函数对称性、周期性全解析康惠如
函数对称性和周期性的一些重要结论
函数对称性和周期性的一些重要结论1.函数的对称性函数的对称性可以分为自对称和互对称。
其中,自对称指函数图像关于某一条直线对称,互对称指两个函数图像关于某一条直线对称。
自对称的函数满足以下条件:满足f(x) = f(-x)的函数y = f(x)的图像关于y轴对称,对称轴为x = 0.满足f(a+x) = f(a-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
互对称的函数满足以下条件:满足f(x) = f(2a-x)或f(-x) = f(2a+x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = a对称。
满足f(a+x) = f(b-x)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
满足f(a+wx) = f(b-wx)的函数y = f(x)的图像关于直线x = (b-a)/(2w)对称。
满足f(a+x) + f(b-x) = c的函数y = f(x)的图像关于直线x = (a+b)/2对称。
2.函数的周期性函数的周期性指函数满足f(x+T) = f(x)的性质,其中T为函数的周期。
常见的函数周期有以下几种:周期为T的函数,其图像在横轴上每隔T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的函数,其图像在横轴上每隔2T个单位长度就会重复一次。
周期为2T的奇函数,其图像关于原点对称,即满足f(x+2T) = -f(x)。
周期为2T的偶函数,其图像关于y轴对称,即满足f(x+2T) = f(x)。
3.函数的一些结论周期为T的函数f(x)的平均值为f(x)在一个周期内的积分除以T。
两个周期为T的函数f(x)和g(x)满足f(x) + g(x) = c的解析式为f(x) = (c/2) + h(x),g(x) = (c/2) - h(x),其中h(x)为周期为T的函数。
如果y = f(x)和y = f(-x)的图像关于y轴对称,则f(x)为奇函数,其图像关于原点对称。
如果y = f(x)和y = f(-x) + b的图像关于y轴对称,则f(x)为奇函数,其图像关于原点上下平移b个单位。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性(归纳总结)一、函数对称性:1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)=f(a-x)==>f(x)关于x=a对称f(a+x)=f(b-x)==>f(x)关于x=(a+b)/2对称f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)关于点(a,0)对称f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)关于点(a,b)对称f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)关于点[(a+b)/2,c/2]对称y=f(x)与y=f(-x)关于x=0对称y=f(x)与y=-f(x)关于y=0对称y=f(x)与y=-f(-x)关于点(0,0)对称例1:证明函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x=(b-a)/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解。
证明:假设任意一点P(m,n)在函数y=f(a+x)上,令关于x=t的对称点Q(2tm,n),那么n=f(a+m)=f[b(2tm)] ∴b2t=a,==>t=(b-a)/2,即证得对称轴为x=(b-a)/2.例2:证明函数y=f(a-x)与y=f(xb)关于x=(a+b)/2对称。
证明:假设任意一点P(m,n)在函数y=f(a-x)上,令关于x=t的对称点Q(2tm,n),那么n=f(a-m)=f[(2tm)b] ∴2t-b=a,==>t=(a+b)/2,即证得对称轴为x=(a+b)/2.二、函数的周期性令a,b均不为零,若:1、函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
高三函数周期性和对称性知识点
高三函数周期性和对称性知识点在高三数学中,函数的周期性和对称性是一个重要的知识点。
了解和掌握函数的周期性和对称性可以帮助我们更加深入地理解和应用函数的性质。
本文将从周期函数、对称函数以及函数的应用等方面来介绍高三函数周期性和对称性的知识点。
一、周期函数周期函数是指在一定的区间内,函数的图像在某一特定规律下重复出现。
周期函数的特点是在一定的区间内有着相同的函数值。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
首先,我们来了解正弦函数和余弦函数。
正弦函数的图像是一条上下震荡的曲线,它的周期为2π。
也就是说,当自变量增加2π时,函数值会重新回到原来的值。
而余弦函数的图像也是一条上下震荡的曲线,它的周期也是2π。
正弦函数和余弦函数是非常常见的周期函数,在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
接下来,我们再来介绍一下正切函数。
正切函数的图像是一条摆动不定的曲线,它的周期为π。
也就是说,当自变量增加π时,函数值会重新回到原来的值。
正切函数相比于正弦函数和余弦函数而言,其周期要小一些。
二、对称函数对称函数是指函数的图像具有某种对称性质。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指函数的图像关于y轴对称。
也就是说,如果函数f(x)是一个偶函数,那么对于任意的x值,有f(-x) = f(x)成立。
一个简单的例子就是二次函数y = x^2,它的图像关于y轴对称。
奇函数是指函数的图像关于原点对称。
也就是说,如果函数f(x)是一个奇函数,那么对于任意的x值,有f(-x) = -f(x)成立。
一个简单的例子就是一次函数y = x,它的图像关于原点对称。
三、函数的应用周期性和对称性的函数在实际问题中有很广泛的应用。
例如,振动现象的描述常常使用正弦函数、余弦函数或正切函数。
另外,对称函数的特点也为问题的求解提供了方便。
以周期函数为例,我们来看一个具体的应用。
假设有一个正弦函数表示一个物体的振动情况,我们希望求出物体完成一次振动的时间。
函数对称性与周期性关系的理解
函数对称性与周期性关系的理解引言在数学中,函数对称性与周期性是两个重要的概念。
函数的对称性描述了函数在特定条件下的变化规律,而周期性则指的是函数具有重复出现的特性。
本文将探讨函数对称性与周期性的概念及其在数学中的应用。
函数对称性函数对称性是指函数在某种操作下保持不变的特性。
常见的函数对称性有轴对称、中心对称和原点对称等。
轴对称轴对称是指函数关于某个直线对称。
也就是说,如果把函数图像沿某个垂直于x轴的直线折叠,两侧的图像完全重合。
在数学中,轴对称可以通过函数的方程来描述,方程中的x的取值与f(x)的取值满足关系。
中心对称中心对称是指函数关于某个点对称。
也就是说,如果把函数图像绕某个点旋转180度,图像完全重合。
中心对称的函数通常可以通过某个点为中心的规律来表示。
原点对称原点对称是指函数关于坐标原点对称。
也就是说,如果把函数图像绕坐标原点旋转180度,图像完全重合。
