2020学年高中数学第1章计数原理1.2.3排列与组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
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解析 (1)根据分步乘法计数原理得有 C26C24C22＝90 种．
(2)在(1)的基础上，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；
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第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种 方法．
由分步乘法计数原理可得 C26C24C22＝xA33， 所以 x＝C26AC2433C22＝15. 因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
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课前教材预案
要点 分组问题的基本模型 组合中的分组问题，一般有4种基本情况：即 ___无__序__不__均_匀__分__组__、__有_序__不__均__匀_分__组__、__无__序_均__匀__分__组__和_有____ _序__均__匀__分__组___.如：将6个人进行如下分组，求各对应情 况下的分组方法数：
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然 后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法． ②将两块板与已有的三块板之一并放，如|00|||0000|， 有 C13种插法．故共有 C15·(C23＋C13)＝30 种．
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解析 (1)四个不同的小球放入四个不同的盒子，没 有特殊要求，即每个球都可以放入任何一个盒子中，所 以每个球放入盒子中时都有4种选择，所有的放法种数 为4×4×4×4＝256.
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(2)恰有 1 个盒子内放有 2 个球，则先将 4 个球分为 2,1,1 三组，有分法C24AC1222C11种；再放入四个盒子中的三个， 有放法 A34种，由分步乘法计数原理得，共有C24AC1222C11A34＝ C24A34＝144 种放法．
返回目录第一章计数原理返回目录12排列与组合123排列与组合的综合应用返回目录课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业返回目录组合中的分组问题有一般有4种基本情况
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第一章
计数原理
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1.2 排列与组合 1.2.3 排列与组合的综合应用
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课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
(4)平均分成两组，让一组参加科研活动，另一组参 加文娱活动，此时对应的是有序均匀分组，方法数由CA36C22 33 A22＝C36C33计算．
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思考：如何处理局部均匀分组问题？ 提示 局部均匀分组问题，可分步处理，如第一步 利用均匀分组模型计算均匀分组数，再对余下部分利用 不均匀分组模型处理．如：将 7 人分成 2,2,3 人的三个组， 其对应的分组方法种数是CA27C22 25C33＝105 或 C37CA24C22 22＝105.
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(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 C16C25C33＝60 种 方法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33 A33＝360 种方法．
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【变式1】 有四个不同的球和四个不同的盒子，求 分别满足下列条件的放法种数．
(1)将球全部放入盒子中； (2)将球全部放入盒子中，且恰有1个盒子内放有2个 球； (3)将球全部放入盒子中，且恰有两个盒子内放有 球．
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2．(排列、组合的综合问题)四张卡片上分别标有数
字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张
卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A．6
B．12
C．18
D．24
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答案 B 解析 特殊元素优先处理，先在后三位中选两个位 置填两个数字“0”“0”有 C23种填法，再决定用“9”还是“6” 有两种可能，最后排另两个卡片有 A22种排法，所以共可 排成 C23·2·A22＝12 个四位数．
思维导引：要完成分配工作这一件事，必须依次完 成“选出3名男同学”“选出2名女同学”“对选出的人 进行分配”这三步．
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解析 选出 3 名男同学的方法有 C36种，不论用哪一 种方法选出男同学后再选 2 名女同学都有 C24种方法，所 以合乎条件的选法有 C36C24种．而对每种方法选出的 5 个 人再分配工作有 A55种方法．根据分步乘法计数原理，一 共有 C36C24A55＝14 400 种不同的分配方法．
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【变式2】 某同学有同样的画册，同样的集邮册
3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不
同的赠送方法种数有( )
A．4
B．10
C．18
D．20
答案 B
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解析 分两类：第一类，赠送的是两本画册、两本 集邮册，因为两本集邮册是相同的，画册也是相同的， 所以只需考虑对四位朋友平均分两组再排列，共有CA24C22 22 A22＝6 种不同的赠送方法；第二类，赠送的是 1 本画册、 3 本集邮册，有 C14＝4 种不同赠送方法．由分类加法计数 原理，共有 6＋4＝10 种不同赠送方法．
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课末随堂演练
1．(分组与分配问题)从5男4女中选4位代表，其中
至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的
工厂调查，不同的分派方法种数为( )
A．100
B．960
C．2 400
D．1 440
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答案 C 解析 先选后排，共有(C35C14＋C25C24)A44＝2 400 种方 法．
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考点三 排列、组合的综合问题
解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后 排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或 位置进行排列．
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【例题3】 从6名男同学和4名女同学中，选出3名男 同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E五项不同的 工作，一共有多少种不同的分配工作的方法？
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(1)分成 2 人和 4 人的两个组，此时对应的是无序不 均匀分组，方法数由 C26C44计算．
(2)分成 2 人和 4 人的两个组，让一组参加科研活动， 另一组参加文娱活动，此时对应的是有序不均匀分组， 方法数由 C26C44A22计算．
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(3)平均分成两组，此时对应的是无序均匀分组，方 法数由CA36C22 33计算．
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【例题2】 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的 盒子，求分别满足下列条件的放法种数．
