角平分线(1)(课件)八年级数学下册(北师大版)

随堂练习
6.如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． 求证：BD＝2CD.
证明：如图，过D作DE⊥AB于E ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90° ∴DE＝DC 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30° ∴BD＝2DE，∴BD＝2CD
随堂练习
7.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F.若△ABC的面积是36 cm2，AB＝10 cm，AC＝8 cm， 求DE的长.
2
2
等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
探究新知
核心知识点二： 角平分线的判定
想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这
个角的平分线上. 这个命题是真的吗？如果是假 的，怎么修改能成为真的呢？
探究新知
假命题。在角的外部，也存在到角两边距离相等的点，但是 这个点不在这个角的平分线上．
(2)OP是CD的垂直平分线.
随堂练习
证明：(1)∵OP平分∠AOB， ∴∠COP＝∠DOP ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°
又∵OP＝OP，
∴△OCP≌△ODP(AAS) ∴OC＝OD
随堂练习
(2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC＝PD ∴点P落在CD的垂直平分线上 ∵OC＝OD ∴点O落在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线
随堂练习
4.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E. 求证：AC＝BC. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB， BC⊥OA ∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90° 又∠ACE＝∠BCD ∴△ACE≌△BCD(ASA) ∴AC＝BC
随堂练习
5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90° 又∵BE＝CF ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ∴DE＝DF 又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
解：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝ 1 AD＝ 1×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角
猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.
注意： 点与点—两点之间的距离
B
点与线—垂线段 C
A
l
D
探究新知
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA,
PE丄OB,垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
段的垂直平分线上。
情境导入
3、什么是角平分线的定义？
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的
角，这条射线就叫这个角的角平分线. 4、角平分线的性质是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等
A POB源自探究新知核心知识点一： 角平分线的性质
观察视频中角 平分线上的点有 什么性质吗？
探究新知
新课标 北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明 1.4.1 角平分线（1）
学习目标
1. 能够证明角平分线的性质定理、判定定理及 其相关结论. 2. 角的平分线相关定理的推理证明及对知识的 综合应用.
情境导入
1.线段垂直平分线的性质？ 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
2.线段垂直平分线的判定定理？ 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
2.如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角 的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的 是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
随堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝____5____cm.
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归纳总结
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
O
(3)垂直距离.
定理的作用： 证明线段相等.
DA PC
EB
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例：如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F， DE＝DF，求DE的长.
探究新知
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝
1 2
AB·DE＋
1 2
AC·DF
∴36＝ 1 ×10·DE＋ 1 ×8·DE
2
2
∴DE＝4(cm)
随堂练习
8.如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足 分别为C，D. 求证：(1)OC＝OD；
∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE＝DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC.
随堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D， AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( B ) A．10 B．15 C．20 D．30
随堂练习
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角平分线的判定 一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
探究新知
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB， 垂足分别为D，E，且PD＝PE． 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°， ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB.
D
A
∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
O
1 2
PC
E 图1-22 B
探究新知
归纳总结 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE.
课堂小结
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上
性质 判定定理
点到这个角两边的距
离相等．
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距
离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离
相等的点，都应在角的平分线上．
谢谢~
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
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例：已知：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F， DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
探究新知
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
BDE＝CDF， DEB＝DFC， BE＝CF，
探究新知
归纳总结
角平分线的判定
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
探究新知
归纳总结 角平分线的判定所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.