集合论与图论第八章

1 1 1 (m (G ) (G )) (m (G ) (G )) (G )( m 1) 2 2 2
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8.1 顶点连通度和边连通度
若m≤(G),则
1 1 (m (G ) (G )) m(m 1) 2 2
这是不可能的,所以若(G)≤m,于是
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8.1 顶点连通度和边连通度
பைடு நூலகம்
定理8.1.2 对任何正整数a,b,c,0<a≤b≤c, 存在一个图G使得 (G)=a,(G)=b,(G)=c。
如果a=b=c,则图G=Ka+1就是所要求的图。
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8.1 顶点连通度和边连通度
如果a=b<c,则所要求的图G的图解如下:
…
Kc+1
…
Kc+1
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8.1 顶点连通度和边连通度
(1)、最小度数为b=c (2)、最小边连通度为b (3)、最小顶点连通度为a
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8.1 顶点连通度和边连通度
如果a<b<c,则所要的图G的图解如下
…
Kc+1
…
Kc+1
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8.1 顶点连通度和边连通度
引理8.1.1 设G=(V,E)是一个图且(G)>0, 则存在V的真子集A,使得G中联结A中的一个顶点 与V\A中一个顶点的边的总数恰为(G). [证]因为(G)>0,所以G中有(G)条边,把他 们去掉后得到一个恰有两个支的不连通图,令其中 一个支的顶点集为A,则A是V的一个真子集,由于 (G)>0, 那些被去掉的每一条边,其一个端点在A 中,另一个端点在V\A中,这些边当然为(G)条。
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8.1 顶点连通度和边连通度
由于(G)≥2,所以G无割点,从而G-vk-1是连 通图,于是,G-vk-1中有u到v的路S,u是W,Q,S的公 共顶点,设w是Ｓ上从u到v且在Q或W上的最后一个 顶点(见图8.1.2),不妨设w在Q上,则在G中就有含 u与v的圈:Q上的u与w间一段后接S上w与v间的那 段,然后是边vk-1v,最后是W.
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8.1 顶点连通度和边连通度
定义8.1.3 设G是一个图,如(G)≥n,则 称G是n-顶点边通图，简称n-连通；如果 (G)≥n,则称G是n-边连通的 定理8.1.5 设G=(V,E)是p个顶点的 图,p≥3,则G是2-连通的,当且仅当G的任两个 不同顶点在G的同一个圈上. 证充分性,设G的任两个不同顶点在G的一 个圈上,则G是没有割点的连通图,所以G是2连 通图.
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8.1 顶点连通度和边连通度
定理8.1.3 设G=(V,E)有p个顶点且 (G)≥[p/2],则(G)=(G). [证]因为(G)≥[p/2],所以G是连通的,由定 理8.1.1知(G)≤(G).于是只需证明(G)≤(G) 即可.由于G是连通的,所以(G)>0,由引理8.1.1, 存在V的真子集A使得G中联结A中的一个顶点与 V\A中的一个顶点的边恰有(G)条.设A=m,则G中 两个端点均属于A的边的条数至少为 1 (m (G ) (G )) 2 于是,假如(G)<(G),则
Q w u W Un-1 U
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8.1 顶点连通度和边连通度
定理8.1.6 图G=(V,E)是n边连通的充分必 要条件是不存在V的真子集A,使得G的联结A的一 个顶点与V\A的一个顶点的边的总数小于n [证]必要性,设G是n-边连通的,则(G)≥n， 如果存在V的真子集A,使得G的联结A的一个顶点 与V\A的一个顶点的总数j<n，则去掉这j条边便 得到一个不连通图,所以(G)≤j.这与(G)≥n 相矛盾.因此,V的这样的真子集A是不存在的.
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8.1 顶点连通度和边连通度
其次,证明对任何图G有(G)≤(G) 如果G是不连通的或平凡图,则显然有 (G)=(G)； 今设G是连通的且非平凡的,如果G有桥x, 则去掉x的某个端点就得到一个不连通图或平 凡图,从而(G)=1=(G)。 如果G没有桥,则 (G)≥2；于是从G中去掉某些(G)得到 一个不连通图，这时从G中去掉这(G)条边 的每一条的某个端点后,至少去掉了这(G) 条边，于是，产生了一个不连通图或平凡图， 从而(G)≤(G)。
3、如果a<b=c, 任意一个顶 点都与Ka的 Kb-a+1 任意一个顶 点相连,各顶 点度数为b
Ka
Kb-a+1
任意一个顶点 都与Ka的任意 一个顶点相连, 各顶点度数为b
各顶点度数为 a-1+2(b-a+1)=2b-a+1
Ka与每个Kb-a+1的 之间的边数为 a(b-a+1) 可证是大于b的。
**
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8.3 匹配、霍尔定理
定义8.3.1 设G=(V,E)是一个图,G的任 两条不相邻的边x与y称为互相独立的，G的边 集E的子集Y称为G的一个匹配,如果Y中任两条 边是互相独立的. 如Y是图G的一个匹配,则vV,v至多与Y 中的一条边关联.