原点对称的函数满足特定的方程关系,通常可以通过函数的方程来描述。
函数周期性函数周期性是指函数在一定范围内具有重复出现的性质。
周期性的函数在某个间隔内的取值模式重复出现,这个间隔被称为函数的周期。
周期性函数在数学中有广泛的应用和研究。
函数的周期性可以通过函数的方程来描述,方程中的变量x和函数的取值f(x)之间存在周期性关系。
周期性函数常用来描述物理、生物等领域中具有循环特性的现象。
应用与总结函数对称性和周期性是数学中常见且重要的概念。
它们不仅用于描述函数的特性,还被广泛应用于建模、分析和解决实际问题。
了解函数对称性和周期性的概念,有助于我们更好地理解和应用数学知识。
通过对函数对称性和周期性的研究,我们可以更深入地了解函数的性质和变化规律,从而应用于解决实际问题。
同时,我们也能够更好地理解数学中其他相关概念和方法。
总而言之,掌握函数对称性和周期性的概念以及其在数学中的应用,将有助于我们在数学领域取得更好的成绩和应用数学知识解决实际问题的能力。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念,它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。
在本文中,我将详细介绍函数的周期性和对称性,并探讨它们在实际问题中的应用。
一、周期性周期性是指函数具有重复性质,在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。
如果存在一个正数T,使得对于任意的x,有f(x+T)=f(x),则称函数f具有周期T。
例如,正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。
无论x取何值,sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。
同样地,余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。
周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如,声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。
通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。
二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。
常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称:如果对于函数f(x),存在一个实数a,使得对于任意的x,有f(2a-x)=f(x),则称函数f具有轴对称。
例如,抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。
对于任意的x,有x^2=(-x)^2,即函数值关于y轴对称。
2. 中心对称:如果对于函数f(x),存在一个实数a,使得对于任意的x,有f(2a-x)=-f(x),则称函数f具有中心对称。
例如,奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。
对于任意的x,有sin(-x)=-sin(x),即函数值关于原点对称。
对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。
例如,通过分析图像的对称性,可以简化计算或者提取图像中的关键特征。
综上所述,函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。
周期性描述了函数重复规律的特性,对于模拟和分析周期性现象非常有用;而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质,对于建模和处理图像有重要应用。
通过理解和应用函数周期性和对称性,我们能更好地理解数学背后的规律,并将其用于实际问题的解决。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中,研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x),则称函数为偶函数;如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x),则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点:(1)关于y轴对称,即函数的图像关于y轴对称;(2)具有对称性质,即对于任意x,有f(x)=f(-x);(3)如果函数f(x)在定义域内可导,则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点:(1)关于原点对称,即函数的图像关于原点对称;(2)具有对称性质,即对于任意x,有f(x)=-f(-x);(3)如果函数f(x)在定义域内可导,则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称:如果函数f(x)满足f(x)=f(-x),则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称:如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称:如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x),则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数:如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x),其中T为正数,则称函数为周期函数,T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质:(1)在一个周期内,函数具有相同的性质和特点;(2)相邻两个周期之间的函数值关系相同;(3)周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中,我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数对称性周期性结论
函数对称性周期性结论
函数对称性周期性结论(Function Symmetry Periodicity Theorem)是指在数学函数理论中,一般情况下当函数的图像具有对称性时,该函数的周期性也同样成立。
这一定理适用于任何一个函数,无论它是可导数、可积分、在复平面上,甚至是复数函数。
换句话说,函数对称性周期性结论认为,如果一个函数具有左右对称性,或者其图像具有旋转对称性,那么该函数就是周期函数。
具体来说,此结论指出,若一函数f(x)具有左右对称性,即存在常数a 使得f(x + a) = f(-x + a),则f(x)必然具有周期性;若该函数具有旋转对称性,即存在常数b使得f(x + b) = f(b - x),则f(x)也必然具有周期性。
这一结论可以进一步引出反函数、导数和积分存在对称性的周期性结论。
换句话说,即假定某个函数f(x)具有左右对称性,或旋转对称性,它的反函数、导数和积分,一定也都有相应的周期性特征。
此外,函数对称性周期性结论还推导出另外一条重要结论,即具有左右对称性的函数,只要它的对称轴不穿越原点,它的导数和积分也能满足相应的对称性周期性结论。
