高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型含详解

【精品】高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型_含详解
直线和圆锥曲线常考题型与经典结论
椭圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x0xy0yx2y2
?2?1. ??15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
(x,y)P0000a2ba2b2
x2y2
6. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切ab
xxyy点弦P1P2的直线方程是0
2?02?1. ab
x2y2
7. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点ab
??F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2tan. 2
x2y2
8. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：ab
|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和
A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y2
11. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则ab
b2
kOM?kAB??2，a
b2x0即KAB??2。

ay0
x2y2
?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab x0xy0yx02y02?2?2?2. a2bab
x2y2
??1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆a2b2 x2y2x0xy0y??2?2. a2b2ab
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴
为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：
P在左支）
x2y2
5. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程ab
xxyy是0
2?02?1. ab
x2y2
6. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切ab
xxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是0
2?02?1. ab
x2y2
7. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意ab
?2S?bcot一点?F，则双曲线的焦点角形的面积为. PF???F1PF2122
x2y2
8. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0) ab
当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶
点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y2
11. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为ABab
b2x0b2x0的中点，则KOM?KAB?2，即KAB?2。

ay0ay0
x2y2
12. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方ab
x0xy0yx02y02程是2?2?2?2. abab
x2y2
13. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程ab
x2y2x0xy0y是2?2?2?2. abab
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭圆
x2y2
1. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直ab
x2y2
线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1. ab
x2y2
2. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线ab
b2x0交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?2（常数）. ay0
x2y2
3. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ab
?PF1F2??, ?PF2F1??，则a?c???tancot. a?c22
x2y2
4. 设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上ab
任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e. sin??sin?a
x2y2
5. 若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0ab
＜e
1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y2
6. P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，ab
则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2
??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7. 椭圆22ab
A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
x2y2
8. 已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且ab
4a2b2111122??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最大值为22;OP?OQ.（1）
22a?b|OP||OQ|ab
a2b2
（3）S?OPQ的最小值是2. 2a?b
x2y2
9. 过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦ab
|PF|e?. MN的垂直平分线交x轴于P，则|MN|2
x2y2
10. 已知椭圆2?2?1（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平ab
a2?b2a2?b2
?x0?分线与x轴相交于点P(x0,0), 则?. aa
x2y2
11. 设P点是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点ab
2b2?2S?btan|PF||PF|?记?F，则(1).(2) . PF???PF1F2121221?cos?
x2y2
12. 设A、B是椭圆2?2?1（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，ab
?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
2ab2|cos?|2a2b2
2cot?. (1)|PA|?2.(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2b?a2a?c2cos2?
x2y2
13. 已知椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fab
的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直
线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
x2y2
1. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴ab
x2y2
平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
x2y2
2. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补ab
b2x0的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC??2（常数）. ay0
x2y2
3. 若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, ab
F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则c?a???taco（或c?a22
c?a???taco）. c?a22
x2y2
4. 设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）ab
为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有sin?c??e. ?(sin??sin?)a
x2y2
5. 若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，ab
则当1＜e
1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内ab
P和一定点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且
A,F2在y轴同侧时，等号成立.
x2y2
7. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条ab
22222件是Aa?Bb?C.
x2y2
8. 已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动ab
点，且OP?OQ.
4a2b2111122（1）;（3）S?OPQ??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2222b?a|OP||OQ|ab
a2b2
的最小值是2. 2b?a
x2y2
9. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于ab
|PF|e?. M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|MN|2
x2y2
10. 已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段
AB的ab
a2?b2a2?b2
垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0?或x0??. aa
x2y2
11. 设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2ab
2b2?2S?bcot|PF||PF|?为其焦点记?F，则(1).(2) .
PF???PF1F2121221?cos?
x2y2
12. 设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的ab
一点，?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离
2ab2|cos?|心率，则有(1)|PA|?2. |a?c2cos2?|
2a2b2
2cot?. (2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2b?a2
x2y2
13. 已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲ab
线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x
轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相
交，则相应交
点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连
线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦
半径之比为常
数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段
分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：
（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，
（2）联立直线和曲线的方程组；
（3）讨论类一元二次方程
（4）一元二次方程的判别式
（5）韦达定理，同类坐标变换
（6）同点纵横坐标变换
（7）x,y，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
1、中点坐标公式：x?
点坐标。

