郑州第一中学2024届高三第二轮复习质量检测试题数学试题

郑州第一中学2024届高三第二轮复习质量检测试题数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线
CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）
A ．m n =
B ．2m n =+
C ．m n <
D ．8m n +<
2．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆
C 的方程为（ ）
A ．22
1255
x y +=
B ．22
13616
x y +=
C ．22
13010x y +
= D ．22
14525
x y +
= 3．如图，设P 为ABC ∆内一点，且11
34
AP AB AC =
+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为
A ．1
4 B ．
13 C ．23
D ．16
4．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．已知ABC 是边长为3的正三角形，若1
3
BD BC =，则AD BC ⋅=
A ．32
- B ．
152 C ．
32
D ．152
-
6．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．2
7．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
8．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）
A ．8
B ．32
C ．64
D ．128
9．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象
（ ）
A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移12
π
个单位
C ．向左平移
12
π
个单位
D ．向左平移
6
π
个单位 10
．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3
x π
=
对称，为了得到函数()g x x =的图象，
只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12
，纵坐标保持不变 C ．先向右平移
3
π
个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移
3π
个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12
，纵坐标保持不变 11．已知命题p ：1m =“”
是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∧
12．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．2
1y x =+
B ．x x y e e -=-
C ．lg y x =
D
．y 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．数列{}n a 的前n 项和为1121,2,1,log 2n n n n
n n S a S a b a +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T =_____． 14．若函数2()1(x
f x mx e e =-+为自然对数的底数）在1x x =和2x x =两处取得极值，且212x x ≥，则实数m 的取
值范围是______．
15．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在直线1AB 上运动，则下列四个命题中：①三棱锥1D C BP -的体积不变；②1DP D C ⊥；③当P 为1AB 中点时，二面角11P AC C --
④若正方体的棱长为2，则DP BP +
____________（写出所有说法正确的编号）
16．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的
①0.045a =；
②这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160； ③这800名学生数学成绩的中位数约为121.4； ④这800名学生数学成绩的平均数为125．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2
()sin sin cos()6
f x x x x π
=+-.
（1）求函数f (x )的最小正周期； （2）求()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 18．（12分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计
100
（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；
（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望. 附：
()20P K k ≥
0.050 0.010 0.001
0k 3.841
6.635 10.828
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是矩形，AD PD =，E ，F 分别是
CD ，PB 的中点.
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）设33AB BC ==， 求三棱锥P AEF -的体积.
20．（12分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，DE ⊥平面ABCD ，//CF DE ，2DE CF =，BE 与平面ABCD 所成的角为45︒.
（1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ； （2）求二面角B-EF-D 的余弦值.
21．（12分）若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠） （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232
n c c c ++⋯+<. 22．（10分）已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >). （1）求函数()f x 的最小值M .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【题目详解】
如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，
易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，
∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，
∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 2、B 【解题分析】
由题意可得c=25F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P =∠FPO+∠OPF′，
∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．
在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=(
)
2
222PF 45
48FF -=
-='，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣
=16，
所以椭圆的方程为22
13616
x y +=．
故选B ．
点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 3、A 【解题分析】
作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果. 【题目详解】
如图，作//PD AC 交AB 于点D ，
则AP AD DP =+，由题意，13AD AB =，1
4
DP AC =，且180ADP CAB ∠+∠=， 所以11111
||||sin ||||sin 223412
ADP ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠= 又13AD AB =
，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即
14APB ABC
S S ∆∆=， 所以本题答案为A. 【题目点拨】
本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 4、A
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【题目详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩
得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【题目点拨】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 5、A 【解题分析】
由1
3BD BC =可得13
AD AB BD AB BC =+=+，因为ABC 是边长为3的正三角形，所以
221113
()33cos12033332
AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-，故选A ．
6、C 【解题分析】 每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
每一次成功的概率为，服从二项分布，故.
