上海上师初级中学八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典习题(培优)

一、选择题
1．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（ ）
A ．22
B ．23
C ．231+
D ．232+D
解析：D 【分析】 连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2
中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，
根据勾股定理，可得：1GI =，3HI
，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．
【详解】
解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，
∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．
∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，
则有：90EFH
，45EHF HEF ∵
45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,
又∵GI
HF ，2MN =， ∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI
， 则有1FI GI ，
∴31EF HF HI FI ，
∴正方形的对角线2231232AC
EF ，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10A
解析：A
【分析】 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出12
CM BD =，设CM x =，则2BD AD x ==，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．
【详解】
解：90ACB ∠=︒，M 是BD 的中点，
12
CM BD ∴= 设CM x =，则2BD AD x ==
16AC =
162CD AC AD x ∴=-=-
在Rt BCD △中，根据勾股定理得
222BC CD BD +=
即()()22
281622x x +-=
解得：5x =，
故选A ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）
A ．AE CF =
B ．DE BF =
C ．ADE CBF ∠=∠
D ．AB
E CD
F ∠=∠B
解析：B
【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．
【详解】
解：A 、∵AE CF =，
∴AO=CO ，
由于四边形ABCD 是平行四边形，则BO=DO ，
∴四边形DEBF 是平行四边形；
B 、不能证明四边形DEBF 是平行四边形；
C 、∵四边形ABC
D 是平行四边形，
∴AD=BC ，∠DAE=∠BCF ，又∠ADE=∠CBF ，
∴△DAE ≌△BCF （ASA ），
∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；
D 、同C 可证：△AB
E ≌△CD
F （ASA ），
∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A ．三角形的三条高线相交于三角形内一点
B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C ．对于所有自然数n ，237n n -+的值都是质数
D ．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等D
解析：D
【分析】
根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A 进行判断；根据平行四边形的判定对B 进行判断；取n=6可对C 进行判断；根据三角形全等的知识可对D 进行判断．
【详解】
解：A 、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A 选项错误；
B 、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B 选项错误；
C 、当n=6时，n 2-3n+7=25，25不是质数，所以C 选项错误；
D 、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D 选项准确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命
题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．
5．下列说法正确的是（ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B ．对角线互相垂直的矩形是正方形
C ．有一组邻边相等的菱形是正方形
D ．各边都相等的四边形是正方形B
解析：B
【分析】
根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．
【详解】
解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
6．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）
A ．AE CE =
B ．12AE BE =
C ．EB
D EDB ∠=∠ D ．△AB
E ≌△CDE B
解析：B
【分析】 由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠CBD ，可得BE=DE ，可证AE=CE ，由“SAS”可证△ABE ≌△CDE ，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵把矩形纸片ABC'D 沿对角线折叠，
∴∠CBD=∠DBC'，CD=C'D=AB ，AD=BC=BC'，
∵AD ∥BC'，
∴∠EDB=∠DBC'，
∴∠EDB=∠EBD ，故选项C 正确；
∴BE=DE ，
∵AD=BC ，
∴AE=CE ，故选项A 正确；
在△ABE 和△CDE 中，
AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CDE （SAS ），故选项D 正确； 没有条件能够证明12AE BE =
， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
7．如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）
A ．26
B ．29
C ．2243
D ．1253
A 解析：A
【分析】 由题意可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC 边的高即可．
【详解】
解：如图，连接AD 、EF ，
则可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD 的面积为120，AD=20，
∴BC=AD=20，12EF×AD=12
×120， ∴EF=6，
又AD=20， ∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）
A ．①③④
B ．②③⑤
C ．①③④⑤
D ．②③④⑤D
解析：D
【分析】 根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出
∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG ，推出
∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∵平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，
∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BAD=∠BCD=180°-α，
∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；
∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，
∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，
在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，
BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩
，
∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），
∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；
∴四边形EFGH 是菱形，
∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；
∴EH ⊥GH ，④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
9．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，
∴()2
22
=+，
483
x x
解得：x=8或-8（舍），
∴BC=8，
⊥，
∵D是AC边的中点，DE AC
∴DE=1
BC=4，
2
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
10．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对边相等且平行C 解析：C
【分析】
根据矩形和菱形的性质即可得出答案．
【详解】
解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；
B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；
D：因为矩形和菱形的对边都相等且平分，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．
二、填空题
11．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条的反面）：
已知由信纸折成的长方形纸条（图①）长为25cm ，宽为cm x .如果能折成图④的形状，且为了美观，纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，则在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）为______cm ．【分析】按图中方式折叠后可得到除去两端纸条使用的长度为5个宽由此解题即可【详解】解：根据折叠的过程发现中间的长度有5个宽则在开始折叠时起点与点的距离为：故答案为：【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题） 解析：2552
x - 【分析】
按图中方式折叠后，可得到除去两端，纸条使用的长度为5个宽，由此解题即可．
【详解】
解：根据折叠的过程，发现中间的长度有5个宽，
则在开始折叠时起点M 与点A 的距离为：
2552x -， 故答案为：
2552
x -． 【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题），是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________． 24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行
线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG 解析：24
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEG=∠EGF ，
∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，
∴60GEF DEF ∠=∠=︒，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF 是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF 的周长=24，
故答案为：24．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
13．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF =_____．
2【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的
定义可求解即可得利用等腰三角形的性质得到进而可得是的中位线根据三角形的中位线的性质可求解【详解】解：在平行四边形中∴∵平分∴∴∴∵∴∵是的中点∴是的中位线
解析：2
【分析】
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解CBE BEC ∠=∠，即可得CB CE =，利用等腰三角形的性质得到BF EF =，进而可得GF 是ABE △的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，
∴ABE BEC ∠=∠，
∵BE 平分ABC ∠，
∴ABE CBE ∠=∠，
∴CBE BEC ∠=∠，
∴CB CE =，
∵CF BE ⊥，
∴BF EF =，
∵G 是AB 的中点，
∴GF 是ABE △的中位线， ∴12
GF AE =
∵4AE =， ∴2GF =；
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF 是ABE △的中位线是解题的关键．
14．把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ．若38CDF ∠=︒，则EFD ∠ 的度数是_________．
64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD 的度数继而求
出∠BFD 的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD 即可得出结论
【详解】解：∵ABCD 是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴
解析：64°
【分析】
先根据矩形的性质求出∠CFD 的度数，继而求出∠BFD 的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=
12∠BFD ，即可得出结论． 【详解】
解：∵ABCD 是矩形，
∴∠DCF=90°，
∵∠CDF=38°，
∴∠CFD=52°，
∴∠BFD=180°-52°=128°，
∵四边形EFDA 1由四边形EFBA 翻折而成，
∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12
×128°=64°． 故答案为：64°．
【点睛】
本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．
15．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．
【分析】取AB的中点E则OE=1DE=利用三角形原
理可确定最大值【详解】如图取AB的中点E连接OEDE∵OE是直角三角形ABO 斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE中根据勾股定理得DE==
解析：21
+
【分析】
取AB的中点E，则OE=1，DE=2，利用三角形原理可确定最大值.
【详解】
如图，取AB的中点E，
连接OE，DE，
∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线，AB=2，
∴OE=1，
在直角三角形DAE中，
根据勾股定理，得DE=22
+=2，
DA AE
∴当O，D，E三点共线时，DO最大，
且最大值为2+1，
故应该填21
+.
