高三数学一轮复习教学案：三角函数

三角函数
1．了解任意角的概念、
弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．
2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．
3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．
5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．
6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．
三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：
1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．
2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其
次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．
3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．
第1课时 任意角的三角函数
一、角的概念的推广
1．与角α终边相同的角的集合为 ．
2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．
4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．
6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；
10．三角函数的符号与角所在象限的关系：
12
13的正弦线、余弦线、正切线．
－ ＋ －
+
cos x , ＋ ＋ －
－
sin x ,
－ ＋ ＋
－
tan x ,
x y O x
y O x y O
2α,
2α ,3
α
的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜
2
α
＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜
2
α
＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2
α
＜n·360°+270°.∴
2
α
是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜
3
α
＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜
3
α
＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜
3
α
＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3
α
＜n·360°+300°.∴
3
α
是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问
3
α
是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜
3
α
＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3
α
＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故
3
α
的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜
3
α
＜210°+m·360°（m ∈Z ).
故
3
α
的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3
α
＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故
3
α
的终边在第四象限.综上可知，
3
α
是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥
2
3
;(2)cos α≤21-.
解：（1）作直线y=
2
3
交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区
域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
α|2k π+
3π≤α≤2k π+3
2
π，k ∈Z .（2）作直线x=2
1
-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）
即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：
（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥2
1
.
由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-3
2,32ππππk k （k ∈Z ）.
（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜4
3
,∴-
23＜sinx ＜2
3.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3
π
）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.
解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,
r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,
当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=
4
343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5
3
53=--=t t r y , cos α=5
4
54-=-=t t r
x , tan α=
4
343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=4
3-; t ＜0时，sin α=5
3
,cos α=-5
4,tan α=4
3-.
变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．
解：由题意，得
0,4
r m m ==
≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．
当m =
,r =P 的坐标为(，
cos tan x y r x θθ∴=
=====
当m =,r =P 的坐标为(，
cos tan x y r x θθ∴=
=====
例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3
π
=
，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；
(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．
解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

)(3
2cm l π
=
S S S -=扇弓△＝3
sin 22
123
22
12ππ⨯⨯-⨯⨯
＝)33
2(
π（cm 2
）
扇形周长R R l R C 222+=+= ∴2
2+=C
R ∴22)2
2(2121+⋅=⋅=
C R S αα扇 162
4241244122
22
2C C C ≤
++⋅=++⋅=ααα 当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为16
2c
．
变式训练4：扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α
则有⎪⎩
⎪⎨⎧==+121
42lr l r ∴⎩⎨
⎧==2
1
l r 由|α|＝r
l 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )
1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范
围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．
2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?
第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．同角公式：
(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ，1＋cot 2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝
(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1 2．诱导公式：
3．同角三角函数的关系式的基本用途：
根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明
同角的三角恒等式． 4．诱导公式的作用：
0°~90º角的三角函数值． 例1. 已知f(α)=)
sin()tan()
tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;
（1）化简f(α);
（2）若α是第三象限角，且cos 5
1
23=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
πα，求f(α)的值. 解 ：（1）f （α）=α
ααααsin tan )
tan (cos sin -⋅⋅=-cos α.
（2）∵cos ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
2
3π
α=-sin α, ∴sin α=-51
,cos α=-65
251522-=-,
∴f(α)=
65
2
. 变式训练1：已知A ＝
)(cos )
cos(sin )sin(Z k k k ∈+++α
απααπ则A 构成的集合是 ( )
A ．{－1, 1, －2, 2}
B ．{1, －1}
C ．{2, －2}
D ．{－2, －1, 01, 2} 解：C
例2．求值：(1) 已知5
3)7cos(,2-=-<<παπαπ，求)2
cos(απ
+的值．
2) 已知
11tan tan -=-αα，求下列各式的值．①α
αα
αcos sin cos 3sin +-；②2cos sin sin 2++ααα
解：（1）5
4
)22
cos(=+π
；
（2）
3
5
cos sin cos 3sin -=+-αααα
变式训练2：化简：① )4sin()
8cos(tan )5sin(πθθπθπθ---⋅⋅-， ② )4
cos()4sin(παπα++-
解：①原式＝sin θ ② 原式＝0 例3. 已知－
02
<<x π
，sin x ＋cos x ＝
5
1． （1）求sin x －cos x 的值．
（2）求x
x
x tan 1sin 22sin 2-+的值．
解：( 1 ) －57，( 2 ) －
175
24
变式训练3：已知sin θ +cos θ=5
1,θ∈(0,π).求值： （1）tan θ;（2）sin θ-cos θ;（3）sin 3θ+cos 3θ.