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8.3 匹配、霍尔定理
定义8.3.2 图G的一个匹配Y称为G的最 大匹配,如果对G的任一匹配Y,恒有Y≤Y. 定义8.3.3 设G=(V,E)是一个偶图且 V=V1∪V2, xE,x是联结V1的一个顶点与V2的一 个顶点的边.如果存在G的一个匹配Y使 Y=min{V1,V2},则称Y是偶图G的完全匹配.
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8.1 顶点连通度和边连通度
证必要性,设G是二连通图,u和v是G的两个 不同顶点,施归纳法于u与v的距离d(u,v)来证 明u与v在一个圈上,当d(u,v)=1,由于(G)≥2, 所以uv不是桥．由定理7.3.3,边uv必在G的某 个圈上,所以u与v在G的某个圈上. 假设对d(u,v)<k的任意两个不同顶点u和 v,u与v必在G的某个圈上,今设d(u,v)=k,往证u 和v在G的某个圈上,考虑G中u与v间的一条长为 k的路P:uv1v2...vk-1v.显然d(u,vk-1)=k-1,由归 纳假设u与vk-1在G的某个圈上,于是u与vk-1间 有两条没胡内部公共顶点(即除u与vk-1外)的两 条路W,Q,
p p 1 m (G ) 1 [ ] 1 2 2 p 1 同理可证 V \ A p m 2 因此V p
所以,(G)≥(G),于是(G)=(G),
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8.1 顶点连通度和边连通度
定理8.1.4 设G是一个(p,q)图,则
1. 若q<p-1，则(G)=0 2. 若q≥p-1,则(G)≤[2q/p] [证] 1.若q<p-1,则G不连通,故(G)=0. 2.若q≥p-1,则G中所有顶点度之和为2q, 顶点的平均度数为[2q/p], 由定理８.1.1便得到(G)≤[2q/p],
图8.1.1
图8.1.2
图8.1.3
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8.1 顶点连通度和边连通度
不连通的图的顶点连通度为0; 有割点的图的连通度是1; 完全图Kp的连通度为p-1； K1的连通度为0。
图8.1.1
图8.1.2
图8.1.3
图8.1.4
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8.1 顶点连通度和边连通度
定义8.1.2 图G的边连通度=(G)是 为了使G产生不连通图或平凡图所需要从 G中去掉的最少边数。 于是(K1)=0,当p≥1时，(Kp)=p-1; 非平凡树的边连通度为1；有桥的图的边 连通度为1。
第八章：连通度和匹配
8.1 顶点连通度和边连通度 *8.2 门格尔定理
8.3 匹配、霍尔定理
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8.1 顶点连通度和边连通度
顶点连通度 树的连通度，有割点图的连通度， 无割点图的连通度。 边点连通度 树的连通度，有桥图的连通度， 无桥图的连通度。
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8.1 顶点连通度和边连通度
定义8.1.1 设G=(V,E)是一个无向 图,V的子集S称为分离图G，如果G-S是不连 通的，图G的顶点连通度=(G)是为了产生 一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的 最少顶点数目。 图G的“顶点连通度”，以后简称G的 “连通度”。
图8.1.1
图8.1.2
图8.1.3
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8.1 顶点连通度和边连通度
图的连通度、边连通度、最小度之 间有以下的关系： 定理8.1.1 对任一图G,有 (G)≤(G)≤(G)
图8.1.4
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8.1 顶点连通度和边连通度
[证] 先证(G)≤(G): 如果(G)=0,则G不连通,从而(G)=0,所以,这 时有(G)≤(G); (G)>0,不妨设degv=(G), 从G中去掉与v关联的(G)条边后,得到的图 中v是孤立顶点。 所以,这时(G)≤(G); 因此对任何图G有(G)≤(G)。
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8.1 顶点连通度和边连通度
定理8.1.6 图G=(V,E)是n边连通的充分必 要条件是不存在V的真子集A,使得G的联结A的 一个顶点与V\A的一个顶点的边的总数小于n
充分性,如果(G)<n，则由引理8.1.1,存 在V的真子集A,使得G的联结A的一个顶点与V\A 的一个顶点的总数为(G)<n.这与假设在存在V 的这样的真子集A相矛盾.所以(G)≥n.