函数对称性周期性结论的实际应用场景主要集中在图像处理、音频处理、信号处理等众多领域,用于检测和生成规律性的数学函数、复数函数的图像平面及其他特征。
总之,函数对称性周期性结论可以帮助我们将数学函数的对称性、周期性等定性特征进行定量分析,具有重要的理论意义和实际应用价值。
高考数学讲义微专题05函数的对称性与周期性(含详细解析)
微专题05 函数的对称性与周期性一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述:(1)f a x f a x f x 关于x a 轴对称(当a 0时,恰好就是偶函数)ab(2)f a x f b x f x 关于x 轴对称2在已知对称轴的情况下,构造形如f a x f b x 的等式只需注意两点,一是等式ab 两侧f 前面的符号相同,且括号内x 前面的符号相反;二是a, b的取值保证x 为所给2对称轴即可。
例如:f x 关于x 1 轴对称f x f 2 x ,或得到f 3 x f 1 x 均可,只是在求函数值方面,一侧是f x 更为方便(3)f x a 是偶函数,则f x a f x a ,进而可得到:f x 关于x a 轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在f x a 中,x 仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的x 取相反数时,函数值相等,即f x a f x a ,要与以下的命题区分:若f x 是偶函数,则f x a f x a :f x 是偶函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有f x a f x a②本结论也可通过图像变换来理解,f x a 是偶函数,则f x a 关于x 0 轴对称,而f x 可视为f x a 平移了a 个单位(方向由a的符号决定),所以f x 关于x a对称。
3、中心对称的等价描述:(1)f a x f a x f x 关于a,0 轴对称(当a 0时,恰好就是奇函数)ab(2)f a x f b x f x 关于 a b,0 轴对称2在已知对称中心的情况下,构造形如f a x f b x 的等式同样需注意两点,一是ab等式两侧f 和x 前面的符号均相反;二是a, b的取值保证x 为所给对称中心即可。
例2如:f x 关于1,0 中心对称f x f 2 x ,或得到f 3 x f 5 x 均可,同样在求函数值方面,一侧是fx 更为方便(3)f x a 是奇函数,则f x a f x a ,进而可得到:f x 关于a,0 轴对称。
函数对称性、周期性含奇偶性的规律总结计划大全.doc
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 -.换种说法: y f ( x) 与 y g( x) 若满足 f (x) g( 2a x) ,即它们关于x a 对称。
1、y f (x) 与 y 2a f ( x) 关于直线y a 对称。
换种说法: y f ( x) 与 y g( x) 若满足 f (x) g( x) 2a ,即它们关于y a 对称。
2、y f (x)与 y 2b f ( 2a x) 关于点(a,b)对称。
换种说法: y f ( x) 与 y g( x) 若满足 f (x) g( 2a x) 2b ,即它们关于点(a,b) 对称。
3、y f (a x) 与 y (x b) 关于直线 x a b对称。
24、函数的轴对称:定理1:如果函数y f x 满足 f a x f b x ,则函数 y f x 的图象关于直线x a b 对2 称.推论 1:如果函数y f x 满足 f a xf a x ,则函数 y f x 的图象关于直线x a 对称.推论 2:如果函数y f x 满足 f x f x ,则函数 y f x 的图象关于直线x 0(y轴)对称. 特别地,推论 2 就是偶函数的定义和性质 . 它是上述定理 1 的简化 .5、函数的点对称:定理2:如果函数y f x 满足 f a x f a x2b ,则函数 y f x 的图象关于点a, b 对称.推论 3:如果函数y f x 满足 f a x f a x0 ,则函数 y f x 的图象关于点a,0 对称.推论 4:如果函数yf x 满足 f x f x 0 ,则函数 y f x 的图象关于原点0,0 对称.特别地,推论 4 就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理 2 的简化 .三、总规律:定义在R上的函数y f x ,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。
四、试题1.已知定义为R 的函数 f x 满足 f x f x 4 ,且函数 f x 在区间2,上单调递增. 如果x1 2 x2,且 x1x2 4 ,则 f x1 f x2的值(A).A.恒小于0B.恒大于0C.可能为0D.可正可负.分析: f x f x 4 形似周期函数 f xf x 4 ,但事实上不是,不过我们可以取特殊值代入,通过适当描点作出它的图象来了解其性质. 或者,先用 x2 代替 x ,使 f x f x 4 变形为f 2 xf x 2 . 它的特征就是推论 3. 因此图象关于点 2,0 对称 . f x 在区间 2,上单调递增, 在区间,2 上也单调递增 . 我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.2 x 2 4 x 1 ,且函数在 2,上单调递增,所以f x 2 f 4 x 1 ,又由 f x f x 4 ,有f ( 4 x 1 ) f x 1 4 f x 1 4 4 f x 1 ,f x 1 f x 2 f x 1 f 4 x 1 f x 1 f x 1 0 . 选 A.当然,如果已经作出大致图象后,用特殊值代人也可猜想出答案为A.2:在 R 上定义的函数f ( x) 是偶函数,且 f ( x) f (2 x) . 若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,则 f ( x) ( B )A. 在区间 [2, 1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数B. 在区间 [2, 1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数C.在区间 [ 2, 1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数D.在区间 [2, 1]上是减函数,在区间[3, 4]上是增函数分析:由 f ( x)f (2 x) 可知 f ( x) 图象关于 x 1 对称,即推论 1的应用 . 又因为 f ( x) 为偶函数图象关于x 0 对称,可得到 f ( x) 为周期函数且最小正周期为 2,结合 f ( x) 在区间 [1,2] 上是减函数, 可得如右 f ( x) 草图 . 故选 B3. 定义在 R 上的函数f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期 . 若将方程 f ( x)0 在闭区间T, T 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(D )A.0B.1C.3D.5分析: f (T )f ( T ) 0 , f (T ) f (T) f (TT )f (T) ,2222∴ f (T ) f (T) 0 , n 可能 5, D.2 24.