福建省莆田第一中学高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

福建省莆田第一中学2014届高三数学上学期期中试题 理 新人教A
版
试卷满分 150分 考试时间 120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1. 已知集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{<-=x x x B ，则B A =( )
A ．}20|{≤<x x
B ．}0|{<x x
C ．2|{≤x x ，或}3>x
D ．0|{<x x ，或}2≥x
2. 已知a 为常数，则使得⎰>e
1d 1
x x
a 成立的一个充分而不必要条件是(
)
A ．0>a
B ．0<a
C ．e >a
D ．e <a
3.已知抛物线2
x =的准线过双曲线22
21x y m
-=-的一个焦点，则双曲线的离心率
为( )
A.
4 4．ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则角B 等于（ ）
A .0
30
B. 060
C. 0
90
D. 0
120
5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2
πϕ＜）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x 的图
象，则只需将()f x 的图象（ ） A.向右平移6
π
个长度单位 B.向右平移3
π
个长度单位 C.向左平移
6
π
个长度单位 D.向左平移
3π
个长度单位
6．已知O 为坐标原点，直线y x a =+与圆22
4x y +=分别交于,A B 两点．若2-=⋅，则
实数a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．1±
D ．2±
7．过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△
AOB 的面积为（ ）
A ．5
B ．
52
C ．
32
D ．
178
8．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的
概率是（ ）
A ．
130
B ．115
C ．110
D ．15
9．设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知
1
(,2)2
m =，11(,sin )n x x =。

点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐
标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（ ）
A ．
1,2π B ．2,π C ．1
,42
π D ．2,4π 10．对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()
f x 与()
g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数： ①2
()f x x =，22)(-=x x g ；
②()f x =()2g x x =+；
③x x f -=e )(，1()g x x
=-
； ④()f x ln x =，x x g =)(，
则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是（ ） A ．①② B ．③④ C ． ②③ D ．①④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11． 73
)12(x
x +
的展开式中常数项为 ．
12．已知随机变量2(0,)N ξσ，若(2)0.8P ξ<=，则(2)P ξ<-= ．
13． 已知变量)1(log ,003202,2++=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+-≤-y x z x y x y x y x 则满足的最大值是 ．
14．已知()41x f x =+，()4x g x -=，若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+（其中m,n 为常数），
且最小值为1，则m n += ．
15．对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：
①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f
③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为ϖ函数。

下面有三个命题：
（1）若函数)(x f 为ϖ函数，则0)0(=f ； （2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是ϖ函数； （3）若函数)(x f 是ϖ函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =， 则
00)(x x f =； 其中真命题．．．
是________．（填上所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分13分）
已知函数2
1
()cos cos (0)2
f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π． （I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；
（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，b =()22
A f =
，求B 的大小． 17．（本小题满分13分）
已知函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋ax ＋b 在x ＝－1处的切线与x 轴平行．
(1)求a 的值和函数f (x )的单调区间； (2)若函数y ＝f (x )的图象与抛物线y ＝32
x 2
－15x ＋3恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 18.（本小题满分13分）
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。

(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合．．格．
的人数，求X 的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成
绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率. 19．（本题满分13分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y
a b a b
+=>>的左、右焦点和短轴的
两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点)0,1(Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．
点(4,3)P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程． 20．（本小题满分14分）
已知函数32
()f x x x bx =-++，()ln g x a x x =+（0a ≠）
（1）若函数()f x 存在极值点，求实数b 的取值范围； （2）求函数()g x 的单调区间；
（3）当0b =且0a >时，令(),1
()(),1
f x x F x
g x x x <⎧=⎨
-≥⎩，P (11,()x F x )，Q (22,()x F x )为曲线y=()
F x 上的两动点，O 为坐标原点，能否使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上？请说明理由 21．（本小题满分14分）
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答．如果多做，则按所做的前两题记分。