解 方法一 ∵sin θ+cos θ=5
1,θ∈(0,π), ∴(sin θ+cos θ)2=25
1
=1+2sin θcos θ， ∴sin θcos θ=-25
12
＜0. 由根与系数的关系知， sin θ,cos θ是方程x 2-51x-25
12
=0的两根， 解方程得x 1=54,x 2=-5
3.
∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ=54,cos θ =-5
3. ∴（1）tan θ=-3
4. （2）sin θ-cos θ=5
7. （3）sin 3θ+cos 3θ=
125
37
. 方法二 （1）同方法一. （2）（sin θ-cos θ）2=1-2sin θ·cos θ =1-2×⎪⎭⎫ ⎝⎛-
2512=
25
49
. ∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0, ∴sin θ-cos θ=5
7.
（3）sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ) =5
1×⎪⎭⎫ ⎝⎛+
25121=
125
37
. 例4．已知tan α=2,求下列各式的值： （1）α
αα
αcos 9sin 4cos 3sin 2--;
（2）
α
ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;
（3）4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α. 解：（1）原式=19
243
229tan 43tan 2-=-⨯-⨯=--αα.
（2）
7
59
243229
tan 43tan 2cos 9sin 4cos 3sin 222222222=
-⨯-⨯=
--=
--ααα
ααα. （3）∵sin 2α+cos 2α=1,
∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α =
α
αα
ααα2222cos sin cos 5cos sin 3sin 4+--
=
11
45
23441
tan 5
tan 3tan 42
2=+-⨯-⨯=
+--ααα.
变式训练4：已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:（1）
θ
θθ
θsin 3cos 5cos 2sin 4+-;
（2）4
1sin 2θ+5
2
cos 2θ.
解：由已知得cos(θ+k π)≠0,
∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）
10tan 352
tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θ
θθθθθ.
（2）41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52sin 41++=2571
tan 52tan 4122=++
θθ.
1
．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.
2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
第3课时 两角和与差的三角函数
1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式
sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β) 1－tan α tan β＝
)
tan(tan tan βαβ
α++
4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2
β
α+＋
2
β
α-
α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β
2
β
α+＝(α－
2β)－(2
α
－β)；
)4
(
)4
(
x x ++-π
π
＝
2
π
例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.
解：原式=︒⋅⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2
=︒⋅︒
︒
+︒⨯
︒+︒80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2(
=︒⋅⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡︒︒+︒⨯︒+︒10cos 210cos 10sin 23
10cos 2
110sin 250sin 2 =︒⋅⎪⎭
⎫
⎝
⎛
︒︒︒+
︒10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2
=
︒=︒⋅︒
︒
60sin 2210cos 210cos 60sin 2 =.62
3
22=⨯
变式训练1：(1)已知α∈(
2π,π)，sin α=53,则tan(4
π
α+)等于（ ）
A.71
B.7
C.－ 7
1
D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） A.－
21 B.2
1
C.－23
D.23
解：(1)A (2)B
例2. 已知α∈(
4π
，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4
π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值． 解：∵α－4
π＋4
3π＋β＝α＋β＋2
π
α∈(4
3,4
ππ) β∈(0,1sin 3
11≤-≤
-x )
∴α－
4π∈(0,2π) β＋43π∈(4
3π
,π) ∴sin(α－
4π)＝54
cos(βπ+43)＝－13
12 ∴sin(α＋β)＝－cos[2
π＋(α＋β)] ＝－cos[(α－
4π)＋(βπ+4
3)]＝6556
变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2
π，
求cos （α+β）. 解：∵
2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2
π
. 故由cos （α－
2β）=－91
，得sin （α－2β）=954.
