人教版初中数学2011课标版八年级上册第十一章数学活动 平面镶嵌 课件(共28张PPT)
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人教版初中数学课标版八年级上册第十一章数学活动平面镶嵌共15张
360°÷90°=4
360°÷120°=3
探究一：
（四）用边长相等的正五边形能否镶嵌？
？
360°÷108°=？
探究一：
问题3.满足什么条件的边长相等的正多边形能镶嵌呢？ 1.相邻的多边形有公共边。 2.正多边的内角可以被 360°整除。
问题4.根据上面的条件，能单独用边长相等的正八边 形镶嵌吗？为什么？（正八边形每个内角是 144°）
拼了很久，都没办法 将地板铺好。
探究三：
这时，白雪公主提议：我们可以再用
和
或者
和
再多试一试，也许就成功啦！
是啊！我一块也搬 不动了，这可怎么 办，你们有什么好 办法吗？
可是，我们还没吃午饭， 每个人只能抬起一块地 砖哦！有没有办法一次 性就拼对呢？
活动：小小设计师
（1）四人一小组，打开黄色袋子，里面有好多 好多美丽的图形哦！开动脑筋，发挥自己的想象 力，你能用这些美丽的几何图形镶嵌吗？ （2）老师会从你们镶嵌的图案中，选取最漂亮 的三张，贴在黑板上。 （3）最后，每位同学都可将你手中的“赞”送 给自己最喜欢的那幅图案，赶紧来试一试，看看 自己的作品在“朋友圈”里会得到多少个“赞” 吧！
问题5.互相讨论，还能找到能单独用一种图形镶嵌的 其他正多边形60°
60°
60°
90° 90° 90° 90°
120°
120° 120°
正三角形
正方形
正六边形
探究二：
问题1.同桌合作， 打开蓝色袋子 ，有哪些我们常见的 几何图形？它们的内角有什么关系？
问题2.同桌合作，你们能用其中形状相同的三角形镶 嵌吗？如果能，请把结果贴在白纸上。
问题3.你能解释形状相同的任意三角形，在内角度数 不确定的情况下，为什么可以镶嵌呢？
人教版八年级上册第第十一章数学活动平面图形的镶嵌 课件(共46页)
探究3：
从下面边长相等的正多边形中选择两种进行 平面镶嵌，你会选择哪两种？
①
②
③
有三种选择：①②、①③、②③
①②、①③、②③这三种方案都能进行平 面镶嵌吗？
①
②
③
请大家以小组为单位，利用学具对这三种方 案分别进行探究。
如果能进行镶嵌的，拼出图形并说明理由；如果不 能进行镶嵌的说明理由。
60 4 120 ＝ 360 60 2 120 2＝ 360
四
学以致用
解决问题
学校的实验楼教室地面需要进行镶嵌装修，请你 结合所学的知识，同桌讨论后设计出你认为可行的镶 嵌方案。
同桌讨论后进行全班交流，比一比谁的设计方案
多！
利用计算机，我们可以设计出更多、更漂 亮的镶嵌图案，请欣赏！
五
归纳总结 反思提高
五
归纳总结 反思提高
1.平面图形的镶嵌的概念。 2.平面图形镶嵌的条件。
1.边长相等的两种正多形进行平面镶嵌的方案有4种：
①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形
③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形。
2.进行平面镶嵌的条件是：在同一拼接点处的各角之 和恰好为 360 ，拼接在一起的两边 相等 。
运用结论 拓展探究
进一步想一想用三种边长相等的正多边形能否镶嵌 成一个平面图案？请同学们课后思考。
60 3 90 2＝360
两种正多边形镶嵌的条件： 1.拼接在同一顶点处的各角之和恰好为360 °；如
果用a，b分别表示两种正多边形的个数，用x、y分别表示两种 正多边形一个内角的度数，则ax + by =360.
