2021-2022学年江西省吉安市高二上学期期末数学(理)试题试题(解析版)

2021-2022学年江西省吉安市高二上学期期末数学（理）试题
试题
一、单选题
1(10ay a R ++=∈且)0a ≠的倾斜角为（ ） A ．6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】C
【分析】由直线方程可知其斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】直线方程可化为：1
y a
=-，∴直线的斜率k =
∴直线的倾斜角为23
π. 故选：C.
2．已知函数()e
x x a
f x +=，若()01f '=-，则=a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】D
【分析】求出函数()f x 的导数，直接代入即可求值.
【详解】因为()e x x a f x +=，所以()()2e e 1e e x x x x
x a x a
f x -+--'==
， 所以()0
101e a
f -'==-，所以2a =. 故选：D.
3．下列说法中正确的是（ ） A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．棱台的所有侧棱延长后交于一点 C ．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D ．正棱锥的各条棱长都相等 【答案】B
【分析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥的结构特征依次判断选项即可. 【详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A 不正确； 棱台是由对应的棱锥截得的，B 正确；
不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C 不正确； 正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D 不正确. 故选：B.
4．观察下列各式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，…，则20213的个位数字是（ ） A ．3 B ．9 C ．7 D ．1
【答案】A
【分析】分析出3n 的个位数的周期为4，即可求解.
【详解】由题意可知，3n 的个位数从1n =开始，以3，9，7，1的顺序循环出现，周期为4.
因为202145051=⨯+， 所以20213的个位数字是3. 故选：A.
5．将一个表面积为2484cm π的球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（ ） A ．3121cm B ．3484cm C ．310648cm D ．31331cm
【答案】C
【分析】求出球的半径，要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，从而可得出答案.
【详解】解：设球的半径为R ，则24484S R ππ==，得11R =，故该球的半径为11cm ， 若要使这个正方形盒子的体积最小，则这个正方体正好是该球的外切正方体，所以正方体的棱长等于球的直径，即22cm ，所以这个正方体盒子的最小体积为33min 2210648cm V ==.
故选：C.
6．已知在平面内，12,F F 是两个定点，M 是一个动点，则“12MF MF +为定值”是“点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用椭圆的定义及充分条件、必要条件的定义即得.
【详解】若1212MF MF F F +>，则点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，若
1212MF MF F F +=，则点M 的轨迹是线段12F F ，
所以由“12MF MF +为定值”不一定得到“点M 的轨迹是椭圆”，反之，若“点M 的轨迹是椭圆”，则一定能得到“12MF MF +为定值”．
所以“12MF MF +为定值”是“点M 的轨迹是椭圆”的必要不充分条件． 故选：B ．
7．双曲线1C ：()2214994x y t t t -=<<--与双曲线2C ：()22
111161611
y x
m m m -=<<--的
（ ） A ．实轴长相等 B ．焦点坐标相同 C ．焦距相等 D ．离心率相等
【答案】C
【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定.
【详解】设双曲线12,C C 的实半轴，虚半轴，半焦距分别为(),,1,2i i i a b c i =. 由双曲线12,C C
的方程可得：12a a ==
12b b 双曲线12,C C
的实轴长分别是
与参数t 和m 有关，所以实轴长不一定相等，故A 错误；
因为双曲线1C 的焦点在x 轴上，双曲线2C 的焦点在y 轴上，所以焦点坐标不同，故B 错误；
因为()()()()22
12945,16115c t t c m m =-+-==-+-=，∴12,c c =∴1222c c =，即两个双
曲线的焦距相等，故C 正确； 因为离心率1
11
c e a =，222c e a =，12c c =，12,a a 不一定相等，故离心率不一定相等，故D
错误. 故选：C.
8．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 为MN 上一点，且
2
3
MG MN =
，若OA a =，OB b =，OC c =，则OG =（ ）
A ．111333
a b c ++
B ．111336
a b c ++ C ．111363
a b c ++
D ．111
633
a b c ++
【答案】D
【分析】依题意可知1
2OM OA =，()
12ON OB OC =+，23
MG MN =，然后根据
OG OM MG =+，代入计算即可.