由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos 2βα+=cos ［（α－2β）－（2
α
－β）］
=cos()cos(
)sin ()sin(
)2
2
2
2
β
α
β
α
αβαβ-
-+-
-=129339-⨯
+⨯
27=∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=2
227⎛⨯ ⎝⎭
-1=－729239. 例3. 若sinA=
55,sinB=10
10
,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 解 ∵A 、B 均为钝角且sinA=55,sinB=10
10
， ∴cosA=-A 2
sin 1-=-5
2=-
5
52， cosB=-B 2
sin 1-=-10
3=-
10
10
3， ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-552×⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-10103-55×1010=22 ① 又∵
2π＜A ＜π, 2
π
＜B ＜π, ∴π＜A+B ＜2π ②
由①②知，A+B=
4
7π
. 变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C
A +-cos2B=2
7,求角B 的度数. 解 在△ABC 中，A+B+C=180°, 由4sin 22C
A +-cos2B=2
7, 得4·
2)cos(1C A +--2cos 2B+1=2
7
, 所以4cos 2B-4cosB+1=0. 于是cosB=2
1,B=60°.
例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-2
1
cos2α·cos2β.
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-2
1
·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-2
1
(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-2
1 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-2
1
=sin 2β+cos 2β-21=1-21=2
1
. 方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-2
1
cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α·cos2β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2β-cos2β·⎪⎭
⎫
⎝
⎛+αα2cos 2
1sin 2
=2
2cos 1β
+-cos2β·⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 2
2αα =
2
2cos 1β+-21cos2β=21
. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=
2
2cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β
=4
1
(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+
41(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-2
1
·cos2α·cos2β=
2
1
. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-2
1
cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21
cos2α·cos2β =cos 2(α+β)-2
1·cos(2α+2β) =cos 2(α+β)-
21·［2cos 2(α+β)-1］=2
1. 变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x 4
π
+6cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛-x 4
π
;
(2）⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21
cos 222.
解 （1）原式=22⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫
⎝⎛-x x 4cos 234sin 2
1
ππ =22⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 6cos 4
sin 6sin ππππ
=22cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-x 4
6
π
π=22cos(x-12
π
). （2）原式=
⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-απα
αα
22cos 1tan 1tan 12cos =
)
2sin 1(2sin 12cos 2cos αα
α
α++=1.
1
．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。

在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。

对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．
2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。

对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。

另外还要能对形如sinx±3cosx 、sinx±cosx 的三角函数式要创造条件使用公式．
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切
1．基本公式：
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：
1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ． 例1. 求值：
1
40cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒
解：原式＝︒
+︒︒
+︒80cos 40cos 80sin 40sin
＝
)
2060cos()2060cos()
2060sin()2060sin(︒+︒+︒-︒︒+︒+︒-︒＝
3
变式训练1：)12
sin
12
(cos π
π
-(cos
12π＋sin 12
π
)＝ （ ） A ．－23 B ．－21
C ． 2
1 D ．23 解：D
例2． 已知α为锐角，且21tan =α，求α
αααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 解：∵α为锐角 ∴α
αααα2cos 2sin sin cos 2sin -＝
α
αααα2cos cos sin 2)
1cos 2(sin 2-
＝
αcos 1＝α2tan 1+＝4
5
变式训练2：化简：
)
4
(
sin )4
tan(
21
cos 22
2απ
απ
α+⋅--
解：原式＝
)
4(
cos )
4
cos(
)4
sin(22cos 2απ
απ
απ
α
-⋅--＝1
例3．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=； (1) 求)6
25(
π
f 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sinα的值．
解：（1）∵2
3
625cos
2
1
625sin =
=π ∴06
25cos 625sin 625cos 3)625(
2=+-=π
πππf （2）x x x f 2sin 2
1232cos 23)(+-= ∴2
3
4123sin 21cos 23)2
(-
=-+=
ααa f 16sin22－4sinα－11＝0 解得8
5
31sin ±=α ∵0sin ),0(2>∴∈απ 故8
5
31sin +-=α 变式训练3：已知sin(απ
-6)＝
3
1，求cos(απ
232+)的值． 解：cos(32π＋2α)＝2cos 2(3
π
＋α)－1 ＝2sin 2(
6π－α) －1＝－9
7 例4．已知sin 2 2α＋sin 2α cosα－cos2α＝1，α∈(0，2
π
)，求sinα、tanα的值． 解：由已知得
sin 22α＋sin2αcosα－2cos 2α＝0 即(sin2α＋2cos α) (sin2α－cos α)＝0 cos 2α(1＋sin α) (2sin α－1)＝0 ∵α∈(0，2
π) cos α≠0 sinα≠－1
∴2sin α＝1 sin α＝21 ∴tan α＝
3
3
变式训练4：已知α、β、r 是公比为2的等比数列])2,0[(πα∈，且sinα、sinβ、sinr 也成等比数列，求α、β、r 的值．
解：∵α、β、r 成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r ＝4α
∵sinα、sinβ、sinr 成等比数列 ∴
12cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 2-=⇒=⇔=αα
α
ααβαβr 即01cos 2cos 22=--α，解得cosα＝1或2
1
cos -=α
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当2
1
cos -=α时，∵2∈[0,2π] ∴322π=或3
22π= ∴38,34,32ππβπα===
r 或3
16,38,34ππβπα===r
1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；
2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)． 3．对三角函数式的变形有以下常用的方法： ① 降次（常用降次公式）
② 消元（化同名或同角的三角函数） ③ 消去常数“1”或用“1”替换 ④ 角的范围的确定
第5课时 三角函数的化简和求值
1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；
④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题
关键在于：变角，使其角相同；
③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2
,2π
π-]、[0，π]、（2
,
2π
π-）的角．
例1. （1）化简：
40
cos 170sin )
10tan 31(50sin 40cos +++
（2）化简：x
x x
x 4466cos sin 1cos sin 1----
解：∵
10cos 10sin 310cos 10tan 31+=+
＝
10cos 50cos 210cos )
1060cos(2=
- ∴原式
20cos 220cos 220cos 2140cos 20cos 270sin 10cos 50cos 50sin 240cos 222=+=⋅+==2 变式训练1：已知x
x
x f +-=11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为 ．
解：
α
sin 2
例2. 已知0cos 2cos sin sin 622=-+αααα，α∈[
2
π
，π]，求sin （2α＋3π）的值．
解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0
⇔3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０ 由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠2
π即α∈(2
π,π)
∴tanα＝－3
2
sin(2α＋3
π)＝sin2αcos
3
π
＋cos2αsin 3π
＝sinαcosα＋23
(cos 2α－sin 2α)
＝α
αααααα
α222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⨯+
+
＝
α
αα
α222tan 1tan 123tan 1tan +-++
+
＝26
3
5136+-
解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠2
π
从而条件可化为 6 tan 2α＋tanα－2＝0 ∵α∈(2
π,π) 解得tanα＝－3
2(下同解法一)
变式训练2：在△ABC 中，2
2
cos sin =+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积．
解：∵sinA ＋cosA ＝2
2 ①
∵2sinAcosA ＝－2
1
从而cosA ＜0 A ∈(π
π
,2
)
∴sinA －cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+ ＝
2
6 ②
据①②可得 sinA ＝4
26+ cosA ＝
4
2
6+- ∴tanA ＝－2－3
S △ABC ＝4
)
26(
3+
例3. 已知tan(α－β)＝
21，tan β＝-7
1
，且α、β∈（0，π），求2α－β的值. 解：由tanβ＝－7
1 β∈(0，π)
得β∈(2
π, π) ①
由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝3
1 α∈(0，π)
得0＜α＜2
π ∴ 0＜2α＜π
由tan2α＝4
3＞0 ∴知0＜2α＜2
π ②
∵tan(2α－β)＝
β
αβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1
由①②知 2α－β∈(－π，0) ∴2α－β＝－
4
