公用设备工程师-公共基础-高等数学-线性代数

公用设备工程师-公共基础-高等数学-线性代数
[单选题]1.设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于()。

[2010年真题]
A.－｜A｜｜B｜
B.｜A｜｜B｜
C.（－1）m＋n｜A｜｜B｜
D.（－1）mn｜A｜｜B｜
正确答案：D
参考解析：行列式经过m×n次列变换得到行列式即：
[单选题]2.设A、B均为三阶方阵，且行列式|A|＝1，|B|＝－2，AT为A的转置矩阵，则行列式|－2ATB－1|＝()。

[2018年真题]
A.－1
B.1
C.－4
D.4
正确答案：D
参考解析：因为A、B均为三阶方阵，计算得|－2ATB－1|＝（－2）3×|AT|×|B－1|＝（－2）3×1×（－1/2）＝4。

[单选题]3.若n阶方阵A满足|A|＝b（b≠0，n≥2），而A*是A的伴随矩阵，则行列式|A*|等于()。

[2019年真题]
A.bn
B.bn－1
C.bn－2
D.bn－3
正确答案：B
参考解析：伴随矩阵A*＝|A|A－1，则|A*|＝|A|n·|A－1|＝|A|n·|A|－1＝|A|n－1。

又|A|＝b，则|A*|＝|A|n－1＝bn－1。

[单选题]4.矩阵的逆矩阵A－1是()。

[2017年真题]
A.
B.
C.
D.
正确答案：C
参考解析：用矩阵的基本变换求矩阵的逆矩阵，计算如下
则有矩阵A的逆矩阵为
[单选题]5.设
则A－1＝()。

[2011年真题]
A.
B.
C.
D.
正确答案：B
参考解析：由A·A*＝|A|·E，得A－1＝A*/|A|，其中|A|＝－1；
故可得：
[单选题]6.设3阶矩阵已知A的伴随矩阵的秩为1，则a＝()。

[2011年真题]
A.－2
B.－1
C.1
D.2
正确答案：A
参考解析：由矩阵与伴随矩阵秩的关系式：
可知，r（A）＝2。

故|A|＝0，得：a＝－2或a＝1。

当a＝1时，r（A）＝1。

故a＝－2。

[单选题]7.若使向量组α1＝（6，t，7）T，α2＝（4，2，2）T，α3＝（4，1，0）T线性相关，则t等于()。

[2016年真题]
A.－5
B.5
C.－2
D.2
正确答案：B
参考解析：α1、α2、α3三个列向量线性相关，则由三个向量组成的行列式对应的值为零，即：
解得：t＝5。

[单选题]8.设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是()。

[2012年真题]
A.β必可用α1，α2线性表示
B.α1必可用α2，α3，β线性表示
C.α1，α2，α3必线性无关
D.α1，α2，α3必线性相关
正确答案：B
参考解析：由α1，α2，β线性相关知，α1，α2，α3，β线性相关。

再由α2，α3，β线性无关，α1必可用α2，α3，β线性表示。

[单选题]9.已知向量组α1＝（3，2，－5）T，α2＝（3，－1，3）T，α3＝（1，－1/3，1）T，α4＝（6，－2，6）T，则该向量组的一个极大线性无关组是()。

[2013年真题]
A.α2，α4
B.α3，α4
C.α1，α2
D.α2，α3
正确答案：C
参考解析：可见α1，α2是该向量组的一个极大线性无关组。

[单选题]10.要使齐次线性方程组
有非零解，则a应满足()。

[2018年真题]
A.－2＜a＜1
B.a＝1或a＝－2
C.a≠－1且a≠－2
D.a＞1
正确答案：B
参考解析：齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换如下
要使齐次线性方程组有非零解，则矩阵的秩r＜3，因此得a－1＝0或－（a＋2）（a－1）＝0，计算得a＝1或a＝－2。

【说明】n元齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n。

[单选题]11.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是()。

[2017年真题]
A.矩阵A的任意两个列向量线性相关
B.矩阵A的任意两个列向量线性无关
C.矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
D.矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合
正确答案：D
参考解析：线性方程组Ax＝0有非零解⇔|A|＝0⇔r（A）＜n，矩阵A的列向量线性相关，所以矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合。

[单选题]12.已知n元非齐次线性方程组Ax＝B，秩r（A）＝n－2，α1，α2，α3为其线性无关的解向量，k1，k2为任意常数，则Ax＝B的通解为()。

[2014年真题]
A.x＝k1（α1－α2）＋k2（α1＋α3）＋α1
B.x＝k1（α1－α3）＋k2（α2＋α3）＋α1
C.x＝k1（α2－α1）＋k2（α2－α3）＋α1
D.x＝k1（α2－α3）＋k2（α1＋α2）＋α1
正确答案：C
参考解析：n元非齐次线性方程组Ax＝B的通解为Ax＝0的通解加上Ax＝B的一个特解。