已知函数 f x 的 象关于直 x2和 x 4 都 称,且当 0x 1 , fxx . 求 f 19.5 的.分析:由推 1 可知, f x的 象关于直x 2 称,即 f2 x f 2 x,同 , fx 足 f 4 x f 4 x, 由上述的定理 3 知 fx是以 4 周期的函数 .f 19.5 f 4 4 3.5 f 3.5f 40.5f0.5 ,同 知f x是偶函数,所以f0.5f 0.50.5 .5. f xf 398 xf 2158 xf 3214 x , f, f 1 , f2,⋯, f999 中最多有(B)个不同的 .A.165B.177C.183D.199分析:由已知f x f 398 x f 2158 x f 3214 x f x 1056f x 1760 f x 704 f x 352 .又有 f x f 398 x f 2158 x f 3214 x f x 1056f 21581056 xf 1102 xf 1102 x 1056 f 46 x ,于是f (x) 有周期352,于是f 0 , f 1 , , f 999能在f 0 , f 1 , , f 351中找到 .又 f ( x) 的 像关于直 x 23称,故 些 可以在f 23 , f 24 , , f 351 中找到 . 又 f ( x) 的像关于直x 199 称,故 些 可以在 f 23 , f 24 , , f 199中找到 . 共有 177 个. B.6:已知fx1 x, f 1xf f x,f 2 xf f 1 x,⋯,f n 1 xf f n x,1 3xf 20042( A) .A. 1 1C. 3D.3B.7 75分析:由 f x1 x ,知f 1 xx 1, f 2 x fx 1x ,f 3 xf x .1 3x3x13x 1f ( x) 为迭代周期函数,故f3nxf x,f2004x f x,f20042f 21.7选 A.7:函数 f ( x) 在 R 上有定义,且满足 f (x) 是偶函数,且f 02005,g xf x 1 是奇函数,则f 2005 的值为.解 : g xf x 1g x f x 1 , f x 1 f x 1 , 令 y x 1 , 则fy f y2 ,即有 f x fx 20,令 a nf x ,则 a nan 20 ,其中 a 02005 ,a 10 , a n2005 i ni, f2005a 20052005i 2005in2005220 . 或有 f x f x 2 ,得 f 2005 f 2003 f 2001 f 1999f 10 .8.设函数f ( x)( xR) 为奇函数, f (1)1, f ( x2) f ( x)f (2), 则 f (5)( c)2A .0B . 1C .5D . 52分析:答案为 B 。
高中函数对称性和周期性全解析
高中函数对称性和周期性全解析一、单个函数的对称性性质1:函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时,函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
证明:在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ,则11()y f x =,点11(,)x y 关于直线 2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-,当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。
由于点11(,)x y 是图象上任意一点,因此,函数的图象关于直线2a b x +=对称。
(注:特别地,a =b =0时,该函数为偶函数。
)性质2:函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时,函数()y f x =的图象关于点(2a b +,2c )对称。
证明:在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ,则11()y f x =,点11(,)x y 关于点 (2a b +,2c )的对称点(1a b x +-,c -y 1),当1x a b x =+-时, 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点(1a b x +-,c -y 1)在函数()y f x =的图象上。
由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点(2a b +,2c )对称。
(注:当a =b =c =0时,函数为奇函数。
)性质3:函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称。
证明:在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ,则11()y f a x =+,点11(,)x y 关于直线2b a x -=对称点(1b a x --,y 1)。
如何快速解答抽象函数对称性与周期性问题
如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题?高考对抽象函数的考察中经常结合对称性与周期性一同考察,下面我们看看函数的对称性与周期性究竟有什么样的关系?若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称,也关于直线b x =对称,则)(x f 是以||2b a T -=为周期的周期函数证明:因为)(x f 的图象关于直线a x =对称,所以有)()(x a f x a f -=+即)()2(x f x a f -=+,同理)()2(x f x b f -=+。
所以有)2()2(x a f x b f +=+, 即有)22()(b a x f x f -+=所以函数)(x f 是以||2b a T -=为周期的周期函数.定理1:一般地我们有,若函数)(x f 满足对于任意的实数x 都有)()(x a f x a f -=+和)()(x b f x b f -=+都成立(其中b a ≠),即函数)(x f 的图象关于两条直线a x =和b x =都对称,则)(x f 是周期函数,且周期是||2a b T -=.。
同样的思路我们也可以得出:定理2:若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称,关于点)0,(m (其中m a ≠)中心对称,那么函数)(x f 是周期函数,且周期是||4m a T -=证明 因为)(x f 关于直线a x =对称所以有)()(x a f x a f -=+,即有:)2()(x a f x f -=又)(x f 关于点)0,(m 对称所以有式子)()(x m f x m f --=+成立,即有:)2()(x m f x f --=由上述两个式子得到:)2()2(x m f x a f --=-,即有:)22()(m a x f x f -+-= 令x 为m a x 22-+所以又得到)44()22(m a x f m a x f -+-=-+所以有:)44()(m a x f x f -+=所以)(x f 是周期函数,且周期是||4m a T -=。
函数周期性和对称性总结
函数周期性和对称性总结函数是数学中非常基础而且重要的概念,在研究函数的性质时,函数的周期性和对称性是其重要特征之一。
