2013年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷)
数学(理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1,5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =( ）
（A ）1i + （B)1i - （C ）1i -+ （D)1i -- 【答案】A
【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =,222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．
（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ )
(A)16 (B ）2524
(C ）34 (D)1112
【答案】D
【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113
244s =+=，426n =+=;
返回，68<,31114612s =+=，628n =+=;返回，88<不成立，输出11
12
s =，故选D ．
(3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．
公理的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B ）过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
（C)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
(D ）如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A
【解析】由立体几何基本知识知,B 选项为公理2，C 选项为公理1,D 选项为公理3,A 选项不是公理,故选A ． （4)【2013年安徽,理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（ ) (A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形:
0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．
（5)【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93,93,88,93．下列说法一定正确的是（ ）
（A)这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C
【解析】解法一:
对A 选项,分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错; 对B 选项,系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；
对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二:
五名男生成绩的平均数为8694889201
50(9)9++++=，
五名女生成绩的平均数为()1
8893938893915
++++=，
五名男生成绩的方差为222222
18690949088909290909085
s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==,
五名女生成绩的方差为222
2288913939165
s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．
（6）【2013年安徽,理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫
<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集
为( ）
（A){|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- (C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D
【解析】由题意知11012x -<<，所以1
lg lg 22
x =-<，故选D ．
(7）【2013年安徽，理7,5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ )
（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和
(C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B
【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别
为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ． （8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不
同的数12n x x x ⋯,，
,，使得1212
===
n n
f x f x f x x x x ()
()()
,则n 的取值范围是( ） (A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C){}3,4,5 （D){}2,3 【答案】B
【解析】1212
===
n n f x f x f x x x x ()()()
可化为
12120
00
===
00
n n f x f x f x x x x ()-()-()----,故上式可理解为()y f x =
图象上一点与坐标原点连线的斜率相等,即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示,由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．
（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，
则点集{
}
=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是
( ） （A)
（B)
（C ） （D ） 【答案】D
【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关
于
x 轴对称,由已知=2
OA OB OA OB =⋅=,可得出60AOB ∠
=︒，点)A ，点)
1B
-，
点()
D ,现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得(
)))
,1x y λ
μ
=+-，
即x y λμλμ
+)=
-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，,
可得1
1x y ⎧≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩
画出动点()P x y ，
满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．
（10)【2013年安徽,理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ,2x ，且(
)
1
1
f x x =，
则关于x 的方程()()()2
320f x af x b ++=的不同实根个数是( )
(A ）3 （B ）4 （C ）5 （D)6 【答案】A
【解析】由()2320f x x ax b '=++=得,1x x =或2x x =，即()()()2
320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =
的解．如图所示
12x x < 21x x <
由图象可知()1f x x =有2个解,()2f x x =有1个解,因此()()()2
320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
(11)【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称,
则ϕ的最小正值是 ． 【答案】1
2
【解析】∵8
x ⎛+ ⎝
的通项为1838
C ()r r r r x a x --883388=C C r r
r r r r r r a x x a x ----=,∴843r r --=,解得3r =．∴33
8C 7a =， 得12
a =．
（12)【2013年安徽,理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，
C 所对边的长分别为a ,b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =,则角C = ．
【答案】2
π3
【解析】∵3sin 5sin A B =,∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得,53a b =，7
3
c b =，
∴22
2
222
57133cos 52223
b b b b a
c C ab b b ⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．
（13）【2013年安徽，理13,5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ,B 两点．若该抛物线上存在点C ,使得ACB
∠为直角，则a 的取值范围为 ． 【答案】[1)+∞，
【解析】如图，设20
2
00()()C x x x a ≠,
,()A a ,(
),B a a ,则()
200,CA x a x =--，
(
)
200,CB a x a x =
-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()2
2
2000a x a x --+-=,
()()2
2
10a x a x --+-=，∴2
10x
a =-≥，∴1a ≥．
（14)【2013年安徽,理14,5分】如图,互不相同的点A 1，A 2，…，A n ,…和B 1，B 2，…，B n ，…分
别在角
O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形1
1
n
n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若
11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是 ．
【答案】n a =
【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =,n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，
∴1122
2
212
211
24
OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OA B OA B ∆∆∽,
∴1n OA OA =．
∴1n a a =
∴n a
（15)【2013年安徽，理15,5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线
段1CC 上的动点,过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是
__________（写出所有正确命题的编号）．
①当012CQ <<时,S 为四边形;②当1
2CQ =时，S 为等腰梯形；
③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当3
4
1CQ <<时，S 为六边形；
⑤当1CQ =时，S
【答案】①②③⑤
【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，2225
4
AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，
所以②正确；当01
2
CQ <<时,截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；