因为r（A）＝n－2，Ax＝0的解由两个线性无关的向量组成，所以α2－α1，α2－α3是Ax＝0的两个线性无关解。

所以Ax＝B的通解为：x＝k1（α2－α1）＋k2（α2－α3）＋α1。

[单选题]13.若非齐次线性方程组Ax＝b中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是()。

[2013年真题]
A.Ax＝0仅有零解
B.Ax＝0必有非零解
C.Ax＝0一定无解
D.Ax＝b必有无穷多解
正确答案：B
参考解析：因非齐次线性方程组未知量个数大于方程个数，可知系数矩阵各列向量必线性相关，则对应的齐次线性方程组必有非零解。

[单选题]14.齐次线性方程组的基础解系为()。

[2011年真题]
A.α1＝（1，1，1，0）T，α2＝（－1，－1，1，0）T
B.α1＝（2，1，0，1）T，α2＝（－1，－1，1，0）T
C.α1＝（1，1，1，0）T，α2＝（－1，0，0，1）T
D.α1＝（2，1，0，1）T，α2＝（－2，－1，0，1）T
正确答案：C
参考解析：简化齐次线性方程组为：
令
则α1＝（1，1，1，0）T。

令
则α2＝（－1，0，0，1）T。

故基础解系为：α1＝（1，1，1，0）T，α2＝（－1，0，0，1）T。

[单选题]15.设λ1＝6，λ2＝λ3＝3为三阶实对称矩阵A的特征值，属于λ2＝λ3＝3的特征向量为ξ2＝（－1，0，1）T，ξ3＝（1，2，1）T，则属于λ1＝6的特征向量是()。

[2017年真题]
A.（1，－1，1）T
B.（1，1，1）T
C.（0，2，2）T
D.（2，2，0）T
正确答案：A
参考解析：矩阵A为实对称矩阵，由实对称矩阵的性质：不同特征值对应的特征向量相互正交，设属于λ1＝6的特征向量为（x1，x2，x3）T，（－1，0，
1）·（x1，x2，x3）＝0，（1，2，1）·（x1，x2，x3）＝0，解得
令x3＝1，解得（x1，x2，x3）T＝（1，－1，1）T。

[单选题]16.已知矩阵
与
相似，则λ等于()。

[2013年真题]
A.6
B.5
C.4
D.14
正确答案：A
参考解析：A与B相似，故A与B有相同的特征值，又因为特征值之和等于矩阵的迹，故1＋4＋5＝λ＋2＋2，故λ＝6。

[单选题]17.已知n阶可逆矩阵A的特征值为λ0，则矩阵（2A）－1的特征值是()。

[2012年真题]
A.2/λ0
B.λ0/2
C.1/（2λ0）
D.2λ0
正确答案：C
参考解析：由矩阵特征值的性质，2A的特征值为2λ0，因此（2A）－1的特征值为1/（2λ0）。

[单选题]18.设A是3阶矩阵，P＝（α1，α2，α3）是3阶可逆矩阵，且
若矩阵Q＝（α2，α1，α3），则Q－1AQ()。

[2011年真题]
A.
B.
C.
D.
正确答案：B
参考解析：设可逆矩阵
计算可得：PB＝Q，Q－1＝B－1P－1，其中，
因此
[单选题]19.要使得二次型f（x1，x2，x3）＝x12＋2tx1x2＋x22－2x1x3＋2x2x3＋2x32为正定的，则t的取值条件是()。

[2012年真题]
A.－1＜t＜1
B.－1＜t＜0
C.t＞0
D.t＜－1
正确答案：B
参考解析：该方程对应的二次型的矩阵为：
若二次型为正定，其各阶顺序主子式均大于零，由二阶主子式大于零，有1－t2＞0，求得－1＜t＜1。

三阶主子式也大于零，得－1＜t＜0。

[单选题]20.矩阵所对应的二次型的标准形是()。

[2018年真题]
A.f＝y12－3y22
B.f＝y12－2y22
C.f＝y12＋2y22
D.f＝y12－y22
正确答案：C
参考解析：二次型的矩阵
则对应的二次型展开式为：f（x1，x2，x3）＝x12＋3x22－
2x1x2＝（x1－x2）2＋2x22。

令
则上式化简得f＝y12＋2y22。

[单选题]21.设A是3阶矩阵，矩阵A的第1行的2倍加到第2行，得矩阵B，
则下列选项中成立的是()。

A.B的第1行的－2倍加到第2行得A
B.B的第1列的－2倍加到第2列得A
C.B的第2行的－2倍加到第1行得A
D.B的第2列的－2倍加到第1列得A
正确答案：A
参考解析：设矩阵
则
[单选题]22.设有向量组α1＝（1，－1，2，4），α2＝（0，3，1，2），α3＝（3，0，7，14），α4＝（1，－2，2，0），α5＝（2，1，5，10），则该向量组的极大线性无关组是()。

A.α1，α2，α3
B.α1，α2，α4
C.α1，α4，α5
D.α1，α2，α4，α5
正确答案：B
参考解析：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵施以初等行变换：
由于不同阶梯上对应向量组均线性无关，而含有同一个阶梯上的两个及两个以上的向量必线性相关，对比
四个选项知，B项成立。

[单选题]23.设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－αTα，B ＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于()。

