北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

线段、射线、直线（提高）知识讲解
【学习目标】
1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；
2. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；
3. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；
4. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力. 【要点梳理】
要点一、线段、射线、直线的概念及表示方法
1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：
（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．
要点诠释：
（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．
（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.
（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.
（4）线段、射线、直线都没有粗细．
2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.
要点诠释：
（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA ，射线OB 是不同的射线；
端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．
（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
3.线段、射线、直线的区别与联系
图4 图5
要点二、基本性质
1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点诠释：
（1）点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线
l 经过点O ；
②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P.
（2）两条不同的直线相交只有一个交点.
2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图7所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．
要点诠释：
（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点三、比较线段的长短
1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC 上截取AB ＝a ．
图
7
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.
2.线段的比较：
（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：
3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段
AB的中点，则
1
2
AC CB AB
==，或AB＝2AC＝2BC．
要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
【典型例题】
类型一、有关概念
1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．
【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．
【答案与解析】
解：直线有一条：直线AD；
射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；
线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．
【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．
举一反三：
【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.
【答案】
解：
∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）
∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.
类型二、有关作图
2．（2019春•高青县期中）已知平面上四点A、B、C、D，如图：
（1）画直线AD；
（2）画射线BC，与AD相交于O；
（3）连结AC、BD相交于点F．
【思路点拨】（1）画直线AD，连接AD并向两方无限延长；（2）画射线BC，以B为端点向BC方向延长交AD于点O；（3）连接各点，其交点即为点F．
【答案与解析】
解：如图所示：
【总结升华】本题主要考查直线、射线、线段的认识，掌握直线、射线、线段的特点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】下列说法正确的有 ( )
①射线与其反向延长线成一条直线；
②直线a、b相交于点m；
③两直线相交于两个交点；
④直线A与直线B相交于点M
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】C
【变式2】下列说法中，正确的个数有( )
①已知线段a，b且a-b＝c，则c的值不是正的就是负的；
②已知平面内的任意三点A ，B ，C 则AB+BC ≥AC ； ③延长AB 到C ，使BC ＝AB ，则AC ＝2AB ； ④直线上的顺次三点D 、E 、F ，则DE+EF ＝DF ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C
类型三、个（条）数或长度的计算
3. 根据题意，完成下列填空．
如图所示，1l 与2l 是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，
再画第3条直线3l ，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线4l ，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n 为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n 的代数式表示)．
【答案】3， 6， 15，
(1)
2
n n -. 【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论．
【总结升华】n(n 为大于1的整数)条直线的交点最多可有：(1)
123...(1)2
n n n -++++-=个. 举一反三：
【变式1】平面上有n 个点，最多可以确定 条直线. 【答案】
(1)
2
n n - 【变式2】一条直线有n 个点，最多可以确定 条线段， 条射线.
【答案】
(1)
2
n n-
，2n
【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?
【答案】0个，1个，2个，或3个.
4. 已知线段AB＝14cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．
【思路点拨】题目中只说明了A、B、C三点在同一直线上，无法判定点C在线段AB上，还是在线段AB外(也就是在线段AB的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM的长．
【答案与解析】
解：①当点C在线段AB上时，如图所示．
因为M是线段AC的中点，
所以
1
2
AM AC
=．
又因为AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以
1
()
2
AM AB BC
=-
1
(144)5(cm)
2
=-=．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示．
因为M是线段AC的中点，
所以
1
2
AM AC
=．
又因为AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，
所以
1
()
2
AM AB BC
=+=9(cm)．
所以线段AM的长为5cm或9cm．
【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论．
举一反三：
【变式】（2018秋•温州期末）已知点B在直线AC上，线段AB=8cm，AC=18cm，P、Q分别是线段AB、AC的中点，则线段PQ= ．
【答案】13cm或5cm．
解：当点C在点A左侧时，AP=AC=9，AQ=AB=4，
∴PQ=AQ+AP=9+4=13cm．
当点C在点B右侧时，AP=AB=4cm，BC=AC﹣AB=10cm，AQ=，AC=9，PQ=AQ﹣AP=9﹣4=5cm．故答案为：13cm或5cm．
．
类型四、路程最短问题
5.（2018春•嵊州市期末）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B 区有30人，C区有10人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）
A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间
【答案】B．
【解析】
解：①设在A区、B区之间时，设距离A区x米，
则所有员工步行路程之和=30x+30（100﹣x）+10（100+200﹣x），
=30x+3000﹣30x+3000﹣10x，
=﹣10x+6000，
∴当x最大为100时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；
②设在B区、C区之间时，设距离B区x米，
则所有员工步行路程之和=30（100+x）+30x+10（200﹣x），
=3000+30x+30x+2000﹣10x，
=50x+5000，
∴当x最大为0时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；
综上所述，停靠点的位置应设在B区．
【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可得解.
举一反三：
【变式】如图，从A到B最短的路线是（）.
A．A-G-E-B B．A-C-E-B
C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B
【答案】D
【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法中正确的是( ) .
A．直线BA与直线AB是同一条直线. B．延长直线AB.
C．经过三点可作一条直线. D．直线AB的长为2cm.
