2020年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷及答案

2020年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷
A卷
一.选择题
1.一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝﹣1
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（）
A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．tan B＝
3.关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）
A．图象过（1，2）点
B．图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
4.如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝60°，则∠C＝（）
A．20°B．25°C．45°D．30°
5.抛物线y＝（x﹣1）2+1的顶点为（）
A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，0）
6.如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平
均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）
A．70（1+x）2＝220
B．70（1+x）+70（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220
D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220
8.若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝x2+2x上，则下列结论正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
10.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）
A．a＞0
B．abc＞0
C．2a+b＜0
D．ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根
二.填空题
11.若x＝2是一元二次方程x2+3x+k＝0的一个根，则k的值为．
12.如果反比例函数y＝在各自象限内y随x的增大而减小，那么m的取值范围是．
13.若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m＝．
14.如图，△ABC内接于ʘO，AB为直径，若AC＝AO，则∠B＝度．
三.解答题
15.（1）计算：
（2）解方程：4x（x+3）＝x2﹣9
16.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有两个相等的实数根，求m的值．
17.如图，小明家的窗口到地面的距离CE＝9米，他在C处测得正前方花园中树木顶部A点的仰角为37°，
树木底部B点的俯角为45°，求树木AB的高度．（参考数据sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈
0.75）
18.如图，二次函数y＝ax2+bx+a（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），（5，0）两点，与y轴交于点C（0，
5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为它的顶点求△AMB的面积．
19.如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点
的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．
20.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接
DE，BE，BD
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）若AB＝12，tan∠BED＝，求CF的长．
B卷
一.填空题
21.如图，已知⊙O的半径为4，弦AB垂直平分半径OC，与围成阴影部分，则S阴影＝
22.二次函数y＝2（x+1）2﹣3上一点P（x，y），当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是
23.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．
24.如图1，点A在第一象限，AB⊥x轴于B点连结OA，将Rt△AOB折叠，使A′点落在x轴上，折痕交AB
边于D点，交斜边OA于E点．
（1）若A点的坐标为（4，3），当EA′∥AB时点A′的坐标是．
（2）若A′与原点O重合，OA＝4，双曲线y＝（x＞0）的图象恰好经过D，E两点（如图2），则k＝．
25.如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，
以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是．
二.解答题
26.随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象．为了解龙泉驿某条道路交通拥堵情
况，龙泉某中学同学经实地统计分析，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆千米）的一次函数．当该道路的车流密度达到220辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米小时；当车流密度为95辆千米时，车流速度为50千米/小时．
（1）当20≤x≤220时，求车流速度v（千米/小时）与车流密度x（辆/千米）的函数关系式；
（2）为使该道路上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制该道路上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆小时）是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求该道路上车流量y的最大值．此时车流速度为多少？
27.如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，
过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：CG＝BG；
（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．
28.如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已
知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
参考答案
A卷
一.选择题
1、C．
2、A．
3、D．
4、D．
5、C．
6、D．
7、B．
8、A．
9、A．10、D．
二.填空题
11、﹣10．
12、m＞﹣1．
13、2．
14、30．
三.解答题
15、解：（1）原式＝2﹣2×+|﹣1|+1
＝2﹣+﹣1+1
＝2；
（2）方程整理得：4x2+12x＝x2﹣9，即x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，
可得x+1＝0或x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
16、解：根据题意知△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）＝0，
整理得：32﹣16m＝0，
解得：m＝2．
故m的值为2．
17、解：如图，由题意得，DB＝CE＝9，
∵∠CDB＝90°，∠DCB＝45°，
∴CD＝DB＝9，
在Rt△ADC中，AD＝DC×tan∠ACD＝9tan37°，
∴AB＝AD+BD＝9+9tan37°≈15.75，
答：旗杆AB的高约为15.75米．
18、解：（1）∵将A（﹣1，0）、B（5，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）∵y＝﹣x2+4x+5，
＝﹣（x2﹣4x+4）+4+5，
＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点M（2，9），
∴S△AMB＝×（1+5）×9＝27．
19、解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为6，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（1，6），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；
（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，
设BC与AO交于E，则E（，3），
∴AE＝OE＝D1E＝，
∵E（，3），
∴D1的坐标为（，3）；
②当∠OAD2＝90°时，
可得直线AD2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝3时，x＝19，
∴D2的坐标为（19，3），
综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）
20、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，
∴∠C+∠AOC＝90°；
又∵OC⊥AD，
∴∠OFA＝90°，
∴∠AOC+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD．
又∵∠BED＝∠BAD，
∴∠C＝∠BED．
（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BED＝，
∴tan∠C＝，
∴tan∠C＝＝，且OA＝AB＝6，
∴，解得AC＝8，
∴＝10，
∵OC•AF＝OA•AC，
∴．
∴＝＝．
B卷
一.填空题
21、π﹣4．
22、﹣3≤y≤5．
23、8．
24、．
25、3．
二.解答题
26、解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88；
（2）由题意，得
，
解得：70＜x＜120，
∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时，
y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，
∴当x＝110时，y最大＝4840，
此时v＝﹣×110+88＝44km/h，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆，此时v＝44km/h．
27、（1）证明：连接OC，
∵∠A＝∠CBD，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CF⊥AB，
∴∠ACB＝∠CFB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBF，
∴∠A＝∠BCF，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴CG＝BG；
（3）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DBA＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∴＝tan30°＝，
∵CE∥BD，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AC＝CE，
∴＝，
∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝BC，
∴△CGB∽△CBE，
∴＝＝，
∵CG＝8，
∴BC＝8，
∴BE＝8．
28、解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得
，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为（4，1）．
如图1．
∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），
∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝＝＝；
（Ⅱ）方法一：
（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．
∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，
∴∠APQ＝∠ACB＝90°．
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴＝＝．
∴AG＝3PG＝3x．
则P（x，3﹣3x）．
把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得
x2﹣x+3＝3﹣3x，
整理得：x2+x＝0
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），
把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得
x2﹣x+3＝3﹣x，
整理得：x2﹣x＝0
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴P（，）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：点P的坐标为P（，）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；
方法二：
作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，
∴，
∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，
∴或，
设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），
①，∴||＝，
∴2t1＝，2t2＝，
②，∴||＝3
∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），
∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；
（2）方法一：
过点E作EN⊥y轴于N，如图3．
在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，
∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．
此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．
对于y＝x2﹣x+3，
当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
∴D（2，0），OD＝2，
∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，
∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，
∴点E的坐标为（2，1）．
方法二：
作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，
在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，
∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，
∵A（0，3），C（3，0），
∴l AC：y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），D（2，0），
∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，
∴﹣1×，
∴m＝，∴M（，），
∵M为DD′的中点，
∴D′（3，1），
∵E Y＝D′Y＝1，
∴E（2，1）．
方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．
∵A（0，3），C（3，0），
∴l AC：y＝﹣x+3．
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°，
∵AF∥OC，
∴∠FAE＝45°．
∴EF＝AE•sin45°＝．
∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），
∴可求得D点坐标为（2，0）
则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．
所以E（2，1）．。