如（2）图,当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C R
CQ CN =，即11
4314
C R =，113C R =，故③正确；
如图(3）所示，当3
4
1CQ <<时，截面为五边形APQMF ,所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，
可知1AC =
EP =且四边形1APC E 为菱形，S
四边形1APC E =,故⑤正确．
图（1） 图(2） 图(3)
三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定
区域内．
（16）【2013年安徽，理16,12分】已知函数()4cos πsin ()4·
0x f x x ωωω⎛
⎫ ⎪⎝
⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；
(2）讨论f （x )在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性．
解：（1)(
)
)2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛
⎫+=+ ⎝⎭+⎪+
π2sin 24x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．
（2）由(1）知，(
)π2sin 24f x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．
当πππ2442x ≤+≤即π08
x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间ππ,82⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减．
（17)【2013年安徽,理17，12分】设函数()()22
1f x ax a x =-+，其中0a >,区间(){}|0I x f x =>．
（1)求I 的长度（注:区间()αβ，的长度定义为βα-;
(2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解:（1)因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，22
1a
x a =
+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛
⎫= ⎪+⎝⎭
，I 的长度为21a a +． （2）设()2
1d a a
a
=+,则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=,得1a =．01k <<,故当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时,()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时,()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而
23
2232
11211111211k
d k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+),故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2
122k
k k --+．
（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E :22
22
=11x y a a +-的焦点在x 轴上．
(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程;
（2)设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并
且11
F P FQ ⊥．证明:当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1）因为焦距为1,所以2
2141a -=，解得2
58
a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．
(2)设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c
，其中c =．由题设知0x c ≠,则直线1F P 的斜率10
0F P y k x c
=
+, 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时,0
cy y c x =-, 即点Q 坐标为00(0,
)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100
F Q y
k c x =-． 由于11
F P FQ ⊥，所以110000
1F P F Q y y
k k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．
(19)【2013年安徽，理19，13分】如图,圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒,AB 和CD
是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． （1)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠． 解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内,所以//AB 面PCD ．
又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．
(2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质,2COD COF ∠=∠,OF CD ⊥．
因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．
又CD ⊂面PCD ,因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．
根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由2
2tan 22.51tan
1tan45︒
-
=︒=和
tan22.50︒>， 得tan22.51︒，
因此1)
OC h
==．
在Rt OCF ∆中,os c OF OC OF C ===∠， 故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠----=
(20)【2013年安徽,理20,13分】设函数()2322*21()23n n
f x x n x x x x n
-++++∈∈+=R N ，．证明：
(1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∈，满足()0n n f x =;
(2）对任意*p ∈N ,由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足1
0n n p x x n
+<-<．
解：（1）对每个*
n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，
内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时，()222111
0231n f n
=+++>，故()10n f ≥．
又21122222213322112111231 ()0233343343313
n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，
所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∈,满足()0n n f x =．
（2）当0x >时，()()()11
2
1n n n n f x f x x f x n ++(+)=+
>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列,从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<． 对任意*
p ∈N ,由于()222102n n
n n n n f x x x x n
-++++==，①
()212222
1+021n n n p
n p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②
①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得2
2
2
2
1
1
k k
k k n p
n p
n
n p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+
≤
-∑
∑
∑
21111(1)
n p
n p
k n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此,对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．
（21)【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别
由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数）．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．
解：（1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，
所以A 与B 相互独立．由于()()11
C C k n k n P A B k n P --===，故()()
=1k P A P B n
=-，因此学生甲收到活动通知
信息的概率2
22
211k kn k P n n -⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k
和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件
总数为2
(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知:事件{}X m =所含基本事件数为 2C C
C
C C
C
k k m m k k m k m k n
k
n k
n k
n k
------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k k
n k k k
n n
P X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+
⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m k
k
n k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22
k m k n +≤-
+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()2
1k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22
k k n m +-
+=和2
(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()2
1k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最
大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1
222k kn k k k n n +----=
++
2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22
(1)12<022
k n k k n n n +(-+)--=-++,故()2
122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2
(1)
22
k t n k k ≤+-<+．。