(1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 思维导引：6个小球完全相同，属于相同元素；4个 盒子有编号，属于不同元素．
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解析 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两 球外侧放置一块隔板，然后在小球之间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C35＝10 种放法．
答案 150
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4．(相同元素分配问题)20个不加区别的小球放入编 号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它 的编号数，求不同的放法种数．
解析 先在编号为 2,3 的盒内分别放入 1 个，2 个球， 还剩 17 个小球，三个盒内分别至少再放入 1 个球，将 17 个球排成一排，有 16 个空隙，插入 2 块挡板分为三堆放 入三个盒中即可，共 C216＝120 种方法．
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课堂深度拓展
考点一 分组与分配问题
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有 三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
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②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均 匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要 求逐个分配，也可以分组后再分配．
考点二 相同元素分配问题
相同元素分配问题的解题策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放 置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔 板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的 方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板 法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
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(2)将 n 个相同的元素分给 m 个不同的对象(n≥m)， 有 Cmn－－11种方法，可描述为“n－1 个空中插入 m－1 块 板”．
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3．(分组与分配问题)5名志愿者分到3所学校支教， 每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 ________种(用数字作答)．
解析 人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式．若是 1,2,2，则有C15AC2422C22·A33＝90 种；若是 1,1,3，则有C35AC1222C11·A33 ＝60 种．所以共有方法数 150 种．
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(3)恰有两个盒子放球有两种情况，即两个盒子按 1 ＋3 或 2＋2 来放球．两个盒子按 1＋3 放球时，有 C34A24种 放法；
两个盒子按 2＋2 放球时，有CA24C22 22A24种放法． 由分类加法计数原理，共有放法 C34A24＋CA24C22 22A24＝84 种．
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(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C25种插法， 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒， 如|0|000||00|，有 C14种插法．故共有 C25·C14＝40 种放法．
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【例题1】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不 同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一 人三本．
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思维导引：(1)(2)都属于平均分组问题，(3)(4)不属 于平均分组 ，其 中(2)(3) 分组即可， 不 需要 再 分配 ， (1)(4)分组后还需要再分配．
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【变式3】 (2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组 成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数， 这样的四位数一共有________ 个(用数字作答)．
解析 分为两类，一类不含偶数数字，一类只有一 个偶数数字，共有 A45＋C14C35A44＝1 080 个．
答案 1 080
(2)在(1)的基础上，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；
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第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种 方法．
由分步乘法计数原理可得 C26C24C22＝xA33， 所以 x＝C26AC2433C22＝15. 因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
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课前教材预案
要点 分组问题的基本模型 组合中的分组问题，一般有4种基本情况：即 ___无__序__不__均_匀__分__组__、__有_序__不__均__匀_分__组__、__无__序_均__匀__分__组__和_有____ _序__均__匀__分__组___.如：将6个人进行如下分组，求各对应情 况下的分组方法数：
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然 后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法． ②将两块板与已有的三块板之一并放，如|00|||0000|， 有 C13种插法．故共有 C15·(C23＋C13)＝30 种．
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解析 (1)四个不同的小球放入四个不同的盒子，没 有特殊要求，即每个球都可以放入任何一个盒子中，所 以每个球放入盒子中时都有4种选择，所有的放法种数 为4×4×4×4＝256.
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(2)恰有 1 个盒子内放有 2 个球，则先将 4 个球分为 2,1,1 三组，有分法C24AC1222C11种；再放入四个盒子中的三个， 有放法 A34种，由分步乘法计数原理得，共有C24AC1222C11A34＝ C24A34＝144 种放法．
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第一章
计数原理
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1.2 排列与组合 1.2.3 排列与组合的综合应用
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课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
(4)平均分成两组，让一组参加科研活动，另一组参 加文娱活动，此时对应的是有序均匀分组，方法数由CA36C22 33 A22＝C36C33计算．
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思考：如何处理局部均匀分组问题？ 提示 局部均匀分组问题，可分步处理，如第一步 利用均匀分组模型计算均匀分组数，再对余下部分利用 不均匀分组模型处理．如：将 7 人分成 2,2,3 人的三个组， 其对应的分组方法种数是CA27C22 25C33＝105 或 C37CA24C22 22＝105.