故选：. 【题目点拨】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7、C 【解题分析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【题目详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以222
12323a a a a a =++，
22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 8、C 【解题分析】
根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【题目详解】
由题意，执行上述程序框图，可得
第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==； 第2次循环，满足判断条件，2,2S
k
；
第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==； 第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==； 不满足判断条件，输出64S =. 故选：C. 【题目点拨】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、C 【解题分析】
根据正弦型函数的图象得到()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，结合图像变换知识得到答案.
【题目详解】 由图象知：7212122
T T πππ
π=-=⇒=，∴2ω=. 又12x π
=
时函数值最大，
所以2221223
k k πππ
ϕπϕπ⨯+=+⇒=+.又()0,ϕπ∈， ∴3
π
ϕ=
，从而()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，()cos 2sin 2sin 22123g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫==+
=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 只需将()f x 的图象向左平移12
π
个单位即可得到()g x 的图象，
故选C . 【题目点拨】
已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+=
=.(2)由函数的周期T 求2,.T π
ωω
= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求． 10、D 【解题分析】
由函数()f x 的图象关于直线3
x π
=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+=+
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，再利用图像变换求解即可 【题目详解】
由函数()f x 的图象关于直线3x π
=
对称，得3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
322m +=1m =，所以()
cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先
向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D
本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题
11、A
【解题分析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.
【题目详解】
当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直，
所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件，
当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±.
所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.
p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．
当1a =时，2()1f x x =+没有零点，
所以命题q 是假命题．
所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题．
故选：A ．
【题目点拨】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12、C
【解题分析】
试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
n n + 【解题分析】 解：111111,21,22n n n n n n S a n S a +--⎛⎫⎛⎫=-≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， 两式作差，得()12,2n n
a n a +=≥ ，经过检验得出数列{}n a 的通项公式，进而求得,n n
b
c 的通项公式， 裂项相消求和即可．
【题目详解】 解：111111,21,22n n n n n n S a n S a +--⎛⎫⎛⎫=-≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时， 两式作差，得()111111,222n n n n n a a a n +-⎛
⎫⎛⎫=-
--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简得()12,2n n
a n a +=≥ ， 检验：当n=1时，211221
12,4,22a S a a a a ==⨯=== ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列；2n n a = ，22log log 2n n n b a n ===， 令()11111,11
n n n c b b n n n n +===-++ 1111111111.22334111
n n T n n n n =-+-+-+⋯+-=-=+++ 故填：1
n n + ． 【题目点拨】
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，解题过程中需要注意n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．
14、12ln ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
， 【解题分析】
先将函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，转化为方程(0)2x e m x x
=≠有两不等实根12,x x ，且212x x ≥，再令()(0)2x e h x x x
=≠，将问题转化为直线y m =与曲线()2x h x x e =有两交点，且横坐标满足212x x ≥，用导数方法研究()2x
h x x
e =单调性，作出简图，求出212x x =时，m 的值，进而可得出结果. 【题目详解】
因为2()1x f x mx e =-+，所以()2x f x mx e '=-，
又函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，
所以12,x x 是方程20x mx e -=的两不等实根，且212x x ≥， 即(0)2x e m x x =≠有两不等实根12,x x ，且212x x ≥， 令()(0)2x
e h x x x
=≠， 则直线y m =与曲线()2x h x x
e =有两交点，且交点横坐标满足212x x ≥， 又22()42(22)(1)x x e e h x x x
x x =-'=-， 由()0h x '=得1x =，
所以，当1x >时，()0h x '>，即函数()2x h x x
e =在(1,)+∞上单调递增； 当0x <，01x <<时，()0h x '<，即函数()2x h x x
e =在(,0)-∞和(0,1)上单调递减； 当212x x =时，由121222x x e e x x =得1ln 2x =，此时1112ln 2
x e m x ==， 因此，由212x x ≥得1ln 2m >
. 故答案为12ln ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
【题目点拨】
本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.
