
移项合并得：4x＝2m+4
解得：x＝m+1
根据题意得：m+1+2﹣m＝0
解得：m＝
6．故m 的值是
6．
【知识点】3，7，相反数
23.【分析】把x＝3 代入方程，求出m 的值，把m 的值代入关系式
|2n+m|＝1，求出n 的值，进而求出m+n 的值．
【解答】解：把x＝3 代入方程
得：3（2+ ）＝2
解得：m＝﹣
把m＝﹣代入|2n+m|＝1
得：①2n ﹣ ＝1，②2n ﹣ ＝﹣1
解①得，n ＝
解②得，n ＝
∴（1）当 m ＝﹣，n ＝ 时，m +n ＝﹣
（2）当 m ＝﹣，n ＝ 时，m +n ＝﹣
【知识点】3，7
24. 【分析】设甲工程队维修了 x 天，则乙工程队维修了（15﹣x ）天，由两队一共维修了 250m
为等量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设甲工程队维修了 x 天，则乙工程队维修了（15﹣x ）天，由题意，得
20x +15（15﹣x ）＝250
解得：x ＝5
∴乙工程队维修了 15﹣5＝10（天）
∴甲工程队维修的河道长为：20×5＝100（km ）
乙队维修的河道长为：15×10＝150（km ）
答：甲、乙两个工程队分别维修了 100km ，150km 高速公路．
【知识点】7，9
25. 【分析】（1）设小王实际行车时间为 x 分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解；
（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5 倍，且比另一人的实际乘车时间的 一半多 8.5 分钟”列方程求解．
【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为 x 分钟
1.8× 6 + 0.3x -1.8×8.5 - 0.8×） 8.5）7）
则小张的实际行车时间： 0.
3 =x-19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差为：x-（x-19）=19 分钟．
（2）小王实际行车时间为 x 分钟，则小张实际行车时间是：（x-19）分钟
1 根据题意得：1.5（x-19）= 解得：x ＝37 x 8.5
2
∴小王的实际行车时间为 37 分钟，小张的实际行车时间为 18 分钟．
【知识点】7，9
四、附加题
26. 【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于 m 、n 的二元二次方程组，解之即可得出 m 、n 的值．
【解答】解：（1）∵方程 3x ＝m 是和解方程
∴ ＝m
+3
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，即-2n-2=n
∴n＝﹣
【知识点】3，7
27.【分析】（1）根据题中的新定义确定出g（x）即可；
（2）根据题中的新定义确定出g（x），并求出所求x的值即可；
（3）确定出f（x）的伴随多项式g（x），由g（x）＝﹣2x有正整数解，确定出整数a的值．【解答】解：（1）由题意得：g（x）＝2x；
故答案为：2x；
（2）由题意得：g（x）＝6x﹣14
由g（x）＝10，得 6x﹣14＝10
解得：x＝4
故答案为：6x﹣14
（3）由题意得：g（x）＝2（a﹣3）x﹣8＝（2a﹣6）x﹣8
由g（x）＝﹣2x，得（2a﹣6）x﹣8＝﹣2x
化简整理得：（a﹣2）x＝4
∵方程有正整数解
∴a﹣2≠0，可得x＝
∵a 为整数
∴a﹣2＝1 或 2 或 4
∴a＝3 或 4 或 6
又∵f（x）是二次多项式
∴a﹣3≠0，可得a≠3
综上可知，a＝4 或 6
【知识点】3。