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
曲线2
2
1:1C x y +=在矩阵0(0,0)0a M a b b ⎛⎫
=>> ⎪⎝⎭
的变换作用下得到曲线
2
22:14
x C y +=． （Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）求矩阵M 的特征值及对应的一个特征向量．
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为,(4x t y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为
θθρcos 4sin 2=．
（Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，定点(0,4)P -，求||||PA PB +的值．
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲.
若c b a ,,为正实数且满足632=++c b a ，
（1）求abc 的最大值； （2
+的最大值．
三、解答题
17、解：
(1)f ′(x )＝3x 2
－6x ＋a ， …………（2分） 由f ′(－1)＝0，解得a ＝－9. …………（3分） 则f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)，
故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－1,3)． （判断过程给两分） …………（7分）
(2)令g (x )＝f (x )－2
3(153)2x x -+＝x 3
－
92
x 2
＋6x ＋b －3， …………（8分） 则原题意等价于g (x )＝0有三个不同的根．
∵g ′(x )＝3x 2
－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)， …………（9分） ∴g (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减． …………（10分） 则g (x )的极小值为g (2)＝b －1<0，且g (x )的极大值为g (1)＝b －
1
2
>0， 解得
12<b <1. ∴b 的取值范围1
(,1)2。

…………（13分） 18、解：
(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为
7
500.14
=(人). …………（2分） ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)………（4分） (II)X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
1475025=,∴X ～7(2,)25
B .…………（5分） 218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625
P X C ===
， 2749
(2)()25625
P X ===
. …………（7分） 所求分布列为
714
()22525
E X =⨯
=
…………（9分） (III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为
8109.510.5x y ⎧⎨⎩
≤≤≤≤， …………（10分） 事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，如图所示.
∴由几何概型1111222()1216
P A ⨯⨯=
=⨯. …………（13分） 19、解：
（Ⅰ）由已知得b c =2
2
2
4
a b c =+=，∴椭圆C 方程为2
4x +（Ⅱ）①当直线l 时，则12k k ⋅=
333
42424
⨯=-+； ………………… ②当直线l 时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为 将x m y =212
y =，整理得22
(2)230m y m y ++-=． 则12y y +12232y y m -=+． …………………8分
又11x m y =21m y +
， 所以，
1k k ⋅2
234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y m y m y --=--12122
121293()93()y y y y
m y y m y y -++=-++=
．
2232546m m m ++=+2
341
4812
m m +=++……………10分 令41t m =+，则122
324225t k k t t ⋅=+-+32
254()2t t
=++-1≤
所以当且仅当5=t ，即1=m 时，取等号． 由①②得，直线l 的方程为10x y --=． ……………13分 20、解： （Ⅰ）2()32f x x x b '=-++，若()f x 存在极值点，
则2()320f x x x b '=-++=有两个不相等实数根。

所以4120b =+>， ……………2分
解得1
3b >-
……………3分 (Ⅱ) ()1a a x
g x x x
+'=+= ……………4分
当0a >时，0a -<，函数()g x 的单调递增区间为()0,+∞； ……………5分
当0a <时，0a ->，函数()g x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞。

……………7分
（Ⅲ） 当0b =且0a >时，32,1
(),ln ,1
x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩假设使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角
形，且斜边中点在y 轴上。

则0OP OQ ⋅=且120x x +=。

……………8分
不妨设10x t =>。

故(,())P t F t ，则3
2
(,)Q t t t -+。

232()()0OP OQ t F t t t ⋅=-++=，(*)该方程有解 ……………………………9分
当01t <<时，()F t =32
t t -+，代入方程(*)得23232()()0t t t t t -+-++=
即42
10t t -+=，而此方程无实数解； …………………………10分 当1t =时，(1,0),(1,2)OP OQ ==-则0OP OQ ⋅≠； …………11分 当1t >时，()F t =ln a t ，代入方程(*)得232ln ()0t a t t t -++=
即1
(1)ln t t a
=+， …………………………………12分 设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1
()ln 10h x x x
'=++>在[)1,+∞上恒成立。

∴()h x 在[)1,+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，则值域为[)0,+∞。

∴当0a >时，方程1
(1)ln t t a
=+有解，即方程(*)有解。

…………13分
综上所述，对任意给定的正实数a ，曲线上总存在,P Q 两点，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角
三角形，且斜边中点在y 轴上。

………………………………14分
（Ⅲ）（1）
623a b c =++≥ 4
3
abc ∴≤
当且仅当23a b c ==即22,1,3a b c ===时等号成立。

所以abc 的最大值为43
……3分
（2）由柯西不等式，
1a ++=当且仅当12131a b c +=+=+即2
2,1,3
a b c ===
时等号成立
的最大值为 ……………7分。