x1?x2y?y2,y?1，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中22
2、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB???
?
或者AB??
? 3、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1
??两条直线垂直，则直线所在的向量v1?v2?0
4、韦达定理：若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则
bcx1?x2??,x1x2?。

aa
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
x2y2
??1始终有交点，求m的取值范围例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:4m
思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），
和动点（0且m?4。

x2y2
??1过动
解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:4m x2y2
?1始终有交点，
则点（0且m?4，如果直线l:y?kx?1和椭圆C:?4m
?1，且m?4，即1?m且m?4。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
l:y?kx?1?过定点（01，）
l:y?k(x?1)?过定点（?1，0）
l:y?2?k(x?1)?过定点（?1，2）
证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。

练习：1、过点P(3,2) 和抛物线y?x2?3x?2 只有一个公共点的直线有（）条。

A．4 B．3 C．2 D．1
分析：作出抛物线y?x2?3x?2，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。

解：抛物线y?x2?3x?2 如图，点P（3，2）在抛物线的内部，
根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线
只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线y?x2?3x?2 只有一个公共点的直线有一条。

故选择D
规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。

（这里可以用公司的设备画图）
一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。

二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；
（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；
（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；
（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；
（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。

题型二：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，
用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y2?x交于A、B两点，在x 轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。

分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：y2?x相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。

由??y?k(x?1)消y整理，得2y?x?
k2x2?(2k2?1)x?k2?0 ①
由直线和抛物线交于两点，得
??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0 即0?k?21 ②4
2k2?1,x1x2?1。

由韦达定理，得：x1?x2??k2
2k2?11,)。

则线段AB的中点为(?2k22k
线段的垂直平分线方程为：
111?2k2
y???(x?) 2kk2k2
令y=0,得x0?1111?E(?,0) ，则222k22k2
??ABE为正三角形，?E(11?,0)。

到直线AB的距离d
22k2?AB?
?
2k
d?
?
解得k?此时x0? 5。

3
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：
k确定，进而求出x0的坐标。

x2
?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。

例题3、已知椭圆2
（Ⅰ）求过点O、F，并且与x??2相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段
AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。

解：(I) ∵a=2，b=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.
∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(-221上2113,t)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|= 222
由|OM|=r，得(?)?t
∴所求圆的方程为(x+1222?3，解得t=±2，21229)+(y±2)=. 24
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0, 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，x2
2代入+y=1，整理得2
(1+2k)x+4kx+2k-2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程一定有两个不等实根,
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，2222
4k2
, 则x1+x1=-2k2?1
12k2
x0?(x1?x2)??2, 22k?1
y0?k(x0?1)?k
2k?12
∴AB垂直平分线NG的方程为
1y?y0??(x?x0) k
令y=0，得
2k2k2
xC?x0?ky0??2? 2k?12k2?1
k211??2???2 2k?124k?2
∵k?0,??1?xc?0. 2
∴点G横坐标的取值范围为（?1,0）。

2
技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。

再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。

直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。

13x2y2
练习1：已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(1,)，且离心率e?。

22ab
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN 的垂直平分线过定点G(,0)，求k的取值范围。

1
8
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到a,b的关系式，再根据“过点(1,)”得到a,b的第2个关系式，解方程组，就可以解出a,b的值，确定椭圆方程。

第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出k,m的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点G(,0)，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得k,m的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。

3218 1b21322解：（Ⅰ）?离心率e?，?2?1??，即4b?3a（1）；2a44
又椭圆过点(1,)，则3
21922??1，（1）式代入上式，解得a?4，b?3，椭圆方程为22a4b
x2y2
??1。

43
（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，弦MN的中点A(x0,y0)
由??y?kx?m222得：(3?4k)x?8mkx?4m?12?0，22?3x?4y?12
?直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点，
???64m2k2?4(3?4k2)(4m2?12)?0，即m2?4k2?3??????（1）
8mk4m2?12,x1x2?由韦达定理得：x1?x2??，223?4k3?4k
4mk4mk23m,y?kx?m???m?则x0??，003?4k23?4k23?4k2
直线AG的斜率为：KAG3m224m，???32mk?3?4k2??3?4k28
24m3?4k2
?k??1，即m??由直线AG和直线MN垂直可得：，代入
（1）?32mk?3?4k28k
13?4k2
2)?4k2?3，即k2?
式，可得(，则k? k?208k老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：y?kx?m，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。