【点睛】
本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键. 16．如图，B，E，F，D四点在一条直线上，菱形ABCD的面积为2
120cm，正方形AECF的面积为2
50cm，则菱形的边长为___cm．
13【分析】根据正方形的面积可用对角线
进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD 交于点O ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDAO=COBO=DO ∵正方形AECF 的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1 解析：13
【分析】
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】
解：连接AC ，BD 交于点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，
∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12
AC 2=50， ∴AC=10cm ，
∴AO=CO=5cm ，
∵菱形ABCD 的面积为120cm 2， ∴12
×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，
∴BO=DO=12cm ， ∴22AB AO BO +25144+， 故答案为13．
【点睛】
本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 17．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．
2或【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M
交BC于N则直线MN是矩形ABCD的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E即可；②过A′作PQ∥AD交
解析：2或23 3
【分析】
分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对
称轴，得出AM=BN=1
2
AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E即可；②
过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=1
2
AD=2，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=2，
∴A′N=22
A B BN
'-=0，即A′与N重合，
∴A′M=2= A′E，
∴AE=2；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，
设A′E=x，则BE=2x，
在△A′EB 中，()22222x x =+，
解得：x=233， ∴AE=A′E=
233；
综上所述：AE 的长为2或233
， 故答案为：2或
233
． 【点睛】 本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．
18．如图所示，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，若DAC EAC ∠=∠，4AE =，3AO =，则AEC S ∆的面积为____．
【分析】先证明△AEC 是等腰三角形再证OE ⊥AC 然
后用勾股定理求出OE 即可求【详解】解：如图1连接OE ∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC=3AD ∥BC ∴∠DAC=∠ACB 又∵∴∠ACB=∠EA
解析：37
【分析】
先证明△AEC 是等腰三角形，再证OE ⊥AC ，然后用勾股定理求出OE ，即可求AEC S ∆．
【详解】
解：如图1，连接OE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC=3，AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠ACB ，
又∵DAC EAC ∠=∠，
∴∠ACB=∠EAC ，
∴AE=EC=4，
∴△AEC 是等腰三角形，
∴OE ⊥AC ，
在Rt △AOE 中，由勾股定理得，AO 2+OE 2=AE 2，
∴32+OE 2=42，
∴OE=7， ∴167372
AEC s =⨯⨯=， 故答案是：37．
【点睛】
本题综合考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识，证明△AEC 是等腰三角形是解本题的关键．
19．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和AB 上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，当点H 落在CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为______．
【分析】根据旋转的可证明△BEF ≌△CHE 作FM ⊥CD 于M 分别求出FMMH 的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF 绕点E 顺时针旋转得到△GEH 点H 落在CD 边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B
解析：10
【分析】
根据旋转的可证明△BEF ≌△CHE ，作FM ⊥CD 于M ，分别求出FM,MH 的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】
∵将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，点H 落在CD 边上，
∵BE=2，AF=2，BF=4
∴GH=BF=EC=4，222425+=
∴在Rt △HEC 中，CH=()222542-=
∴BE=CH 又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4
∴△BEF ≌△CHE
作FM ⊥CD 于M ，故四边形AFMD 是矩形，
∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6
∴FH=2226210+=
故答案为：210．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．
20．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．
参考答案【分析】先计算出C1C2的长进而得到规律最后求出C2020的长即可
【详解】解：∵E 是BC 的中点ED ∥AB ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝AB ＝AD ＝AC ＝∵EF ∥AC ∴四边形EDAF 是菱形∴C1＝4