3π (或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)
变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝4
15，求12cos 2sin )
4sin(+++
ααπ
α的值．
解：由sinα＝4
15
α为第二象限角
∴cosα＝－4
1
∴)
cos (sin cos 2)
4sin(12cos 2sin )4sin(αααπ
αααπ
α++
=
+++
＝
α
cos 221＝－
2
例4．已知
3
10
cot tan ,43-=+<<ααπαπ． （1）求tanα的值；
（2）求
)
2
sin(28
2
cos 112
cos
2
sin
82
sin 52
2
π
αα
α
α
α
-
-++的值．
解：（1）由3
10
cot tan -
=+αα 得03tan 102tan 32=++α 解得tanα＝－3或3
1tan -=α 又
παπ<<4
3，所以31
tan -=α为所求．
（2）原式：α
αααcos 282cos 111sin 42cos 15--+⋅++-⋅
=
α
αααcos 2216
cos 1111sin 8cos 55--+++-=
6
2
52
26tan 8cos 22cos 66sin 8-
=-+=
-=
αα
αα 变式训练4：已知k =++αααtan 12sin sin 22（4
π
<α<2π），试用k 表示sin α－cos α的值．
解：∵
ααα
α
αcos sin 2tan 12sin sin 22=++
∴k ＝2sinαcosα
∵(sinα－cosα)2＝1－k 又∵α∈(2
,
4π
π) ∴sinα－cosα＝
k
-1
1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度 ② 变换函数名 ③ 变换解析式结构
3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．
第6课时 三角函数的恒等变形
一、三角恒等式的证明
1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．
2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．
3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． 二、三角条件等式的证明
1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．
2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：
⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．
⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．
⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．
例1
．求证：
2
sin
sin 2cos cos 1θ
θθ
θ+++＝
θ
θ
cos 1sin -
证明：左边＝
)
2
cos 21(2
sin
)2cos 21(2cos
2
sin
2
cos
2
sin
22
cos
2
cos 22
θ
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
++=++
＝
θθθθθ
cos 1sin 2cot 2
sin
2cos
-==＝右边
变式训练1：求证：tan(α＋
4π)＋tan(α－4
π
)＝2tan2α 证明：∵(α＋4
π)＋(α－4
π)＝2α
∴tan[(α＋4
π)＋(α－4
π)]＝tan2α
∴
απ
απ
απ
απ
α2tan )
4
tan()4
tan(1)
4
tan()4
tan(=-
⋅+
--
++
∴α
π
απαπ
απα2tan )
4cot()4tan(1)4tan()4tan(=+⋅++-++ ∴tan(α＋4
π)＋tan(α－4
π)＝2tan2α
例2．求证：
)3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan ααα
αα
α-=+ 证明：左边＝α
αα
α
αα4cos 2cos 3cos 3sin 5cos 5sin ⋅+
＝α
αααα
ααααααα4cos 2cos 3cos 5cos 4cos 2cos 2sin 44cos 2cos 3cos 5cos 8sin ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
＝α
αααα
ααααααα4cos 2cos 3cos 5cos 4cos 2cos 2sin 44cos 2cos 3cos 8sin ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
＝
ααα3cos 5cos 2sin 4⋅
右边＝4(
α
α
αα3cos 3sin 5cos 5sin -) ＝4·αααααα3cos 5cos 3sin 5cos 3cos 5sin ⋅⋅-⋅＝α
αα3cos 5cos 2sin 4⋅
∴左边＝右边 即等式成立
变式训练2：已知2tanA ＝3tanB ，求证：tan(A －B)＝
B
B
2cos 52sin -．
证明：tan(A －B)＝B B
B B A B A 2
tan 2
31tan tan 23
tan tan 1tan tan +-=⋅+- ＝B B B B B
B B B
B B 22222sin 3cos 2cos sin cos sin 32cos sin tan 32tan +=+
=+
＝
B B B
B B
B B B 2cos 52sin sin 242sin sin 6cos 4cos sin 2222-=
+=
+⋅
例3．如图所示，D 是直线三角形△ABC 斜边上BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD=α，∠ABC=β． （1）证明：sinα＋cos2β=0； （2）若DC AC 3=，求β的值． 解：（1）∵2
2)22(2
2
π
ββππ
π
α-
=--=
∠-=
BAD ∴βπ
βα2cos )2
2sin(sin -=-
=
即sinα＋cos2β＝0
（2）在△ADC 中，由正弦定理得)
sin(sin βπα-=AC
DC ． 即
β
αsin 3sin DC
DC = ∴αβsin 3sin =
A B
D
C
由（1）sinα＝－cos2β
∴)sin 21(32cos 3sin 2βββ--=-= 即03sin sin 322=--ββ 解得23sin =β或2
3sin -=β 因为2
0π
β<
<，所以23sin =
β从而2
3
=β 变式训练3.已知)2
,0(,π
βα∈且sinβ·cosα＝cos(α＋β)．
（1）求证：α
α
β22sin 1cos sin tan +=；
（2）用tanβ表示tanα．
解：（1）∵)cos(cos sin βααβ+=⋅ ∴
βαβαα
β
sin sin cos cos sin sin -= ∴βαβααβ
sin sin cos cos sin sin 2-=