本文将对函数的周期性和对称性的概念和内涵进行总结和解释,以便更好地理解函数的性质。
一、周期性函数的周期性指函数的值在某个范围内周期性的重复,周期的概念与函数的定义有很大的关系。
1.义周期性函数是指在一定的区间上函数值一次周期性重复出现的函数。
有许多周期性函数,如三角函数、指数函数、对数函数等。
大部分周期性函数的图像是延一条条直线分割,周期性函数的微积分是有规律的。
2.性周期性函数的周期有两种表示方法:周期长度和周期弧长,分别表示周期函数的完整一次周期所需要的变量点数量和函数图像在单位区间所对应的弧长。
此外,周期性函数的定义域和值域是单调的,同时周期性函数一次周期内的值点会重复出现。
二、对称性函数的对称性是指函数图像经过某些变换仍然保持原有形状的性质,大多数函数都具有对称性特征。
1.定义函数的对称性表示函数图像在一定的条件下,经过某种变换,图像形状不变,即它仍然保持原来的形状。
一般来说,由于函数的对称性,它的定义域和值域都是单调的,一次周期的值点会重复出现,而且它的定义域经过一定的变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。
2.属性对称性函数的属性有几种:(1)对称性函数在定义域和值域内是单调的,且定义域和值域可以进行互换;(2)对称性函数不仅能够满足图像中心对称,而且还能够满足其他形状的对称;(3)对称性函数的值点会重复出现,单次周期内的值点也会一次性重复出现;(4)对称性函数的定义域经过变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。
三、结论以上简述函数的周期性和对称性。
函数的周期性表示函数值在一定区间内周期性重复出现,有许多周期性函数,其特点是定义域和值域是单调的,一次周期的值点会重复出现。
而函数的对称性表示函数图像在一定的条件下,它仍然保持原有形状,定义域和值域也是单调的,一次周期的值点也会重复出现。
数学 - 函数的对称性与周期性
数学 - 函数的对称性与周期性函数是数学中的一个重要概念。
通过研究函数的对称性与周期性,我们能够更好地理解函数的性质和行为。
在本文中,我们将介绍函数的对称性和周期性的定义,并讨论一些常见的例子和性质。
函数的对称性在数学中,函数的对称性指的是函数图像关于某一条直线、某个点或者坐标轴对称。
常见的对称性包括:关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
关于x轴对称一个函数关于x轴对称,意味着函数图像可以在x轴上对称折叠,一半与另一半完全重合。
这意味着,对任意的x值,函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如,函数 f(x) = x^2 就是关于x轴对称的。
对于任意的x值,f(x) = f(-x)。
函数图像可以在x轴上折叠,左右两部分完全重合。
关于y轴对称一个函数关于y轴对称,意味着函数图像可以在y轴上对称折叠,一半与另一半完全重合。
这意味着,对任意的x值,函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如,函数f(x) = sin(x) 就是关于y轴对称的。
对于任意的x值,f(x) = f(-x)。
函数图像可以在y轴上折叠,左右两部分完全重合。
关于原点对称一个函数关于原点对称,意味着函数图像可以在原点上对称折叠,一半与另一半完全重合。
这意味着,对任意的x值,函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如,函数 f(x) = x^3 就是关于原点对称的。
对于任意的x值,f(x) = -f(-x)。
函数图像可以在原点上折叠,左右两部分完全重合。
函数的周期性在数学中,函数的周期性是指函数在一定的水平间隔上重复。
函数图像上的一个完整周期,被定义为函数的最小正周期。
函数的周期性可以帮助我们理解函数的重复性和规律性。
正周期一个函数如果存在一个正数T,使得对于任意的x,有: f(x+T) = f(x)即函数在水平方向上以T为周期。
这里的T被称为函数的正周期。
例如,函数 f(x) = sin(x) 具有正周期2π。
对于任意的x,有sin(x+2π) = sin(x)。
函数的对称性与周期性(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第2讲函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点,近两年新高考都考了一道选择题,分值5分,知识点比较灵活,需要全面掌握常见对称性,周期性的结论考点一:函数常见对称性结论①若函数()x f 对于任意的x 均满足()()f a x f b x +=-,则函数()y f x =关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称.②若函数()x f 对于任意的x 均满足()()2f a x f a x b ++-=则()y f x =关于点()a b ,对称.考点二:函数常见周期性结论若函数对于任意的x 都满足()()x f T x f =+,则T 为()x f 的一个周期,且()()x f nT x f =±几个常见周期性结论①若函数()y f x =满足()()f x m f x +=-,则2T m =.②若函数()y f x =满足)((1)f x m f x =±+,则2T m =.③若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x -+=+,则2T m =.④若函数()y f x =满足()()b x f a x f +=+,则a b T -=.⑤若函数()y f x =的图象关于直线x a =,x b =都对称,则()f x 为周期函数且2||b a -是它的一个周期.⑥函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点0()A a y ,、0()B b y ,都对称,则函数()y f x =是以2||b a -为周⑦函数()y f x =()x R ∈的图象关于0()A a y ,和直线x b =都对称,则函数()y f x =是以4||b a -为周期的周期函数.⑧若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x ++=-,则函数()f x 是以4m 为周期的周期函数.【题型目录】题型一:利用周期性求函数值题型二:利用周期性求函数解析式题型三:根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四:根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一:利用周期性求函数值【例1】设()f x 是定义在R 上周期为2的函数,当(11]x ∈-,时,2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤,,其中m R ∈.若13(()162f f =,则m 的值是.