高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件
【考点梳理】
1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
(2)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．
(3)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
4．集合与充要条件
设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有：
(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分不必要条件．
(2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B ⊂≠A ，则p 是q 的必要不充分条件．
(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．
【考点突破】
考点一、四种命题的关系及其真假判断
【例1】(1) 命题“若4πα=
，则tan 1α=”的逆否命题是( ) A.若4π
α≠，则tan 1α≠ B.若4π
α=，则tan 1α≠
C.若tan 1α≠，则4π
α≠ D.若tan 1α≠，则4π
α=
(2) 给出下列命题：
①“∃x 0∈R ，x 2
0－x 0＋1≤0”的否定；
②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；
③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3 [答案] (1)C (2)C
[解析] (1)命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若⌝q ，则⌝p ”，显然⌝q ：tan 1α≠，⌝p ：4π
α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan 1α≠，则4πα≠
”. (2) ①的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x 2＋x －6<0，
则x ≤2”，由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴x ≤2成立，②正确；③由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，原命题是假命题，因此可知逆否命题为假命题，③错误.综上可知，真命题是①，②.
【类题通法】
1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断命题真假的2种方法
(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．
【对点训练】
1. 命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )
A.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c
B.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b
C.若a ＋c >b ＋c ，则a >b
D.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c
[答案] A
[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.
2. 原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
[答案] C
[解析] 原命题：若c ＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a ，b ，c ∈R ，若“ac 2>bc 2”，则“a >b ”.由ac 2>bc 2知c 2>0，∴由不等式的基本性质得a >b ，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.
考点二、充分条件与必要条件的判断
【例2】(1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln （－x ），x <－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 (2) 设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] (1)B (2)B
[解析] (1)若x ＝0，则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1，则e x
＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件.
(2)由2－x ≥0，得x ≤2，
由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.
∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒0≤x ≤2，
故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．
【类题通法】
充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
【对点训练】
1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 因为由“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，反过来，由A ⊆B 可以得到“a ＝3或a ＝2”，不一定推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．
2．已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.
当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立.
考点三、充分条件、必要条件的应用
【例3】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．
[解析] 由x 2－8x －20≤0得
－2≤x ≤10，
∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.
∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，
则S ⊆P ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，
1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.
综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.
【变式1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.
[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.
若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.
【变式2】本例条件不变，若⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.
∵⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，
∴P 是S 的充分不必要条件，
∴P ⇒S 且S ⇒/ P .
∴[－2，10]⊂≠[1－m ，1＋m ].
∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩
⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).
【类题通法】
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【对点训练】
已知p ：⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．
[答案] [9，＋∞)
[解析] 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，
∴⌝p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，
设A ＝{x |x >10或x <－2}．
由x 2－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，
∴⌝q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，
设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}．
∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴B ⊂≠A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，
1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，
∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．
法二：∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件．
即p 是q 的充分不必要条件，
由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，
又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，
∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，
设N ＝{x |－2≤x ≤10}．
由p 是q 的充分不必要条件知，N ⊂≠M ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，
1－m ≤－2，
1＋m >10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．。