本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。

解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。

x2y2练习2、设F1、F2分别是椭圆??1的左右焦点．是否存在过点A(5,0)的直线l与椭54
圆交于不同的两点C、D，使得F2C?F2D？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
分析：由F2C?F2D得，点C、D关于过F2
的直线对称，由直线l过的定点A(5,0)不在
x2y2??1的内部，可以设直线l的方程为：54
y?k(x?5)，联立方程组，得一元二次方
程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，
由韦达定理得弦CD的中点M的坐标，由点
M和点F1的坐标，得斜率为?1，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。

k
解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。

设直线l的方程为：y?k(x?5),(k?0)，C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD的中点M(x0,y0)。

由??y?k(x?5)2222得：(4?5k)x?50kx?125k?20?0，22?4x?5y?20
又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，
则?=(50k2)2?4(4?5k2)(125k2?20)?0，即0?k2?1。

5
50k2125k2?20,x1x2?由韦达定理得：x1?x2?，4?5k24?5k2
x1?x225k225k2?20k25k2
?,y0?k(x0?5)?k(?5)?则x0?，M(，222224?5k4?5k4?5k4?5k
?20k)。

4?5k2
又点F2(1,0)，则直线MF2的斜率为kMF220k25k，??25k21?5k2
?124?5k?
5k2
??1，此方程无解，即k不存在，也就是不根据CD?MF2得：kMF2?k??1，即21?5k
存在满足条件的直线。

老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。

需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。

题型三：动弦过定点的问题
圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。

随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。

下面我们就通过几个考题领略一下其风采。

x2y2例题4、已知椭圆C：2?2?1(a?b?
0)的离心率为，且在x轴上的顶点分别为ab2
A1(-2,0),A2(2,0)。

（I）求椭圆的方程；
（II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。

动点P在直线l:x?t(t?2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：（I）由已知椭圆C
的离心率e?c，a?2,
则得c?b?1。

?a2
x2
?y2?1 从而椭圆的方程为4
（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的
斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，
由?y?k1(x?2)?22?x?4y?4消y整理得
(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0
??2和x1是方程的两个根，
16k12?4 ??2x1?1?4k12
4k12?8k12则x1?，，y?1221?4k11?4k1
2?8k124k1即点M的坐标为(,)，1?4k121?4k12
28k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?
4k2
?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
?k1?k22??，k1?k2t
y?y1y2?y1，?x?x1x2?x1?直线MN的方程为：
?令y=0，得x?4x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x? ty1?y2 又?t?2，?0?4?2 t
?
椭圆的焦点为
4??
t?
t3
故当t?时，MN过椭圆的焦点。

3
方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程
(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0的一个
2?8k12根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：x1?，21?4k1
再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：
y1?4k1；21?4k1
其实由??y?k2(x?2)222消y整理得(1?4kx)?1k6x?1k6?22222?x?4y?4?4，得0到22?4k216k2?48k2?2，即，很快。

y?2x2?x?222221?4k21?4k21?4k2 16k12?4不过如果看到：将?2x1?中的k1用k2换下来，x1前的系数2用－2换下来，21?4k1
28k2?2?4k2就得点N的坐标(,)，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样221?4k21?4k2
真容易出错，但这样减少计算量。

本题的关键是看到点P的双重身份：点P
即
在直线A1M上也在直线A2N上，进而得到k1?k2y?y1y2?y12由直线MN的方程??，?k1?k2tx?x1x2?x1得直线与x轴的交点，即横截距
x?4x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简易得x?，
ty1?y2
由4?
t?
，到此不要忘了考察t?是否满足t?2。

t另外：也可以直接设P(t，y0)，通过A1，A2的坐标写出直线PA1，PA2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M、N的坐标，再写出直线MN的方程。