答案:1解析: ()x f 是定义在R 上周期为2的函数,当(11]x ∈-,时,2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤,,∴m m f f +-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛432122121232,41161161==⎪⎭⎫⎝⎛f ,∴14341=⇒+-=m m 【例2】设()f x 为定义在R 上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x ≤≤时,()f x x =,则(7.5)f =__________答案:5.0-解析: (2)()f x f x +=-,∴()x f 是周期为4的函数,所以()()()5.05.05.05.7-=-=-=f f f 【例3】定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈,都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+,则()2016f 等于A.14B.12C.13D.35答案:D解析: ()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f =+-++--=+++-=+11111121214,所以()x f 是周期为4的函数,()()()()53212142016=+-==f f f f 【例4】(重庆南开高一上期中)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=,且()11f =,则()()20202019f f -的值为()A.1-B.0C.1D.2答案:C解析: ()()4f x f x +=所以4=T ,所以()()002020==f f ,()()()1112019-=-=-=f f f ,所以()()()20202010119f f =--=-【例5】(2022·云南昭通·高一期末)已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数,且周期为2,当[]0,1x ∈时,()21xf x =-,则132f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=()A .1B .1C 1D .1【题型专练】1.(2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试)已知()f x 是R 上的奇函数,且()()2f x f x +=-,当()0,2x ∈时,()22f x x x =+,则()15f =()A .3B .3-C .255D .255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数,根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由()()2f x f x +=-可得,()()42=()f x f x f x +=-+,故()f x 是以4为周期的周期函数,故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-,故选:B2.(2023·全国·高三专题练习)已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且(6)()f x f x +=-,若当[]3,0x ∈-时,()6x f x -=,则(2021)f =()A .0B .1C .6D .216【答案】C【分析】由(6)()f x f x +=-可得函数周期为6,进而(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-,最后求出答案.【详解】根据题意,偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=-,即(6)()f x f x +=,()f x 是周期为6的周期函数,则(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-,当[3,0]x ∈-时,()6x f x -=,则1(1)66f -==,故(2021)6f =故选:C3.(重庆南开高一上期末)函数()f x 的定义域为R ,且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭,()00f ≠.若对任意实数x ,y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭,则()2020f =()A.B.-1C.0D.1答案:D解析:由题意知,令0==y x ,可得()()02022f f =,因()00f ≠,所以()10=f 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以()()0212121=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x f x x f x f x f ,所以()()x f x f -=+1,所以2=T ,所以()()102020==f f 4.(2022·云南红河·高一期末)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,R x ∀∈,都有(4)()f x f x +=,若当[0,1]x ∈时,2()log ()f x x a =+,则(7)f -=()A .1-B .0C .1D .2【答案】C【分析】()f x 是定义在R 上的奇函数得a ,有(4)=()f x f x +得到()f x 是周期函数,利用函数周期性可得答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数,(0)=0f ∴,得=1a ,∴当[]0,1x ∈时,2()log (1)=+f x x ,R x ∀∈,都有(4)=()f x f x +,()f x ∴是周期为4的周期函数,()()()7=7811f f f ∴--+==.故选:C.5.(2022·黑龙江·大庆中学高二期末)()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足()()22f x f x -=+,又当(]0,1x ∈时,()3xf x =,则131log 72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.题型二:利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足:(1)()()x f x f =-;(2)()()x f x f -=+22;(3)当[]2,0∈x 时解析式为12-=x y ,当[]0,4-∈x 时,求函数的解析式。
函数的周期性与对称性.
函数的周期性与对称性1函数的周期性若a是非零常数,若对于函数y= f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y = f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f(x + a) = f(x —a)② f(x + a) = —f(x) ③f(x + a) = 1/f(x) ④ f(x + a) =—1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x= a与x = b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T= 2|a —b|性质6、若函数y= f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T= 2|a —b|性质7、若函数y= f(x)既关于点(a, 0)中心对称,又关于直线x = b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T= 4|a —b|3. 函数y二f (x)图象本身的对称性(自身对称)若f (x • a)二f (x b),贝U f (x)具有周期性;若f (a • x)二f (b - x),贝U f (x)具有对称性:"内同表示周期性,内反表示对称性”。