【详解】因为M ，N 分别是OA ，BC 的中点， 所以1
2
OM OA =，()
12ON OB OC =+.
因为2
3
MG MN =
， 所以()
22
33
OG OM MG OM MN OM ON OM =+=+=+- OG 1211123222OA OB OC OA ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
OG 111111633633
OA OB OC a b c =
++=++. 故选：D .
9．已知椭圆C ：22
1169
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，
1m PF =，2n PF =，则14
m n
+的最小值为（ ）
A ．98
B ．54
C 2037
- D 2037
+ 【答案】A
【分析】由椭圆的定义可得8m n +=；
利用基本不等式，若0a b >， ，则2a b ab +≥a b =时取等号. 【详解】根据椭圆的定义可知，1228a PF PF +==，即8m n +=，
因为40m ≥>，40n ≥，
所以
()141141419558888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当8
3
m =，16
3
n =时等号成立. 故选：A
10．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，准线l 上有两点A ，B ，若FAB 为等
腰直角三角形且面积为8，则抛物线C 的标准方程是（ ）
A ．2y =
B ．28y x =
C ．2y =或28y x =
D ．24y x =
【答案】C 【分析】分2
AFB π
∠=或2
FAB π
∠=
（2
FBA π
∠=
）两种情况讨论，由面积列方程即可
求解
【详解】由题意得，当2AFB π
∠=时，1
282
AFB S p p =⨯⨯=△，解得p =； 当2
FAB π
∠=
或2
FBA π
∠=
时，2
182
AFB S p =
=△，解得4p =，所以抛物线的方程是
2y =或28y x =.
故选：C.
11．已知圆C 的方程为()2
214x y -+=，直线l ：()()321210t x t y t -+-+-=恒过定点A ，
若一条光线从点A 射出，经直线50x y --=上一点M 反射后到达圆C 上的一点N ，则
AM MN +的最小值是（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【分析】求得定点A ，然后得到关于直线50x y --=的对称点为B ，然后可得
AM MN BM MN BN BC r +=+≥≥-，计算即可.
【详解】直线l 可化为
()31220x y t x y -----=，令310,
220,x y x y --=⎧⎨--=⎩ 解得1,4,x y =-⎧⎨=-⎩
所以点A 的坐标为()1,4--.
设点()1,4A --关于直线50x y --=的对称点为(),B a b ，
则由4
11
14502
2b a a b +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪--=⎪⎩,解得1,6,a b =⎧⎨
=-⎩,所以点B 坐标为()1,6-. 由线段垂直平分线的性质可知，AM BM =， 所以624AM MN BM MN BN BC r +=+≥≥-=-= （当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时等号成立）， 所以AM MN +的最小值为4. 故选:B.
12．已知双曲线C ：()22
22101
x y a a a -=>+的右焦点为F ，过点F 作直线l 与C 交于A ，
B 两点，若满足5AB =的直线l 有且仅有1条，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A
B ．32
C
D ．3
2
【答案】A
【分析】依题可知直线l 的斜率为0或斜率不存在，然后分类讨论，计算a ，并进行验证，最后可得结果.
【详解】若直线l 的斜率存在且不为0，根据双曲线的对称性，
此时满足5AB =的直线l 的个数为偶数，所以直线l 的斜率为0或斜率不存在. 当直线l 的斜率为0时，A ，B 为双曲线的左､右顶点，
由25AB a ==，得双曲线C 的方程为：22
1
252944
x y -=，
易得，过点F 的通径长为
29
22945
55
2
⨯
=>，满足条件， 此时双曲线C
的离心率2
e =
=； 当直线l 的斜率不存在时，此时AB 为双曲线过点F 的通径， 则()2215a AB a
+==，解得1
2
a =
或2a =， 当1
2
a =
时，实轴长为1，因为15，所以满足5AB =的直线有3条；
当2a =时，实轴长为4，因为45，所以满足5AB =的直线也有3条.
