初中数学一题多解与一题多变

初中数学一题多解与一题多变
时代在变迁，教育在进步，理念在更新。

前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。

面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。

我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。

下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。

一、一题多解，多解归一
对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。

一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。

例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ，
求证：BD=CE.
E D C B A
（本题来自《几何》第2册69页例3）
思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。

其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH.
思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。

其通性是"全等三角形对应边相等"。

思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。

例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂
字母，不写推理过程）
D
思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论：
1.OA=OD；
2.BE=CE；
3.AB=AC；
4.BD=CD.
思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论：
1.∠AEC=∠AEB=∠BED=∠CED =∠ABD=∠ACD=Rt∠；
2.∠ABC=∠ACB；
3.∠DBC=∠DCB；
4.∠BAD=∠CAD；
5.∠BDA=∠CDA；
6.∠BAD=∠BCD；
7.∠CBD=∠CAD；
8.∠ABC=∠ADC；
9.∠ACB=∠ADB.
思路与解法三：从相等的弧这一角度出发，可得如下结论：
1.弧AB=弧AC；
2.弧BD=弧CD；
3.弧ABD=弧ACD；
4.弧ABC=弧ACB；
5.弧BAD=弧DAC.
思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论：
1.△AEB≌△AEC；
2.△BED≌△CED；
3.△ABD≌△ACD.
思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论：
△ABE∽△ACE∽△CDE∽△BDE∽△ABD∽△ACD，即图中所有的直角三
角形两两相似。

思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论：
1. AE ·DE=EB ·EC
2. BE 2=EA ·ED=EC 2
3. AB 2=AE ·AD=AC 2
4. BD 2=DE ·DA=DC 2
思路与解法七：从其它一些角度去思考，还可得如下一些结论：
1. AE 2+BE 2=AB 2=AC 2=AE 2+EC 2
2. BE 2+ED 2=BD 2=CD 2=CE 2+DE 2
3. ∠BAC+∠BDC=180º
4. ∠BAE+∠ABE=90º
5. BC AD S ABCD ⨯=2
1四边形
6. ACB ABC S S 弓形弓形=
以上两例分别从解法和结论发散性地分析与解决问题，其中例2虽然不要求写推理过程，但实际在分析过程中蕴含着异常丰富的思维和推断过程，如此便能很好地锻炼观察、猜想、推断、验证等探求能力和有效地发展创造性思维能力。

二、一题多变，多题归一
知识是静态的，思维是活动的；例、习题是固定的，而它的变化却是无穷的。

我们可以通过很多途径对课本的例、习题进行变式，如：
改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。

通过一题多变、多题归一的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到以一当十，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。

例3：已知，如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，
求证：EC=DF.
变式一：如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的结论：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；
4.AE+BF=AB中，正确的有（）
4
A.1、4
B.2、3、4
C.1、2、3
D.1、2、3、
变式二：把直线EF和直径AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论均不变，便得新题，变化后的图形如下：
变式三：把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN和⊙O切于点C，AB 是⊙O的直径，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
N
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）求证：AB=AE+BF；
（3）求证：BF
2
=4
EA
EF⨯
（4）如果⊙O的半径为5，AC=6，试写出以AE、BF的长为根的一元二次方程.
变式四：把直线EF动起来，由相切变为相交，在运动变化过程中猜想并推断原有的结论是否仍成立，即把原来的封闭型试题演变为动态几何探索题。

题目如下：
（1）如图，AB是⊙O的直径，直线L与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作L的垂线，垂足为E、F，则EC=CF.
（2）上题中当直线L向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1 、C2 ，其它条件不变，如图，经过推证，我们会得到与原题相应的结
论：EC1=FC2；
（3）把L继续向上平行移动，使与弦C1C2与AB交于点P（P不与A、B重合），在其它条件不变的情形下，请你在圆中将变化后的图
形画出来，标好对应的字母，并写出与（1）、（2）相应的结论
等式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由；若成
立，给予证明。

结论:_____________________________。

证明结论成立或不成立的理由:
象以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。

我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。

我会继续努力并也建议老师们深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。