再过点F，求出t值。

例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。

求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线l：y?kx?m 与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线l过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。

x2y2
解（I）由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0) ab
a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b2?3
x2y2
???1 43
（II）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由??y?kx?m得22?3x?4y?12
(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，
??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0
8mk4(m2?3)x1?x2??,x1?x2?（注意：这一步是同类坐标变换）
3?4k23?4k2
3(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?（注意：这一3?4k222
步叫同点纵、横坐标间的变换）
?以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kAD?kBD??1，
?y1y?2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，x1?2x2?2
3(m2?4k2)4(m2?3)16mk???4?0，2223?4k3?4k3?4k
7m2?16mk?4k2?0，解得
m1??2k,m2??2k22，且满足3?4k?m?0 7
当m??2k时，l:y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22时，l:y?k(x?)，直线过定点(,0) 777
2综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0). 7当m??名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为?1，建立等式。

直线不过定点，也不知道斜率，设出l：y?kx?m，是经常用的
一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。

练习：直线l：y?kx?m和抛物线y2?2px相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线l：y?kx?m过定点，并求定点的坐标。

分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OA?OB，若设
A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2?y1y2?0，再通过
y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?k2x1x2?mk(x1?x2)?m2，将条件转化为
(k?1)x1x2?mk(x1?x2)?m?0，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到x1x2，x1?x2，解出k、m的等式，就可以了。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?22?y?kx?m2得，（这里消x得到的）ky?2py?2mp?0，2?y?2px
则??4p2?8mkp?0??????（1）由韦达定理，得：y1?y2?2p2mp，y1y2?，kk
y1?my2?my1y2?m(y1?y2)?m2
?则x1x2?，2kkk
?以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OA?OB，即x1x2?y1y2?0，y1y2?m(y1?y2)?m2
?y1y2?0，则(1?k2)2mp?2pm?m2k?0，可得2k
即k22mp?m2k?0，又mk?0，则m??2kp，且使（1）成立，
此时l：y?kx?m?kx?2kp?k(x?2p)，直线恒过点(2p,0)。

名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。

本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。

其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。

下面我们就通过例题领略一下思维过程。

x2y2
例题6、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三点，其中点Aab
????????????????是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且AC?BC?0，BC?2AC，如图。

(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；
(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC
关于直线x?PQ的斜率。

????????解：(I) ?BC?2AC，且BC过椭圆的中心O
?????????OC?AC
?????????AC?BC?0
??ACO??
2
又?
?点C
的坐标为。

?
A是椭圆的右顶点，
?a?
x2y2
??1 12b2
将点
C代入方程，得b?4，2
x2y2
?1 ?椭圆E的方程为?124
(II)? 直线PC与直线QC
关于直线x?
?设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为?k，从而直线PC的方程为：
y?k(x，即
y?kx?k)，
??y?kx??k)由?2消y，整理得：
2??x?3y?12?0
(1?3k2)x2?(1?k)x?9k2?18k?
3?0?x?
9k2?18k?3?xP?
1?3k2
2即xP? 同理可得：
2 xQ?
?
yP?yQ?kxP??k)?kxQ?k)＝k(xP?xQ)?
22
xP?xQ? ?kPQ?yP?yQ1? xP?xQ3
1。

3则直线PQ的斜率为定值
方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC
关于直线x?互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k
(1?3k2)x2?(1?k)x?9k2?18k?3?0的根，易得点P的横坐标：
2，再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标：
xP?2，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。

xQ?接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。

直接计算yP?yQ、xP?xQ，就降低了计算量。

总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。

x2y2练习1、已知椭圆C：2?2?1(a?b?
0)x轴上的顶点分别为abA1(-2,0),A2(2,0)。

（I）求椭圆的方程；
（II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2
分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

解：（I）由已知椭圆C
的离心率e?c，a?2,
则得c?b?1。

?ax2
?y2?1 从而椭圆的方程为4
（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，?y?k1(x?2)?222由?x2消y整理得(1?4k)x?16kx?16k?4?0 1212??y?1?4
??2和x1是方程的两个根
16k12?4 ??2x1?21?4k1
4k12?8k12则x1?，，y?11?4k121?4k12
2?8k124k1即点M的坐标为(,) 221?4k11?
4k1
28k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2
?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
?k1?k22??，k1?k2t
y?y1y2?y1?，x?x1x2?x1?直线MN的方程为：
?令y=0，得x?4x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x? ty1?y2 又?t?2，?0?4?2 t
?
椭圆的焦点为。