高考数学人教版理科 定积分与微积分基本定理习题 含解析

课时作业18 定积分与微积分基本定理

一、选择题

1．定积分⎠⎛0

1(3x ＋e x )d x 的值为( D )

A ．e ＋1

B ．e

C ．e －1

2 D ．e ＋1

2

解析：⎠⎛

1(3x ＋e x )d x ＝⎝

⎛⎭

⎪⎫32x 2＋e x |10 ＝32＋e －1＝e ＋1

2.

2．若f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，

3，1<x ≤2，则⎠⎛2－1f (x )d x ＝( D )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛1

23d x ＝0＋3x|2

1＝6－3＝3.

3．已知a ＝2

－

1

3

，b ＝(2log 23

) －12 ，c ＝14⎠

⎛0

π

sin x d x ，则实数

a ，

b ，

c 的大小关系是( C )

A ．a >c >b

B ．b >a >c

C ．a >b >c

D ．c >b >a

解析：依题意得，a ＝2

－1

3

，b ＝3－12 ，c ＝－14cos x|π

0＝12

，所以a 6

＝2－2

＝14，b 6＝3－3＝127，c 6

＝(12)6＝164，则a >b >c .选C.

4．若⎠⎛0

1(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( B )

A ．－13

B ．－23

C ．－1

D ．－2

解析：由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m

2

＝0，解得m ＝

－2

3.

5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C )

A.10

3 B ．4

C.16

3 D ．6

解析：作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ，y ＝x －2

得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛0

4 [x －(x

－2)]d x ＝⎠⎛0

4 (x －x ＋2)d x

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x |40 ＝23×8－12×16＋2×4＝163.

6．抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是( C ) A.3

4 B ．1 C.43 D.54

解析：令－x 2＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝2，所以抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠

⎛0

2 (－x 2

＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|2

0＝

－83＋4＝4

3.故选C.

7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛0

1f (x )d x ，则⎠⎛0

1f (x )d x ＝( B )

A ．－1

B ．－13 C.13

D ．1

解析：设m ＝⎠⎛0

1f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，

⎠⎛0

1f (x )d x ＝⎠⎛0

1

(x 2

＋2m )d x ＝(13x 3

＋2mx )|10

＝13＋2m ＝m ，所以m ＝－1

3.故选B.

8．已知f (x )为偶函数且⎠⎛0

6f (x )d x ＝8，则⎠⎛-6

6f (x )d x 等于( D )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．16

解析：⎠⎛-6

6f (x )d x ＝⎠⎛-6

6f (x )d x ＋⎠⎛0

6f (x )d x ，

因为f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，

故⎠⎛-6

6f (x )d x ＝2⎠⎛0

6f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.

二、填空题

9．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠

⎛1

e f (x )d x ＝12e 2＋12.

解析：⎠⎛

1

e f (x )d x ＝⎠⎛1e ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋

1x d x ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝12e 2＋12. 10．一物体在力F (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

5，0≤x ≤2，

3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与

力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为36J.

解析：由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛

4F (x )d x ＝

⎠⎛0

25d x ＋⎠⎛2

4(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫32x 2＋4x

|4

2＝5×2＋⎣⎢⎡ 3

2

×42＋4×4－

⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)． 11．(2019·安徽二模)计算：⎠⎛

1(

2x －x 2

－x )d x ＝π－2

4.

解析：由定积分的几何意义知⎠⎛0

12x －x 2d x 是由y ＝2x －x 2与直

线x ＝0，x ＝1所围成的图形的面积，即是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的1

4，

故⎠⎛0

12x －x 2d x ＝π4，⎠⎛0

1 (－x )d x ＝－12x 210

＝－1

2，

∴⎠⎛0

1

(2x －x 2

－x )d x ＝π－2

4. 12．已知直线AB ：x ＋y －6＝0(A ，B 为直线与x 轴、y 轴的交点)与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自图形Ω的概率为1627.