函数中易混淆的几个问题解读

函数中易混淆的几个问题
李学武
函数不仅是高中数学的核心，而且是学习高等数学的基础。

同学们在学习中应注意理解有关概念的内涵，深入分析函数的基本性质。

本文就几个易混淆的概念举例说明，供大家参考。

一、定义域与值域
例1 函数)a x 2x lg(y 2++=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：因函数定义域为R ，必有不等式0a x 2x 2>++的解集为R ，故判别式△=4－4a<0，解得a>1，即),1(a +∞∈。

例2 函数)a x 2x lg(y 2++=的值域为R ，求实数a 的取值范围。

解：令a x 2x )x (t 2++=，则)x (t lg y =，所以必有)x (t 能取遍大于0的所有实数。

可知),0(+∞}a x 2x )x (t |)x (t {2++=⊆，从而a x 2x )x (t 2++=的判别式0a 44≥-=∆，解得1a ≤，即]1,(-∞∈。

二、自变量与参变量
例3 对于任意]4,0[x ∈，不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，求实数a 的取值范围。

解：原不等式转化为03a x )4a (x 2≥+--+，设其解集为A 。

对于任意]4,0[x ∈，不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，所以A ]4,0[⊆。

又--=+--+x )[1x (3a x )4a (x 2 )]a 3(-，即原不等式为0)]a 3(x )[1x (≥---。

①当1a 3>-，即2a <时，}a 3x 1x |x {A -≥≤=或。

②当1a 3=-，即a=2时，A=R 。

③当1a 3<-，即a>2时，}1x a 3x |x {A ≥-≤=或。

要使A ]4,0[⊆，显然有a=2。

综上知实数a 的取值范围是}2a |a {=。

例4 对于任意]4,0[a ∈，不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，求实数x 的取值范围。

解：不等式3a x 4ax x 2-+≥+恒成立，即03x 4x a )1x (2≥+-+-恒成立。

令3x 4x a )1x ()a (f 2+-+-=，对于任意]4,0[a ∈，要使0)a (f ≥恒成立，只需min )a (f ≥0即可。

故01x )4(f 03x 4x )0(f 22≥-=≥+-=且，解得3x 1x ≥-≤或或x=1。

因此实数x 的取值范围是}1{],3[)1,( +∞--∞。

点评：例4构造了函数f （a ），它可以是一次函数也可以为常数函数，不必进行讨论。

此题为a 变化时不等式恒成立问题，此时a 可以看作一个函数的自变量，把x 看作参变量，通过转换“身份”，使问题巧妙得到解决。

三、有意义与解集
例5 已知函数3ax )x (f -=的定义域为),3[+∞，求实数a 的取值范围。

解：因函数f （x ）的定义域为[3，)∞+，即不等式03ax ≥-的解集为[3，)∞+，有3ax ≥。

①当a=0时，∅∈x ，不合题意。

②当a<0时，a
3x ≤，不合题意。

③当a>0时，}a 3
x |x {≥是不等式03ax ≥-的解集，所以
3a 3=，即a=1为所求。

综上可知实数a 的取值范围是}1a |a {=。

例6 已知函数),3[x 3ax )x (f +∞∈-=在上有意义，求实数a 的取值范围。

解：由题意知),3[x 3ax )x (f +∞∈-=在上有意义，即不等式),3[x 03ax +∞∈≥-在上恒成立。

①当a>0时，不等式),3[a 3x +∞≥
在上恒成立，令x )x (g =，),3[x +∞∈，3)x (g min =，从而3a
3≤，所以1a ≥。

②当a=0时，显然不合题意。

③当a<0时，a 3x ≤
，令g （x ）=x ，),3[x +∞∈时没有最大值，不合题意。

综上可知实数a 的取值范围是[1，)∞+。

点评：函数在某个区间上有意义（即在此区间上不等式恒成立），此区间是此函数定义域的子集。

四、增区间与增函数
例7 函数),2[3ax x )x (g 2+∞+-=在上是增函数，求实数a 的取值范围。

解：函数3ax x )x (g 2+-=的对称轴为2a x =，只需22
a ≤，解得4a ≤，即]4,(a -∞∈。

例8 函数3ax x )x (g 2+-=的增区间是),2[+∞，求实数a 的取值范围。

解：函数3ax x )x (g 2+-=的增区间是),2[+∞，则恰有22
a =，可知a=4即为所求。

点评：函数在某区间上是增函数，则此区间是增区间的子集，增区间是指增函数对应的最大区间。

五、函数)]x (g [f y 1-=与函数)]x (g [f y =的反函数
例9 已知函数1x 3)x (f +=，求：（1）函数)1x (f 1+-；（2）)1x (f +的反函数。

解：（1）)1x (f 1+-的含义：由)x (f 1-，再求)1x (f 1+-。

因此解题目标为先求)x (f 1-。

设1x 3y +=，则31y x -=，即)R x (313)x (f 1∈-=-。

所以31)1x ()1x (f 1-+=+-3
x =。

（2）由1x 3)x (f +=，可得4x 31)1x (3)1x (f +=++=+，设y=3x+4，则34y x -=，即34x y -=。

故)1x (f +的反函数为)R x (3
4x y ∈-=。

点评：)1x (f +的反函数不能用)1x (f 1+-来表示，应注意区分)1x (f +的反函数和)1x (f 1+-两者的含义。

六、简单函数f （x ）与复合函数f[g （x ）]的定义域
例10 （1）已知函数f （x ）的定义域是[0，2]，求)2x 2(f -的定义域。

（2）已知函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，求f （x ）的定义域。

解：（1）因函数f （x ）的定义域是[0，2]，所以22x 20≤-≤，可得2x 1≤≤，即)2x 2(f -的定义域为[1，2]。

（2）由函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，可得2x 0≤≤，有22x 22≤-≤-，故f （x ）的定义域为[－2，2]。