A.O
B.－E
C.E
D.E＋αTα
正确答案：C
参考解析：注意利用ααT＝1/2来简化计算。

AB＝（E－αTα）（E＋2αTα）＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT（ααT）α＝E＋αTα－2·（1/2）αTα＝E。

[单选题]24.设β1，β2是线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1、α2是导出组Ax＝0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax＝b的通解是()。

A.（β1－β2）/2＋k1α1＋k2（α1－α2）
B.α1＋k1（β1－β2）＋k2（α1－α2）
C.（β1＋β2）/2＋k1α1＋k2（α1－α2）
D.（β1＋β2）/2＋k1α1＋k2（β1－β2）
正确答案：C
参考解析：非齐次线性方程组Ax＝b的通解由导出组Ax＝0的基础解系与某一特解构成。

A项，（β1－β2）/2、α1－α2都是导出组Ax＝0的一个解，该选项中不包含特解；B项，β1－β2是导出组Ax＝0的一个解，该选项也不包含特解；C项，（β1＋β2）/2是Ax＝b的特解，α1－α2与α1线性无关，可作为导出组Ax＝0的基础解系；D项，包含特解，但β1－β2与α1未必线性无关，不能作为导出组Ax＝0的基础解系。

[单选题]25.设A是m×n阶矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()。

A.若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解
B.若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多个解
C.若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解
D.若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解
正确答案：D
参考解析：由解的判定定理知，对Ax＝b，若有r（A）＝r（）＝r，则Ax＝b 一定有解。

进一步，若r＝n，则Ax＝b有唯一解；若r＜n，则Ax＝b有无穷多解。

而对Ax＝0一定有解，且设r（A）＝r，则若r＝n，Ax＝0仅有零解；若r ＜n，Ax＝0有非零解。

因此，若Ax＝b有无穷多解，则必有r（A）＝r（A）＝r＜n，Ax＝0有非零解，所以D项成立。

但反过来，若r（A）＝r＝n（或＜n），并不能推导出r（A）＝r（），所以Ax＝b可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解。

[单选题]26.齐次线性方程组
的系数矩阵记为A。

若存在三阶矩阵B≠0使得AB＝0，则()。

A.λ＝－2且｜B｜＝0
B.λ＝－2且｜B｜≠0
C.λ＝1且｜B｜＝0
D.λ＝1且｜B｜≠0
正确答案：C
参考解析：因为AB＝0，所以r（A）＋r（B）≤3，又A≠0，B≠0，所以1≤r （A）＜3，1≤r（B）＜3，故｜A｜＝0，｜B｜＝0。

由｜A｜＝0⇒（λ－1）2＝0⇒λ＝1。

综上λ＝1且｜B｜＝0。

[单选题]27.设A是n阶矩阵，且Ak＝0（k为正整数），则()。

A.A一定是零矩阵
B.A有不为0的特征值
C.A的特征值全为0
D.A有n个线性无关的特征向量
正确答案：C
参考解析：设λ是A的特征值，对应的特征向量为α，则有Aα＝λα，Akα＝λkα＝0。

由α≠0，有λk＝0，即λ＝0，故A的特征值全为0。

令
则A2＝0。

若A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P－1AP＝0，则必有A＝0，与题意矛盾。

[单选题]28.已知二阶实对称矩阵A的一个特征向量为（2，－5）T，并且|A|＜0，则以下选项中为A的特征向量的是()。

A.
B.
C.，k1≠0，k2≠0
D.，k1，k2不同时为零
正确答案：D
参考解析：设A的特征值为λ1，λ2，因为|A|＜0，所以λ1·λ2＜0，即A有两个不同的特征值。

又
且在D项中，k1与k2不同时为零。

C项，k1与k2都可以等于0，如当k1＝0，k2≠0时，k2（5，2）T也是A的特征向量，所以排除。

[单选题]29.已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX＝0，则有()。

A.｜A｜＞0
B.｜A｜＝0
C.｜A｜＜0
D.以上三种都有可能
正确答案：B
参考解析：由于对任一n维列向量X均有XTAX＝0，两边转置，有XTATX＝0，从而XT（A＋AT）X＝0。

显然有（A＋AT）T＝A＋AT，即A＋AT为对称矩阵。

从而对任一n维列向量X均有：XT（A＋AT）X＝0，A＋AT为实对称矩阵，从而有A＋AT＝0。

即AT＝－A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故｜A｜＝0。

[单选题]30.二次型
的秩为()。

A.0
B.1
C.2
D.3
正确答案：B
参考解析：解法一：根据二次型定义
所以
即r（B）＝1，则二次型的秩为3。

解法二：令
则二次型矩阵
故二次型的秩为1。

[单选题]31.已知矩阵
那么与A既相似又合同的矩阵是()。

A.
B.
C.
D.
正确答案：D
参考解析：两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。

但合同不能推出相似，故本题只要找出与A相似的矩阵即可，相似对角矩阵主对角线上元素为矩阵A的特征值，由特征值之和等于矩阵的迹，得：选项中对角矩阵主对角线上元素之和＝矩阵A的迹（即1＋1＋2＝4），观察知D项满足。