15、①②④
【解题分析】
①∵1//AB 1DC ，∴1//AB 平面1DBC ，得出1AB 上任意一点到平面1DBC 的距离相等，所以判断命题①； ②由已知得出点P 在面11DCC D 上的射影在1DC 上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②； ③当P 为1AB 中点时，以点D 为坐标原点，建立空间直角系D xyz -，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角11P AC C --的余弦值，可判断命题③；
④过1AB 作平面1AB M 交11A D 于点M ，做点D 关于面1AB M 对称的点G ，使得点G 在平面11ABB A 内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点P 在点1P 时，1,,D P B 在一条直线上，
DP BP +取得最小值GB .可判断命题④.
【题目详解】
①∵1//AB 1DC ，∴1//AB 平面1DBC ，所以1AB 上任意一点到平面1DBC 的距离相等，所以三棱锥1D C BP -的体积不变，所以①正确；
②P 在直线1AB 上运动时，点P 在面11DCC D 上的射影在1DC 上，所以DP 在面11DCC D 上的射影在1DC 上，又11DC CD ⊥，所以1DP D C ⊥，所以②正确；
③当P 为1AB 中点时，以点D 为坐标原点，建立空间直角系D xyz -，如下图所示，设正方体的棱长为2.
则:1(2,0,0),(2,2,2),(2,1,1)A B P ，11(2,0,2),(0,2,2),(0,2,0)A C C ，所以
1111(2,2,0)(0,1,1),(0,0,2)AC PA CC =-=-=，
， 设面11A C P 的法向量为(,,)m x y z =，则11100
m AC m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1,1(1,1,1)y z m ==∴=，， 设面11AC C 的法向量为(,,)n x y z =， 11100
n AC n CC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ ，即220(1,1,0)20x y n z -+=⎧∴=⎨=⎩，
2cos ,>||3m n m n m n ⋅∴<===⋅
⨯，由图示可知，二面角 11P AC C --是锐二面角，所以二面角11P AC C --，所以③不正确；
④过1AB 作平面1AB M 交11A D 于点M ，做点D 关于面1AB M 对称的点G ，使得点G 在平面11ABB A 内， 则1,,DP GP DA GA DG AB ==⊥，所以++DP BP GP BP =，当点P 在点1P 时，1,,D P B 在一条直线上，DP BP +取得最小值GB .
因为正方体的棱长为2，所以设点G 的坐标为()2,,G m n ，()2,,DG m n =，()10,2,2AB =，所以
12+20DG AB m n ⋅==，
所以m n =-，又2,DA GA ==所以22m n =-=
，， 所以()2,2,2G -，()2,2,0B ，()()()22222222+420+8GB -=
-+--=，故④正确.
故答案为：①②④.
【题目点拨】
本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.
16、②③
【解题分析】
由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=，解得0.035a =，故①不正确；这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为800⨯0.0100.01010)16(0+⨯=，故②正确；设这800名学生数学成绩的中位数为x ，则0.010100.010100.0251012()00.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得121.4x ≈，故③正确；④这800名学生数学成绩的平均数为950.010101050.01010115⨯⨯+⨯⨯+⨯
0.025101250.035101350.015101450.00510120⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）π；（2）见解析
【解题分析】
()1将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期
()2根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值
【题目详解】
（Ⅰ）由题意得
原式2
1sin sin sin 2x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭
23sin cos 2x x x =+
()31cos244x x =
-+
13sin224x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭
3234x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ ()f x ∴的最小正周期为π. （Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 22333
x ππ
π∴-≤-≤. ∴当233x ππ-
=-，即0x =时，()min 0f x =；
当232x π
π-=，即512x π=时， ()max f x = 综上，得0x =时，()f x 取得最小值为0；
当512x π=时，()f x 【题目点拨】
本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题
18、（1）（i ）填表见解析（ii ）没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析
【解题分析】
（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出2K 后可得；
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为27，ξ的取值为0,1,2,3，2~3,7B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由二项分布概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望．
【题目详解】
解（1）（i ）
（ii ）由22⨯列联表得()210035261425 5.229 6.63560404951
k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯ 所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为27
，. 易知()33225~3,,,0,1,2,3777k k k B P k C k ξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以ξ的分布列为 601233433433433437
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【题目点拨】 本题考查列联表，考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和期望．属于中档题．本题难点在于认识到2
~(3,)7B ξ．
19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
34
【解题分析】 （Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ，根据平行四边形，可得//EF DG ，进而证得平面PAB ⊥平面PAD ，利用面
面垂直的性质，得DG ⊥平面PAB ，又由//EF DG ，即可得到EF ⊥平面PAB .