解析：20181
2
【分析】
先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．
【详解】
解：∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12
， ∵EF ∥AC ，
∴四边形EDAF 是菱形，
∴C 1＝4×12
， 同理C 2＝4×
12×12=4×212， …
C n ＝4×12
n ， ∴2020202020181
142
2C =⨯=． 故答案为：
20181
2．
【点睛】 本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．
三、解答题
21．已知：在Rt △ABC 中，90BAC ∠=，DE 是直角边AB 的垂直平分线，DBA ABC ∠=∠，连接AD ．
求证：（1）四边形ADBC 是梯形；
（2）12
AD BC =． 解析：（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD ，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB ，进而可以证明AD ∥BC ，可以证出四边形ADBC 是梯形；
（2）延长DE 交BC 于F ，证明△BDE ≌△BFE ，从而得出四边形ACFD 是平行四边形，进而得出结论．
【详解】
证明：（1）如图，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD=BD ，
∴∠DBA=∠DAB ，
∵∠DBA=∠ABC ，
∴∠ABC=DAB ，
∴AD ∥BC ，
∵AC 与BD 不平行，
∴四边形ADBC 是梯形，
（2）如图，延长DE 交BC 于F ，
∵∠DBA=∠ABC ，BE=BE ，∠DEB=∠BEF=90°，
∴△BDE ≌△BFE ，
∴BF=BD=AD ，
∵∠BAC=∠BEF=90°，
∴DF ∥AC ，
∵AD ∥BC ，
∴四边形ACFD 是平行四边形，
∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12
AD BC =． 【点睛】
此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．
22．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AE ，AF 分别为BC ，CD 上的高，且40EAF ∠=︒．求平行四边形ABCD 各内角的度数．
解析：140°，40°，140°，40°
【分析】
由AE 、AF 分别为BC 、CD 上的高，且∠EAF=40°，即可求得∠C 的度数，又由平行四边形的性质，即可求得答案．
【详解】
解：∵AE 、AF 分别为BC 、CD 上的高，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=40°，
∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=140°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=140°，∠B=∠D=180°-∠C=40°．
∴平行四边形ABCD各内角的度数分别为：140°，40°，140°，40°．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
23．如图，CD是线段AB的垂直平分线，M是AC延长线上一点．
（1）在图中补充完整以下作图，保留作图痕迹：作∠BCM的角平分线CN，过点B作CN 的垂线，垂足为E；
（2）求证：四边形BECD是矩形；
（3）AB与AC满足怎样的数量关系时，四边形BECD是正方形？证明你的结论．
解析：（1）如图所示，见解析；（2）见解析；（3）当AB2时，矩形BECD是正方形，证明见解析．
【分析】
（1）根据角平分线及垂线的作图方法依次作图；
（2）根据CD是AB的垂直平分线，推出∠CDB=90°，AC=BC，利用CN平分∠BCM求出∠DCN=∠DCB+∠BCN=90°，由BE⊥CN求得∠BEC=90°，即可得到结论；
（3）当AB2时，矩形BECD是正方形，由AD=BD，AB2AC，求得BD 2 AC，
根据AD⊥CD，∠CDB=90°，推出BD=CD，由此得到矩形BECD是正方形．【详解】
（1）解：如图所示，
（2）证明：∵CD是AB的垂直平分线，
∴CD⊥BD，AD=BD，
∴∠CDB=90°，AC=BC，
∠ACB，
∴∠DCB=1
2
∵CN平分∠BCM，
∠BCM，
∴∠BCN=1
2
∵∠ACB+∠BCM=180°，
∴∠DCN=∠DCB+∠BCN=1
（∠ACB+∠BCM）=90°，
2
∵BE⊥CN，
∴∠BEC=90°，
∴四边形BECD是矩形；
（3）当AB2时，矩形BECD是正方形
∵AD=BD，AB2AC，
∴BD=2
AC，
2
∵AD⊥CD，∠CDB=90°，
∴BD=CD，
∴矩形BECD是正方形．
【点睛】
此题考查作图—角平分线、垂线，矩形的判定定理，正方形的判定定理，正确作图及熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
24．如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？
解析：（1）t =2；（2）t =3或65t =
． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．
（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．
∵∠A =60°，
∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．
（2）∵△PAQ 是直角三角形，
∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），
当∠APQ =90°时，有∠AQP =30°，即AQ =2AP ，∴6-t =2·
2t ，解得65t =（秒）， ∴当t =3或65t =
时，△PAQ 是直角三角形． 【定睛】
本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．
25．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，且BE DF =，连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．
（1）求证：AE CF =；
（2）若AC 平分HAG ∠，判断四边形AGCH 的形状，并证明你的结论．
解析：（1）见解析；（2）四边形AGCH 是菱形，见解析
【分析】
（1）利用SAS 证明△AOE ≌△COF 即可得到结论；
（2）四边形AGCH 是菱形．根据△AOE ≌△COF 得∠EAO=∠FCO ，推出AG ∥CH ，证得四边形AGCH 是平行四边形，再根据AD ∥BC ，AC 平分HAG ∠，得到GAC ACB ∠=∠，证得GA=GC ，即可得到结论．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
