双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起

双曲线离心率如何求
从一道高考真题谈起
ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远
求双曲线的离心率,
是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂
题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)
已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,
点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2
A ң=-23
F 2B ң
,
则双曲线C 的离心率为
㊂
分析:方法1:利用双曲线的定义与向量
数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|
,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到
a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向
量坐标运算求得x 0=
53c ,y 0=-23
t ,t 2
=4c 2
,
将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解
㊂图1
解析:(方法1)依题意,
如图1,设|A F 2|=2m ,
则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1
中,9m 2+(2a +2m )2
=
25m 2
,则(a +3m )(a -m )
=0,故a =m 或a =-3m
(舍去)
㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂
故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =4
5
㊂
所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=
16a 2
+4a 2
-4c 2
2ˑ4a ˑ2a
=45,整理得5c 2=9a 2
㊂故e =c a =
355
㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,
0),令A (x 0,y 0)
,B (0,t )㊂因为F 2A
ң=-23
F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)
=-
23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-2
3
t ㊂又F 1A ңʅF 1
B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-2
3
t
㊃(
c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂
又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49
t 2
b
2=
1,整理得25c 2
9a 2-4t 2
9b 2=1,即25c 2
9a 2-16c
2
9b
2=
1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2
,即
25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2
)
㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4
=0
㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2
=
9a 2或5c 2=a 2
㊂
又e >1
,所以e =355或e =5
5(舍去)㊂故e =35
5
㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,
从而得解㊂
从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂
变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0
,b >0
)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2
的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一
象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,
则双曲线E 的离心率为( )
㊂A.3 B .5
C .
132 D .15
2
分析:取线段A T 中点,
根据给定条件,结0
3 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月
合双曲线定义及勾股定理解答
㊂图2
解析:如图2,令双曲
线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点
M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y
2
=a 2
于T ,所以O T ʅF A ,
|F T |=|O F |2
-|O T |2
=c 2
-a 2
=
b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=
|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂
而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,
即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2
=(3b -
2a )2
,
整理得b a =32
㊂所以双曲线E 的离心率e =
c
a
=1+b 2
a
2=13
2,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双
曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,
来求a 与c 的关系式,
即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2
a 2-y 2
b
2=1(a >
0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为
坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,
则双曲线E 的离心率为
㊂
分析:根据给定条件,确定直角三角形的
直角顶点位置,建立方
程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂
图3
解析:әF 1M F 2为
直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂
若øF 1M F 2=90ʎ
,由O N ʅM F 1,得O N ʊ
M F 2,
则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂
于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,
如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,
x 2a 2-y 2b
2
=1,
得y 2
=b 4
a
2㊂
因此,|M F 2|=b 2
a ,|M F 1|=b
2
a +2a =
a 2
+c 2
a
㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1
|=25|M F 1|=
2(a 2+c 2)
5a
㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1|
|F 1F 2|
=
|O F 1||M F 1|,即a 2+c 2
5a c =a c a 2+c
2
,整理得a 2+c 2
=5
a c ㊂则e 2
-5e +1=0
,解得e =5+1
2
或e =
5-1
2
(舍去),所以双曲线E 的离心率为
5+1
2
㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键
是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂
变式3:双曲线C :x 2a 2-y
2
b 2=1(a >0,b >
),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,
则该双曲线的离心率e 为㊂
分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4
)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜
率存在,则两直线斜率之积等于-1
)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,
将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,
所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )
㊂1
3解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月
图4
设F (c ,0)
为双曲线右焦点,则k A F =
-b
c +2a ,k B F =
-b
c -2a
㊂因为A F ʅB F ,
所以k A F ㊃k B F =
-b c +2a ㊃-b
c -2a
=-1,整理得c 2
+b 2
=2a 2㊂①
易知c 2
=a 2
+b 2
㊂②
由①②,得b 2
a
2=1
2㊂
离心率e =1+
b
a
2
=62
㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)
根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2
a ,
b )㊂设F (
c ,0
)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=
(c +2a )2+b 2
,
|B F |=
(c -2a )2+b 2
㊂
因为A F ʅB F ,
所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2
+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2
㊂
整理得c 2+b 2=2a 2
㊂①
又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②
由①②,得b 2
a
2=1
2㊂
故离心率e =1+
b
a
2
=62
㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң
=(c -2a ,-b )
㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂
则(c -2a )(c +2a )+b 2
=0,整理得c 2
+b 2
=2a 2
㊂①
又双曲线中有c 2=a 2+b 2
㊂②
由①②,得b 2
a
2=1
2㊂
故离心率
e =1+
b
a
2
=
62
㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)
由方法2可得|A B |=22a ,
如图5,设图5
虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |
2
=2a ㊂
即c 2+b 2
=2
a ,c 2+
b 2=2a 2
㊂
后面过程与前三种
方法相同㊂
(方法5,转化为双曲线定义求解)图6
如图6,设虚轴端点
为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂
由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2
+
|B F |2
=8a 2
,得|A F |=
(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂
t a n øF A B =
|B F ||A F |=(3-1)a
(3+1)a
=2-3,
则t a nøF C B =t a n 2øF A B =3
3
,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ
㊂因为s i n øF C O =|O F |
|C F |
,所以s i n 60ʎ=
c
2a
,则e =
6
2㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个
焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活
性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂
方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常
见有两种方法:①求出a ,c ,
代入公式e =c
a ;②只需要根据条件得到关于a ,
b ,
c 的齐次
式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e
的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求
双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂
(责任编辑 徐利杰)
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3 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。