综.上所述，双曲线C 的离心率为36
5
. 故选:A. 二、填空题
13．命题“x ∀∈R ，sin 10x +≥”的否定是____________. 【答案】0x ∃∈R ，0sin 10x +<
【分析】根据全称命题量词的否定即可得出结果.
【详解】命题“sin 10x x ∀∈+≥R ”的否定是“0x ∃∈R ，0sin 10x +<” 故答案为：00sin 10x R x ∃∈+<，
14．若倾斜角为α的直线m 被直线1l ：1x y +-与2l ：30x y +-=所截得的线段长为2，则α=____________. 【答案】
4
π
45︒ 【分析】由已知直线可得两直线平行，可以计算平行线间的距离，从而得到直线m 与已知直线垂直，再计算斜率和倾斜角.
【详解】设直线m 与直线1l ，2l 分别相交于A ，B 两点，由题意知，平行直线1l 与直线2l 之间的距离1322
d AB -+=
==，所以直线m 与直线1l ，2l 垂直，所以直线m 的斜率
为1，倾斜角4
πα=. 故答案为：
4
π 15．如图所示，二面角l αβ--为30，A α∈，D β∈，过点A 作AB l ⊥，垂足为B ，
过点D 作CD l ⊥，垂足为C ，若3AB =，1BC =，1CD =，则AD 的长度为___________.
2【分析】根据向量线性运算可知AD AB BC CD ，结合向量数量积的运算律可求得2
AD ，由此可得AD 长.
【详解】
AB BC ⊥，BC CD ⊥，AD AB BC CD ，
2
2
2
2
2311231cos1502AD AB BC CD AB CD =+++⋅=+++⋅⋅⋅=∴， 2AD ∴=.
故答案为：2.
16．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于A ，
B 两点（点B 在第一象限），与准线l 交于点P .若1
2
AF FB =
，AP AF λ=，则λ=____________.
【答案】3-
【分析】过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，过点B 作BB l '⊥，垂足为B '，然后根据抛物线的定义和三角形相似的关系可求得结果
【详解】过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，过点B 作BB l '⊥，垂足为B '， 由抛物线的定义可知AA AF '=，BB BF '=， 不妨设AF x =，因为1
2
AF FB =
，所以2FB x =， 因为PAA '△∽PBB '△，所以
||1
||2
PA AA AF PB BB BF '==='， 即
1
32
PA PA PA AB PA x ==++，所以3PA x =， 所以
33PA x
AF x
==， 因为AP 与AF 反向，所以3λ=-. 故答案为：3-
三、解答题
17．（1）已知p ：函数()2
1f x x ax =-+有零点；q ：所有的非负整数都是自然数.若p q
∧
为假，求实数a 的取值范围；
（2）已知p ：228x x >+；q ：()()10x m x m ---<.若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()2,2-；（2）(][),34,-∞-⋃+∞.
【分析】(1)易知q 为真命题，根据且命题的真假可知p 为假命题，结合函数零点与对应方程的根之间的关系得出240a -<，解不等式即可；
(2)根据一元二次不等式的解法可得p 和q ，结合必要不充分条件的概念可得 (,1)
(,2)(4,)m m +-∞-⋃+∞，利用集合与集合之间的关系即可得出答案.
【详解】解：（1）对于q ：所有的非负整数都是自然数，显然正确. 因为p q ∧为假，所以p 为假.
所以“函数()2
1f x x ax =-+没有零点”为真，
所以240a -<，解得22a -<<. 所以实数a 的取值范围是()2,2-.
（2）对于p ：2280x x -->，解得2x <-或4x >. 对于q ，不等式的解集为(),1m m +， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以(,1)
(,2)(4,)m m +-∞-⋃+∞
所以12m +≤-或4m ≥， 所以3m ≤-或4m ≥，
所以实数m 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.