∴α
α
αβ2sin 1cos sin tan +=
（2）α
α
αααααβ2222tan 21tan sin cos sin cos sin tan +=++=
例4.在△ABC 中，若sinA·cos 2
2C ＋sinC·cos 2
2A ＝23
sinB ，求证：sinA ＋sinC ＝2 sinB ．
证明：∵sinA·cos 22C ＋sinC·cos 2
2
A
＝2
3sinB
∴sinA·
2
cos 1C
+＋sinC·
2
cos 1A
+＝2
3sinB
∴sinA ＋sinC ＋sinA·cosC ＋cos Ａ·sinC ＝3sinB ∴sinA ＋sinC ＋sin(A ＋C)＝3sinB
∵sin(A ＋C)＝sinB ∴sinA ＋sinC ＝2sinB
变式训练4：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin 2β，求证：2cos2α＝cos2β． 证明：(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋2sin θ·cos θ＝4sin 2α 将sin θ·cos θ＝sin 2β代入得1＋2sin 2β＝4sin 2α ∴1＋1－cos 2β＝2(1－cos2α)
1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．
2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途
径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式． 3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．
第7课时 三角函数的图象与性质
1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．
“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的
点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．
注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．
3．“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(ω>0)的图象．
令x'＝ωx ＋ϕ转化为y ＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． ４．函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．
振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的． 周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ． 相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．
由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：
或
说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位． 例1.已知函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A>0，ω>0) ⑴ 若A ＝3，ω＝2
1，ϕ＝－
3
π
，作出函数在一个周期内的简图．
⑵ 若y 表示一个振动量，其振动频率是π2，当x ＝24π时，相位是3
π
，求ω和ϕ． 解：(1) y ＝3sin(
3
2π-x )列表(略)图象如下：
(2)依题意有：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=+⋅==324
22πϕπωππωf ∴⎪⎩⎪⎨⎧==64πϕω 变式训练1：已知函数y=2sin )3
2(π
+x ,
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y=2sin )3
2(π
+x 的图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.
解 （1）y=2sin )3
2(π
+x 的振幅A=2,周期T=
2
2π
=π，初相ϕ=3π.
（2）令X=2x+
3π
,则y=2sin )3
2(π+x =2sinX.
（3）方法一 把y=sinx 的图象上所有的点向左平移
3π
个单位，得到y=sin )3
(π+x 的图象，
再把y=sin )3
(π
+x 的图象上的点的横坐标缩短到原来的
2
1
倍（纵坐标不变），得到y=sin )3
2(π+x 的图象，最后把y=sin )3
2(π
+x 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不
变），即可得到y=2sin )3
2(π
+x 的图象.
方法二 将y=sinx 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的2
1倍，纵坐标不变，得到y=sin2x 的图象；
再将y=sin2x 的图象向左平移
6
π
个单位； 得到y=sin2)6
(π
+x =sin )3
2(π
+x 的图象；再将y=sin )3
2(π
+x 的图象上每一点的横坐标保持不
变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin )3
2(π
+x 的图象.
例2已知函数y=3sin )4
2
1(π
-x
（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；
（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：
描点、连线,如图所示：
（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx 的图象上所有点向右平移
4
π
个单位，得到y=sin )4(π-x 的图象；再把y=sin )
4(π-x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
y=sin )4
2
1
(π
-x 的图象，最后将y=sin )4
2
1(π
-x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横
坐标不变），就得到y=3sin )4
2
1
(π
-x 的图象.
方法二 “先伸缩，后平移”
先把y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin 2
1x 的图象；再把y=sin 2
1x 图象上所有的点向右平移2
π
个单位， 得到y=sin 2
1
(x-2
π)=sin )42(π-x 的图象，最后将y=sin )42(π
-x 的图象上所有点的纵坐标伸长到
原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin )4
2
1
(π
-x 的图象.