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(3)这是“不均匀分组”问题，一共有 C16C25C33＝60 种 方法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33 A33＝360 种方法．
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【变式1】 有四个不同的球和四个不同的盒子，求 分别满足下列条件的放法种数．
(1)将球全部放入盒子中； (2)将球全部放入盒子中，且恰有1个盒子内放有2个 球； (3)将球全部放入盒子中，且恰有两个盒子内放有 球．
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2．(排列、组合的综合问题)四张卡片上分别标有数
字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张
卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A．6
B．12
C．18
D．24
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答案 B 解析 特殊元素优先处理，先在后三位中选两个位 置填两个数字“0”“0”有 C23种填法，再决定用“9”还是“6” 有两种可能，最后排另两个卡片有 A22种排法，所以共可 排成 C23·2·A22＝12 个四位数．
思维导引：要完成分配工作这一件事，必须依次完 成“选出3名男同学”“选出2名女同学”“对选出的人 进行分配”这三步．
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解析 选出 3 名男同学的方法有 C36种，不论用哪一 种方法选出男同学后再选 2 名女同学都有 C24种方法，所 以合乎条件的选法有 C36C24种．而对每种方法选出的 5 个 人再分配工作有 A55种方法．根据分步乘法计数原理，一 共有 C36C24A55＝14 400 种不同的分配方法．
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【变式2】 某同学有同样的画册，同样的集邮册
3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不
同的赠送方法种数有( )
A．4
B．10
C．18
D．20
答案 B
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解析 分两类：第一类，赠送的是两本画册、两本 集邮册，因为两本集邮册是相同的，画册也是相同的， 所以只需考虑对四位朋友平均分两组再排列，共有CA24C22 22 A22＝6 种不同的赠送方法；第二类，赠送的是 1 本画册、 3 本集邮册，有 C14＝4 种不同赠送方法．由分类加法计数 原理，共有 6＋4＝10 种不同赠送方法．
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课末随堂演练
1．(分组与分配问题)从5男4女中选4位代表，其中
至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的
工厂调查，不同的分派方法种数为( )
A．100
B．960
C．2 400
D．1 440
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答案 C 解析 先选后排，共有(C35C14＋C25C24)A44＝2 400 种方 法．
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考点三 排列、组合的综合问题
解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后 排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或 位置进行排列．
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【例题3】 从6名男同学和4名女同学中，选出3名男 同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E五项不同的 工作，一共有多少种不同的分配工作的方法？
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(1)分成 2 人和 4 人的两个组，此时对应的是无序不 均匀分组，方法数由 C26C44计算．
(2)分成 2 人和 4 人的两个组，让一组参加科研活动， 另一组参加文娱活动，此时对应的是有序不均匀分组， 方法数由 C26C44A22计算．
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(3)平均分成两组，此时对应的是无序均匀分组，方 法数由CA36C22 33计算．
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【例题2】 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的 盒子，求分别满足下列条件的放法种数．
(1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 思维导引：6个小球完全相同，属于相同元素；4个 盒子有编号，属于不同元素．
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解析 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两 球外侧放置一块隔板，然后在小球之间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C35＝10 种放法．
答案 150
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4．(相同元素分配问题)20个不加区别的小球放入编 号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它 的编号数，求不同的放法种数．
解析 先在编号为 2,3 的盒内分别放入 1 个，2 个球， 还剩 17 个小球，三个盒内分别至少再放入 1 个球，将 17 个球排成一排，有 16 个空隙，插入 2 块挡板分为三堆放 入三个盒中即可，共 C216＝120 种方法．
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课堂深度拓展
考点一 分组与分配问题
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有 三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
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②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均 匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要 求逐个分配，也可以分组后再分配．
考点二 相同元素分配问题
相同元素分配问题的解题策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放 置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔 板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的 方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板 法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
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3．(分组与分配问题)5名志愿者分到3所学校支教， 每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 ________种(用数字作答)．
解析 人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式．若是 1,2,2，则有C15AC2422C22·A33＝90 种；若是 1,1,3，则有C35AC1222C11·A33 ＝60 种．所以共有方法数 150 种．
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(3)恰有两个盒子放球有两种情况，即两个盒子按 1 ＋3 或 2＋2 来放球．两个盒子按 1＋3 放球时，有 C34A24种 放法；
两个盒子按 2＋2 放球时，有CA24C22 22A24种放法． 由分类加法计数原理，共有放法 C34A24＋CA24C22 22A24＝84 种．
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(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C25种插法， 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒， 如|0|000||00|，有 C14种插法．故共有 C25·C14＝40 种放法．
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【例题1】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不 同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一 人三本．
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思维导引：(1)(2)都属于平均分组问题，(3)(4)不属 于平均分组 ，其 中(2)(3) 分组即可， 不 需要 再 分配 ， (1)(4)分组后还需要再分配．
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【变式3】 (2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组 成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数， 这样的四位数一共有________ 个(用数字作答)．
解析 分为两类，一类不含偶数数字，一类只有一 个偶数数字，共有 A45＋C14C35A44＝1 080 个．
答案 1 080