18．（1）求与直线1
12
y x =-+垂直，且与曲线ln y x =相切的直线方程；
（2）求过原点，且与曲线x y e =相切的直线方程. 【答案】（1）2ln 210x y ---=；（2）e 0x y -=.
【分析】（1）先求出切线的斜率为2得到切点坐标为1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭
，即可求出切线方程；
（2）设切点坐标为()
00,e x
x ，得到切线方程，由切线过原点，求出01x =，即可求出切
线方程.
【详解】（1）因为所求的切线与直线1
12
y x =-+垂直，
故所求切线的斜率为2.
因为ln y x =所以1y x
'=， 令
12x =得12x =，所以切点坐标为1,ln 22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
故所求切线方程为1ln 222y x ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，即2ln 210x y ---=.
（2）设切点坐标为()
00,e x
x ，
因为e x y =，所以e x y '=， 所以切线的斜率0e x k =，
故所求切线方程为()000e e x x
y x x -=-.
因为切线过原点，所以000e e x x
x -=-，
所以01x =，
所以切线方程为()e e 1y x -=-，即e 0x y -=.
19．已知圆C ：2220x y x my +-+=和圆外一点()4,3P ，过点P 作圆C 的切线，切线长
.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)若圆M ：()2
228x y ++=，求证：圆C 和圆M 相交，并求出两圆的公共弦长. 【答案】(1)()()2
2112x y -+-=
(2) 【分析】（1）根据切线长公式计算即可得到2m =-，然后代入可得圆的方程.
（2）联立两圆的方程作差可得直线AB 的方程为320x y +-=，然后利用圆的弦长公式计算即可. (1)
圆C 的标准方程为()2
2
2
1124m m x y ⎛
⎫-++=+ ⎪⎝⎭
，
所以圆心为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =
由勾股定理可得()2
2
2
2
413124m m ⎛
⎫-++=+
+ ⎪⎝⎭
，
解得2m =-.
所以圆C 的标准方程为()()2
2
112x y -+-=.
(2)
由题意得圆C 的圆心()1,1C ，半径1r ，圆M 的圆心()0,2M -，半径2r =
因为CM =2112r r CM r r -<<+，所以圆C 和圆M 相交.
设两圆相交于A ，B 两点，则两圆的方程相减得直线AB 的方程为320x y +-=，
圆心C 到直线AB 的距离d =
所以AB =. 20．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点E 在椭圆C 上，且112EF F F ⊥，143EF =，2143
EF =. (1)求椭圆C 的方程： (2)直线l 过点()2,1P -，交椭圆C 于点A ，B ，且点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.
【答案】(1)22
194
x y += (2)89250x y -+=
【分析】（1）根据椭圆的定义可求出a ，由112EF F F ⊥结合勾股定理可求出c ，最后根据,,a b c 的关系求出b ，即可求出椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆联立，利用中点的关系求出k 即可.
(1)
∵点E 在椭圆C 上， ∴124142633
a EF EF =+=+=，即3a =.
在12Rt EF F 中，12F F ==
∴椭圆C 的半焦距c =
∵2b =，
∴椭圆C 的方程为22
194
x y +=. (2)
设()11,A x y ，()22,B x y ，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.
从而可设过点()2,1P -的直线l 的方程为()21y k x =++，
将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，得()()22224936183636270k
x k k x k k +++++-=， 则2122361849k k x x k ++=+. ∵P 为线段AB 的中点，
∴21221892249x x k k k
++=-=-+，解得89k =. 故直线l 的方程为()8219
y x =++， 即89250x y -+=（经检验，所求直线方程符合题意）.
21．如图，AC 是圆O 的直径，B 是圆O 上异于A ，C 的一点，PA ⊥平面ABC ，点E 在棱PB 上，且AE PB ⊥，45PCA ∠=︒，4AC =.