（3）周期T=
ω
π
2=
2
12π
=4π，振幅A=3，初相是-4π. (4)令4
2
1π
-
x =
2
π
+k π(k ∈Z ), 得x=2k π+2
3
π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令
21x-4π=k π(k ∈Z )得x=2
π
+2k π(k ∈Z ). 对称中心为)0,2
2(π
π+k (k ∈Z ).
变式训练2：已知函数2
3
cos sin 3)(2+-=x x xcox x f ϖϖϖ ),(R x R ∈∈ϖ的最小正周期为π且图象关于6
π
=
x 对称；
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若函数y ＝1－f(x)的图象与直线y ＝a 在]2
,0[π
上中有一个交点，求实数a 的范围．
解：（1）2
3
22cos 12sin 23)(++-=
wx wx x f 12cos 2
1
2sin 23+-=
wx wx 1)6
2sin(+-
=π
wx
∵w ∈R 122±=∴==
∴w w
T ππ
当w ＝1时，1)6
2sin()(+-=πx x f 此时6
π
=
x 不是它的对称轴
∴w ＝－1 )6
2sin(11)6
2sin()(π
π+-=+--=∴x x x f
（2）)6
2sin()(1π
+=-=x x f y
6
76
26
2
0ππ
π
π
≤
+
≤∴
≤
≤x x 如图：∵直线y ＝a 在]
,0[π
上与y ＝1－f(x)图象只有一个交点 ∴21
21
<≤-a 或a ＝1
例3．如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点， 则A=-3，T=2)3
65(
π
π-=π， ∴ω=2，此时解析式为y=-3sin （2x+ϕ）. ∵点N )0,6
(π
-，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3
π
， 所求解析式为y=-3sin )3
2(π
+x . ①
方法二 由图象知A=3， 以M )0,3
(π
为第一个零点，P )0,6
5(
π
为第二个零点. 列方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=+πϕπωϕπ
ω65·03· 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω. ∴所求解析式为y=3sin )3
22(π
-
x . ② 变式训练3：函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜
2
π
,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为( )
A. y=-4sin )4
8
(ππ-x B. y=-4sin )4
8
(π
π+x
C. y=4sin )4
8
(ππ-x D. y=4sin )4
8
(π
π+x
答案 B
例4．设关于x 的方程cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1在[0，2
π
]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k 的取值范围． 解：由cos2x ＋
3
sin2x ＝k ＋1得 2sin(2x ＋6
π)＝k ＋1
即sin(2x ＋6
π)＝2
1+k
设c: y ＝sin(2x ＋6
π)，l: y ＝2
1+k ，在同一坐标系中作出它们的图象(略)
由图易知当2
12
1+≤k ＜1时, 即0≤k ＜1时
直线l 与曲线c 有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可以看出α、β关于x ＝
6π对称.。

故α＋β＝3
π
变式训练4.已知函数f (x)＝sin(ωx ＋ϕ)(ω>0，0≤ϕ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M(4
3π，0)对称，且在区间[0，
2
π
]上是单调函数，求ϕ和ω的值． 解：由f (x)是偶函数，得f(－x)＝f (x)即sin(－ωx ＋ϕ)＝sin(ωx ＋ϕ) ∴－cos ϕsin ωx ＝cos ϕsin ωx 对任意x 都成立，且ω＞0， cos ϕ＝0 依题意设0≤ϕ≤π ∴ϕ＝2
π
由f(x)的图象关于点M 对称， 得f(4
3π－x)＝－f (4
3π＋x)
取x ＝0得f （4
3π）＝－f （4
3π） f (4
3π)＝0
∴f(4
3π)＝sin(
43ωπ＋2π)＝cos 4
3ωπ
＝0 又ω＞0得
4
3ωπ
＝2π＋kπ ω＝3
2
(2k ＋1) (k ＝0，1，2……)
当k ＝0时，ω＝3
2 f (x)＝sin(2
3
2π+x )在[0，2
π]上是减函数；
当k ＝1时，ω＝2 f (x)＝sin(2x ＋2
π)在[0，2
π]上是减函数；
当k ≥2时，ω≥
3
10
f (x)＝sin(ωx 2π+)在[0，2π]上不是减函数；
∴ω＝3
2或ω＝2
1．图象变换的两种途径 ⑴ 先相位变换后周期变换
y ＝sinx →y ＝sin(x ＋ϕ)→ y ＝sin(ωx ＋ϕ)
⑵ 先周期变换后相位变换
y ＝sinx →y ＝sinωx →y ＝sinω (x ＋ϕ)
2．给出图象求解析式y ＝Asin(ωx ＋ϕ)＋B 的难点在于ω、ϕ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：⑴ “五点法”运用“五点”中的一点确定．
⑵ 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→ω．
第8课时 三角函数的性质
1．2．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．
⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．
⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数． 例1. 化简f (x)＝cos(
x k 2316++π)＋cos(x k 2316--π)＋23sin(3
π
＋2x)(x ∈R ，k ∈Z)．并求f (x)的值域和最小正周期． 解：(1) f(x) ＝2sin(ax ＋
3
π
)(0＜a ＜1) 由于f(x)·g(x)最小正周期相同 得
a π2＝m
π
即a ＝2m 又f(1)＝2g(1) 即2sin(a ＋3
π)＝2tan(m ＋6π
)
把a ＝2m 代入得sin(2m ＋
3
π)＝tan(m ＋6π
)
∴2sin(m ＋6π)cos(m ＋6
π
)＝
)
6cos()6sin(π
π
++
m m ∴sin(m ＋
6π)＝0或cos(m ＋6π)＝±2
2 当sin(m ＋6π)＝0时，m ＝k π－6
π
(k≠z)，这与0＜m ＜1矛盾． 当cos(m ＋
6π)＝±2
2
时，m ＝k π＋12π或m ＝k π－π125(k ∈z)，现由0＜m ＜1时得m ＝12π
故a ＝
b
π ∴f(x)＝2sin(
6πx ＋3π)，g(x)＝tan(12πx ＋6π) (2) 由2k π－
2π≤6πx ＋3
π≤2k π＋2π得 x ∈[12k －5，12k ＋1]
∴f(x)的单调递增区间为[12k －5，12k ＋1] (k ∈z) 变式训练1：已知函数)12
(sin 2)6
2sin(3)(2π
π-
+-=x x x f )(R x ∈；
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求使函数f(x)取得最大值的x 的集合． 解：(1)1)12
(2cos )12
(2sin 3)(+-
--
=π
π
x x x f
＝1)12(2cos 21)12(2sin 232+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡---ππx x
＝1)32sin(216)12
(2sin 2+-=+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
-
π
ππ
x x ∴ππ
==
2
2T (2)当f(x)取最大值时，sin(2x －3
π
)＝1 有2x －
3π＝2k π＋2π 即x ＝k π＋12
5π
(k ∈z) 故所求x 的集合为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+=z k k x x ,125|ππ 例2已知函数f (x)＝
x
x
2cos 1sin 2+
⑴ 求f (x)的定义域．
⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．
⑶ 在[－π，π]上作出函数f (x)的图象．
⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1) 由1＋cos2x ＞0得2cos 2x ＞0 ∴cosx ≠0即x ≠kπ＋2
π，(k ∈z)
∴函数f (x)的定义域为{x ｜x ≠kπ＋2
π，k ∈z ｜}
(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x ， f (－x)＝
)(2cos 1sin 2)
2cos(1)sin(2x f x
x x x -=+-=
-+-
∴f (x)为奇函数.
(3) f (x)＝
x
x x
x cos sin cos 2sin 2=
又x ∈[－π，π]
且x ≠－2
,2
π
π
≠
x
∴f(x)＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤<-<≤--<<-)22(tan )22(tan ππππππx x x x x 或 f (x)的图象如右：
(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π． f (x)的单调递增区间是(π
πππ
k k 22
,
22++-)(k ∈z)
变式训练2：求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cosx);（2）y=x x cos sin -. 解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0. ∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.
方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-2π
+2k π＜x ＜2
π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM≤1,
∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k x k x ,2222|ππππ.
（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y=sinx 和y=cosx 的图象，如图所示.
在［0，2π］内，满足sinx=cosx 的x 为4π，4
5π
，再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
∈+≤
≤+Z k k x k x ,24524
|
ππππ
. 方法二 利用三角函数线，
如图MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM ， 则
4π≤x≤4
5π
（在［0，2π］内）. ∴定义域为。