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.
【题目详解】
（Ⅰ）取PA 中点G ，连FG ，GD ， 由11//,,//,22
FG AB FG AB ED AB ED AB ==，可得//,FG ED FG ED =， 可得EDGF 是平行四边形，则//EF DG ，
又PD ⊥平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
∵AB AD AB ⊥⇒⊥平面PAD ，AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，
∵PD AD =，G 是PA 中点，则DG PA ⊥，而DG ⊂平面PAD DG ⇒⊥平面PAB ，
而//EF DG ，∴EF ⊥平面PAB .
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式， 得12P AEF B AEF F BAE P BAE V V V V ----=== 1123
BAE S PD ∆=⨯⨯⨯ 1113
32324
=⨯⨯⨯=. 【题目点拨】
本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
20、（1）证明见解析；（2【解题分析】
（1）要证明平面BEF ⊥平面BDE ，只需在平面BEF 内找一条直线垂直平面BDE 即可；
（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF 的法向量n ，平面CDEF 的法向量m ，算出cos ,n m <>即可.
【题目详解】
（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD.
∴DE AC ⊥.
又∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥.
∵BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面BDE ，
设AC ，BD 交于O ，取BE 的中点G ，连FG ，OG ， //OG CF ，OG CF =，四边形OCFG 是平行四边形
//FG AC ，AC ⊥平面BDE
∴FG ⊥平面BDE ，
又因FG ⊂平面BEF ，
∴平面BEF ⊥平面BDE.
（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系
∵BE 与平面ABCD 所成的角为45︒，60BAD ∠=︒
2DE BD AB ===，3OA =()0,1,0D -，()0,1,0B ，(3,0,0)C -，()0,1,2E -，(3,0,1)F .
(0,2,2)BE =-，(3,1,1)BF =--
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，22030
y z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，(0,1,1)n = (3,1,0)DC =-，(0,0,2)DE =
设平面CDEF 的法向量(,,)m x y z =
30(1,3,0)0x y m z ⎧+=⎪⇒=⎨=⎪⎩
设二面角B EF D --的大小为θ. 36cos |cos ,|422
n m θ=<>=
=. 【题目点拨】 本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
21、（1）2n
n a t =（2）详见解析
【解题分析】
（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得13t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232n c c c ++⋯+<
. 【题目详解】
（1）由题意，得：()21n n t S a t =
--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）， 当1n =时，得()1121
t S a t =--，得12a t =. 由()()11212(2)1n n
n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩
， 故()111
n n n n n t S S a a a t ---==--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111n n n n t t b S t t t t =-=-
-=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故
()()()2
223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =， 所以13
t =或0t =（舍）. 所以，12,33n n n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则3212log 333n n n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333n n n T =++⋯+ 23112423333
n n n T +=++⋯+，相减可得 1232332232n n n n T c c c +=++
+=-<⋅ 【题目点拨】
数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
22、（1）+a b .（2）答案见解析
【解题分析】
（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；
（2
）利用分析法，只需证明||a c -<
，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证. 【题目详解】
（1）()||||
|()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+，当且仅当()()0x a x b +-时取等号，
∴()f x 的最小值M a b =+；
（2）证明：依题意，20c a b >+>，
要证c a c <<+
||a c -<，即证2222a ac c c ab -+<-，即证220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不等式成立.
【题目点拨】
本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．。