(1)求证：AE PC ⊥；
(2)当三棱锥P ABC -的体积最大时，求二面角E AC B --的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
2【分析】（1）由圆的性质可得AB BC ⊥，再由线面垂直的性质可得PA BC ⊥，从而由线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面P AB ，所以得BC AE ⊥，再结合已知条件可得AE ⊥平面PBC ，由线面垂直的性质可得结论；
（2）由已知条件结合基本不等式可得当三棱锥P ABC -的体积最大时，ABC 是等腰直角三角形，OB AC ⊥，从而以OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且垂直于圆O 平面的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
(1)
证明：因为AC 是圆O 的直径，点B 是圆O 上不与A ，C 重合的一个动点， 所以AB BC ⊥.
因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以PA BC ⊥.
因为AB PA A ⋂=，且AB ，PA ⊂平面P AB ，
所以BC ⊥平面P AB .
因为AE ⊂平面P AB ，
所以BC AE ⊥.
因为AE PB ⊥，BC
PB B =，且BC ，PB ⊂平面PBC ，
所以AE ⊥平面PBC .
因为PC ⊂平面PBC ，
所以AE PC ⊥.
(2)
解：因为45PCA ∠=︒，4AC =，所以4PA =，所以三棱锥的体积
22212216332333ABC AB BC AC V S PA AB BC +=⋅⋅=⨯⨯≤⨯==△，（当且仅当“AB BC =”时等号成立）.
所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，ABC 是等腰直角三角形，OB AC ⊥.
所以以OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且垂直于圆O 平面的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,2,4P -. 因为BAE ∽BPA △，所以
BA BE BP BA =
，因为BA ==
BP =
213
BA BE BP BP ===， 所以()()114442,2,02,2,4,,33333AE AB BE AB BP ⎛⎫=+=+=+--= ⎪⎝⎭
， ()0,4,0AC =.
设向量(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即4440,33340.
x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ 令1x =得，()1,0,1n =-.
向量()0,0,1m =为平面ABC
的一个法向量，1cos ,2
m n m n m n ⋅-=
==
因为二面角E AC B --是锐角，
所以二面角E AC B --
22．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()4,0F 的距离比到直线60x +=的距离小2.
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)记动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线1与曲线C 交于A ，B 两点，点M 是x 轴上异于点F 的一点，点F 到直线AM 的距离为1d ，点F 到直线BM 的距离为2d .是否存在一点M 、使得12d d =恒成立?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)216y x =
(2)存在，M 的坐标为()4,0-
【分析】(1)根据动点P 到点()4,0F 的距离与它到直线4x =-的距离相等和抛物线的定
义可知点P 的轨迹是以()4,0F 为焦点，以直线4x =-为准线的抛物线，进而得出结果；
(2)设直线l 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程并消x 得出关于y 的一元二次方程，利用韦达定理表示出12y y +和12y y ，假设存在点()(),04M t t ≠满足题意，则0AM BM k k +=，利用两点坐标求出斜率，化简计算即可.
(1)
因为动点P 到点()4,0F 的距离比到直线60x +=的距离小2，
所以动点P 到点()4,0F 的距离和它到直线4x =-的距离相等，
所以点P 的轨迹是以()4,0F 为焦点，以直线4x =-为准线的抛物线.
设抛物线方程为()220y px p =>，由42
p =，得8p =. 所以动点P 的轨迹方程为216y x =.
(2)
由题意可知，直线l 的斜率不为0. 故设直线l 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立216,4,
y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， 22562560m =+>恒成立.
由韦达定理，得1216y y m +=，1264y y =-. 假设存在一点()(),04M t t ≠，满足题意， 则射线MF 平分AMB ∠，
则直线AM 的斜率AM k 与直线BM 的斜率BM k 满足0AM BM k k +=， 即()()()()1221121212440y my t y my t y y x t x t x t x t +-++-+==----. 所以()()1212240my y t y y +-+=， 所以()1281640m m t -+-=，即()40m t --=. 因为()40m t --=对任意m 恒成立， 所以40t --=，即4t =-.
所以存在一点M ，满足12d d =，点M 的坐标为()4,0-.。