2．在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置关系是（）.
A．任意三点都不共线. B．有且仅有三点共线.
C．有两点在另外两点确定的直线外. D．以上答案都不对.
3．A、B是平面上两点，AB＝10cm，P为平面上一点，若PA+PB＝20cm，则P点（）.
A．只能在直线AB外. B．只能在直线AB上.
C．不能在直线AB上. D．不能在线段AB上．
4.根据语句“点M在直线a外，过M有一直线b交直线a于点N、直线b上另一点Q位于M、
N之间”画
图，正确
的是
( )．
5．（2018•邯郸二模）如图，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度是（）
A．8 B．9 C．8或9 D．无法确定
6．（2019•花都区一模）已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为（）
A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm
7．如图所示，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不到B地而直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有( )．
A ．20种
B ．8种
C ．5种
D ．13种
8．如图所示，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的道路构
成了一个长为8米，宽为7米的长方形，一个人从入口点A 沿着道路
中央走到终点B ，他共走了( )．
A ．55米
B ．55.5米
C ．56米
D ．56.6米
二、填空题
9.（2018春•烟台期末）在直线l 上顺次取A 、B 、C 三点，使得AB=3cm ，BC=5cm ，若点D 是线段AC 的中点，则线段DB 的长度等于 cm ．
10．如图所示，OD 、OE 是两条射线，A 在射线OD 上，B 、C 在射线OE 上，则图有共有线段________条，分别是________；共有________条射线，分别是________．
11.如图，AB=6，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，则BD+BE= ，
根据公理： ，可知BD+BE DE.
12.经过平面上三点可以画 条直线.
13．同一平面内三条线直线两两相交，最少有 个交点，最多有 个交点. 14.如图所示，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．则“17”在射线________上；“2007”在射线________上．
三、解答题
第10题
第11题
第14题
15.如图所示一只蚂蚁在A处，想到C处的最短路线，请画出简图，并说明理由.
16．小明发现这样一个问题：“在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手?”通过思考，小明得出了答案，那请问同学们：如果有n个人参加聚会，每两人都握一次手，一共要握多少次手呢?
17.（2019春•岱岳区期中）如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=8cm，N 是AC的中点，MN=6cm，求线段AB的长．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A；
2．【答案】B；
3．【答案】D；
【解析】若点P在线段AB上，则有PA+PB＝10．cm，故这种情况不可能．
4. 【答案】D；
【解析】逐一排除．
5.【答案】C．
【解析】根据题意可得：AC+AD+AB+CD+CB+DB=29，
即（AC+CB）+（AD+DB）+（AB+CD）=29，
3AB+CD=29，
∵图中所有线段的长度都是正整数，
∴当CD=1时，AB不是整数，
当CD=2时，AB=9，
当CD=3时，AB不是整数，
当CD=4时，AB不是整数，
当CD=5时，AB=8，
…
当CD=8时，AB=7，
又∵AB＞CD，
∴AB只有为9或8．
6．【答案】B；
【解析】解：如图1
由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB+BN=4+1=5cm；
如图2
由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB﹣BN=4﹣1=3cm；
故选：B．
7．【答案】D；
【解析】从A地直接到C地只有1种方案；先从A到B，再到C地有4×3＝12种方案，所以共有12+1＝13种方案可供选择．
8．【答案】C；
【解析】他走的路程分别为7.5米、6米、7米、5米、6米、4米、5米、3米、4米、2米、3米、1米、2.5米，其和为56米．
二、填空题
9.【答案】1.
【解析】如图，由题意得，AC=AB+BC=8cm，又∵D是线段AC的中点，
∴CD=（AB+BC）=4cm，∴BD=BC﹣CD=1cm．故答案为：1．
10.【答案】6，线段OA、OB、OC、BC、AC、AB； 5，射线OD、OE、BE、AD、CE．
11.【答案】5，两点之间线段最短，>．
【解析】线段的基本性质．
12.【答案】1 或3．
【解析】三点在一条直线时，只能确定一条直线；当三点不共线线上，可确定三条直线．
13.【答案】1, 3．
【解析】如下图，三条直线两两相交有两种情况：
14.【答案】OE、OC ．
【解析】当数字为6n+1(n≥0)时在射线OA上；当数字为6n+2时在射线OB上；当数字
为6n+3时在射线OC上；当数字为6n+4时在射线OD上；当数字为6n+5时在射
线OE上；当数字为6n时在射线OF上．
三、解答题
15.【解析】
解：如图所示一只蚂蚁在A处，想到C处的最短路线如图所示，
理由是：两点之间，线段最短.（圆柱的侧面展开图是长方形，是
一个平面）
16．【解析】
解：若6人，共握手：5+4+3+2+1=15（次）
若有n个人，一共要握(n-1)+(n-2)+…+4+3+2+1
(1)
2
n n-
=次手．
17.【解析】
解：由AC=8cm，N是AC的中点，得AN=AC=4cm．
由线段的和差，得
AM=AN+MN=4+6=10cm．
由M是线段AB的中点，得
AB=2AM=20cm，
线段AB的长是20cm．。