推论1: f (a • x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论2、f (x) = f (2a —x) := y = f (x)的图象关于直线x = a对称推论3、f (-x) = f (2a • x) := y = f(x)的图象关于直线x = a对称推论1、f (a x) f (a - x) = 2b =推论2、f(x) f (2a -x) =2b = 推论3、f (-x) f (2a x) = 2b :二例题分析:1 .设f (x)是(Y「::)上的奇函数,f(47.5)等于(A) 0.5 ( B) -0.52、(山东)已知定义在R上的奇函数A . —1B . 03•设f (x)是定义在R上的奇函数,y = f(x)的图象关于点(a,b)对称y = f (x)的图象关于点(a,b)对称y = f(x)的图象关于点(a,b)对称f(x 2) = — f(x),当0 乞x ^1 时,f(x)二x,则( )(C) 1.5 ( D) -1.5f (x)满足f (x • 2) = -f(x),贝y f(6)的值为( ) C. 1 D . 2f(1)=2, f(x 1) = f (x 6),求f(10).4•函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x • 2)1,若f(l)二-5,贝y f[f(5)]二f (x)5•已知f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x = 1对称。
如何判断函数的对称性与周期性
如何判断函数的对称性与周期性
如何判断函数的对称性与周期性
函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但考试中还会考
查函数对称性、连续性、凹凸性。
对称性考查的频率一直比较高,如二次函
数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,尤其是抽象函数的
对称性判断。
1对称性的概念①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线
称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180 度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心
对称,该点称为该函数的对称中心。
1函数的几种变换1、平移变换
函数y=f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)的图像;向上平
移b个单位得到函数y=f(x)+b的图像;左平移a个单位得到函数y=f(x+a)的图像;向下平移b个单位得到函数y=f(x)-b的图像(a,b>0)。
2、伸缩变换
函数y=f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时,伸)得到函数y=k f(x)的图像;
函数y=f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01 时,缩)得到函数y=f(k x)的图像(k>0,且k≠1)。
3、对称变换
(1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x);
关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。
(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b 对称的。
函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义:对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT (,0k Z k ∈≠)也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期:设)(x f y =是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移,即得在其他周期的图像:[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数:设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或①若为奇函数;则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性:(1)中心对称即点对称:①点对称;关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称;关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称;关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称;关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质,下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论(一)函数)(x f y =图象本身的对称性(自身对称)2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称(三)函数的周期性1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =()b a < ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 4=。
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函数对称性、奇偶性,周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点,现在全部解析如下:一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性:对于函数)(x f y =,如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义(略),请用图形来理解。
3、 对称性:我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证:设点),(11y x 在)(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==,即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称(2)函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证:设点),(11y x 在)(x f y =上,即)(11x f y =,通过b x f x a f 2)()2(=+-可知,b x f x a f 2)()2(11=+-,所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