BE DF =，
OB BE OD DF ∴-=-，
即OE OF =，
又
AOE COF ∠=∠，
AOE COF ∴≌，
AE CF ∴=． （2）四边形AGCH 是菱形．
理由：AOE COF ≌，
EAO FCO ∴∠=∠，
//AG CH ∴，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
∴四边形AGCH 是平行四边形，
//AD BC ，
HAC ACB ∠∠∴=，
AC 平分HAG ∠，
HAC GAC ∠∠∴=，
∴GAC ACB ∠=∠，
GA GC ∴=，
∴平行四边形AGCH 是菱形．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等角对等边证明边相等，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
26．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，60C ∠=°，5AB =．2AD =．
（1）求CD 的长；
（2）求四边形ABCD 的面积．
解析：（1）32）
2332
【分析】
（1）作DM ⊥BC ，AN ⊥DM 垂足分别为M 、N ，易知四边形MNAB 是矩形，分别在
Rt △ADN 中求出DN ，利用含60°的直角三角形求CD 即可；
（2）由（1）可知，四边形ABCD 的面积就是△DCM 与梯形ADMB 的面积和．
【详解】
解：（1）如图作DM ⊥BC ，AN ⊥DM 垂足分别为M 、N ．
∵∠B ＝∠NMB ＝∠MNA ＝90°，
∴四边形MNAB 是矩形，
∴MN ＝AB ＝5，AN ＝BM ，∠BAN ＝90°，
∵∠C +∠B +∠ADC +∠BAD ＝360°，∠C ＝60°，∠B ＝∠ADC ＝90°，
∴∠DAN ＝∠BAD ﹣∠BAN ＝30°，
在RT △AND 中，∵AD ＝2，∠DAN ＝30°，
∴DN ＝12AD ＝1，AN ＝2222213AD DN -=-=， 在RT △DMC 中，∵DM ＝DN +MN ＝6，∠C ＝60°，
∴∠CDM ＝30°，
∴CD ＝2MC ，设MC ＝x ，则CD ＝2x ，
∵CD 2＝DM 2+CM 2，
∴4x 2＝x 2+62，
∵x ＞0
∴x ＝23，
∴CD ＝43．
（2）由（1）得，
112366322
DCM S CM DM =⨯⨯=⨯⨯=， 1111()3113222
ADMB S AN DM AB =⨯⨯+=⨯⨯=梯形， 1123633322
DCM ABCD ADMB S S S =+=+=四边形梯形．
【点睛】
本题考查了勾股定理和含有30°角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构建特殊的直角三角形是解题关键．
27．（问题提出）
小颖发现某座房屋的侧面是一种特殊的五边形，她决定好好研究一下它的特点，并计算它的面积．
（问题探究）
定义：如图()1，我们把满足,,90AB AE CB DE C D ︒
==∠=∠=的五边形ABCDE 叫做屋形．其中,AB AE 叫做脊，,BC DE 叫做腰，CD 叫做底．
性质：
边：屋形的腰相等，脊相等；
角：①屋形腰与底的夹角相等；②脊与腰的夹角相等；
对角线：①
②屋形有两组对角线分别相等，且其中一组互相平分．
对称性：屋形是以底的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
（1）请直接填写屋形对角线的性质①；
（2）请你根据定义证明“屋形的脊与腰的夹角相等”；
己知：如图，五边形ABCDE 是屋形．
求证：
证明：
（问题解决）
（3）如图，在屋形ABCDE 中，若5,8,6AB BC CD ===，试求出屋形ABCDE 的面积．
解析：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等；（2）见解析；（3）60
【分析】
（1）根据屋形的特点可得结论；
（2）连接BE ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+得出结论；
（3）连接BE ，过A 作AH BE ⊥，先利用勾股定理得出AH 的值，再利用三角形和矩形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等
（2）求证：屋形的脊与腰夹角相等
证明：
连接BE
AB AE =，
ABE AEB ∴∠=∠，
C D ∠=∠，
//BC DE ∴，
又
BC DE =，
∴四边形BCDE 为平行四边形， 90CBE DEB ︒∴∠=∠=
∵ABE AEB ∠=∠，
∴+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+，
ABC AED ∴∠=∠．
【问题解决】
连接BE ，过A 作AH BE ⊥，
5AB =，
5AE ∴=，
,AH BE AB AE ⊥=，
142
BH EH BE ∴===， 2222543AH AB BH ∴=--=，
∴BE=2BH=6，
183122
ABE S ∆∴=⨯⨯=， BCDE 8648S =⨯=矩，481260+=，
∴屋形ABCDE 的面积为60．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 28．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得到GFC ．
（1）求证：BE DG =
（2）若四边形ABFG 是菱形，且60B ︒∠=，求:AB BC 的值．
解析：（1）见详解；（2）AB ：BC=2：3．
【分析】
（1）根据平移的性质，可得：AE=CG ，再证明Rt △ABE ≌Rt △CDG 即可得到BE=DG ；
（2）根据四边形ABFG 是菱形，得出AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 的AB 与BC 满足的数量关系即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ．
∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成．
∴CG ⊥AD ．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG ，AB=CD ，
∴Rt △ABE ≌Rt △CDG （HL ）．
∴BE=DG ；
（2）∵四边形ABFG 是菱形
∴AB ∥GF ，AG ∥BF ，
∵Rt △ABE 中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=1
AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）
2
∵四边形ABFG是菱形，
∴AB=BF．
∴BE=CF，
∴EF=1
AB，
2
∴BC=3
AB，
2
∴AB：BC=2：3．
【点睛】
本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的性质．。