得证。
若写成:c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称(3)函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称。
但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。
4、 周期性:(1)函数)(x f y =满足如下关系,则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立) D 、其他情形(2)函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+,则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”(3)如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ,且可以推出对称轴为kT T x 22+=)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ,)(z k ∈(以上0≠T )如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ,且可以推出对称中心为)0,22(kT T +)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ (以上0≠T )(4)如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+(0≠T ),则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+(0≠T ),则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
二、 两个函数的图象对称性1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=y 对称。
2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=x 对称。
3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=,即它们关于a x =对称。
4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+,即它们关于a y =对称。
5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法:)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+,即它们关于点(a,b)对称。
)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2b a x +=对称。
三、抽象函数的对称性。
性质1、若函数y =f(x)关于直线x =a 轴对称,则以下三式成立且等价:(1)f(a +x)=f(a -x)。
(2)f(2a -x)=f(x)。
(3)f(2a +x)=f(-x)。
性质2、若函数y =f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三式成立且等价:(1)f(a +x)=-f(a -x)。
(2)f(2a -x)=-f(x)。
(3)f(2a +x)=-f(-x)。
注:y =f(x)为偶函数是性质1当a =0时的特例,f(-x)=f(x)。
y =f(x)为奇函数是性质2当a =0时的特例,f(-x)=-f(x)。
四、复合函数的奇偶性。
性质1、复数函数y =f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]。
复合函数y =f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。
性质2、复合函数y =f(x +a)为偶函数,则f(x +a)=f(-x +a);复合函数y =f(x +a)为奇函数,则f(-x +a)=-f(a +x)。
性质3、复合函数y =f(x +a)为偶函数,则y =f(x)关于直线x =a 轴对称。
复合函数y =f(x +a)为奇函数,则y =f(x)关于点(a,0)中心对称。
五、函数的周期性。
性质:若a 是非零常数,若对于函数y =f(x)定义域内的任一变量x 点,有下列条件之一成立,则函数y =f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
(1)f(x +a)=f(x -a),②f(x +a)=-f(x),③f(x +a)=1/f(x),④f(x +a)=-1/f(x)。
六、函数的对称性与周期性。
性质1、若函数y =f(x)同时关于直线x =a 与x =b 轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T =2|a -b|。
性质2、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|。
性质3、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|。
七、复合函数的对称性。
性质1、已知函数y=f(x),则复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2轴对称。
性质2、已知函数y=f(x),则复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中心对称。
推论1、已知函数y=f(x),则复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称。
推论2、已知函数y=f(x),则复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称。
八、巩固练习1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=f(6-x)的图象()。
A.关于直线x=5对称 B.关于直线x=1对称C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称2、设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=()。
A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.53、设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是()。
A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数4、f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数。
参考答案:C,B,C,T=2。