2.拼接在一起的两边相等。
数学人教版八年级上册第11章活动课平面镶嵌课件(18张ppt)
用一些不重叠摆放的图形把平面的 一部分完全覆盖，通常把这类问题 叫做覆盖平面（或平面镶嵌）。
活动1：如果只选择一种正多边 形进行平面正n边形
拼图
镶嵌在一个点处的所有角的 和
结论
分 析 数 据
n=3 n=4
6×60°= 360°
能镶嵌 能镶嵌
4×90°= 360°
圣地亚歌一位家庭妇 女，五个孩子的母亲 玛乔里·赖斯，对平 面镶嵌有很深的研 究，尤其对五边形的 镶嵌提出了很多前所 未有的结论．1968年 克什纳断言只有8类五 边形能镶嵌平面，可 是玛乔里·赖斯后来 又找到了5类五边形能 镶嵌平面，右图是她 于1977年12月找到的 一种用五边形镶嵌的 方法．用五边形镶嵌 平面，是否只有13 类，还有待研究．
n=5
3×108°= 324° 不能镶嵌 3×120°= 360°
能镶嵌
n=6 n=8
3×135°= 405° 不能镶嵌 3×140°= 420° 不能镶嵌
n=9
得出结论：
1、如果一个正多边形可以进行镶嵌， 那么镶嵌在一个拼接点处的几个正多边 形的内角加在一起恰好等于 度。
2、单一的正多边形可以进行镶嵌，那么这 个正多边形的内角一定是 的约数 （或 一定是这个多边形内角的整数倍）！ 3、单一的正多边形只有 边形 可以进行镶嵌。
活动1：如果只选择一种正多边 形进行平面正n边形
拼图
镶嵌在一个点处的所有角的 和
结论
分 析 数 据
n=3 n=4
6×60°= 360°
能镶嵌 能镶嵌
4×90°= 360°
圣地亚歌一位家庭妇 女，五个孩子的母亲 玛乔里·赖斯，对平 面镶嵌有很深的研 究，尤其对五边形的 镶嵌提出了很多前所 未有的结论．1968年 克什纳断言只有8类五 边形能镶嵌平面，可 是玛乔里·赖斯后来 又找到了5类五边形能 镶嵌平面，右图是她 于1977年12月找到的 一种用五边形镶嵌的 方法．用五边形镶嵌 平面，是否只有13 类，还有待研究．
n=5
3×108°= 324° 不能镶嵌 3×120°= 360°
能镶嵌
n=6 n=8
3×135°= 405° 不能镶嵌 3×140°= 420° 不能镶嵌
n=9
得出结论：
1、如果一个正多边形可以进行镶嵌， 那么镶嵌在一个拼接点处的几个正多边 形的内角加在一起恰好等于 度。
2、单一的正多边形可以进行镶嵌，那么这 个正多边形的内角一定是 的约数 （或 一定是这个多边形内角的整数倍）！ 3、单一的正多边形只有 边形 可以进行镶嵌。
人教版八年级数学上册第11章数学活动镶嵌课件
好漂亮的地板!这 是怎么铺设的?一点空 隙也没有.
结合刚才欣赏的美丽图案，你能说说你的理解吗？
（1）用于拼接的图案都是平面图形； （2）拼接处没有空隙，没有重叠的现象； （3）铺成的图案把一个平面完全覆盖.
想一想
铺地板的学问
砖与砖严丝合缝,不留空隙,把地面全部覆盖不重叠.
❖平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形
正六边形
你还能找到能镶嵌的其他正 多边形吗？
1.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键：这种 正多边形的一个内角的倍数是否是360°.
2 .在正多边形里只有正三角形、正四边形、正 六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶 嵌．
探究2：用边长相等的两种正多边形
镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平 面图案？
讨论
60°
150° 150°
3
1
2
4 3
1
2
探究3：
用几个形状、大小相同的任意三 角形能镶嵌成一个平面图案吗？四 边形呢？
2 31
3
1
2
3
1
2
3
1
2
23
1
1
32
23
1
3
1
2
3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180° ∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
所以 任意三角形能镶嵌成平面图案
2 34
1 43
1
2
4
把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边 形覆盖平面或平面镶嵌.
利用镶嵌可以得到一些绚丽 多彩的图案
探究1：仅用一种正多边形镶
嵌，哪些正多边形能单独镶嵌成 一个平面图案？
（1）用边长相同的正三角形能否镶 嵌？
结合刚才欣赏的美丽图案，你能说说你的理解吗？
（1）用于拼接的图案都是平面图形； （2）拼接处没有空隙，没有重叠的现象； （3）铺成的图案把一个平面完全覆盖.
想一想
铺地板的学问
砖与砖严丝合缝,不留空隙,把地面全部覆盖不重叠.
❖平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形
正六边形
你还能找到能镶嵌的其他正 多边形吗？
1.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键：这种 正多边形的一个内角的倍数是否是360°.
2 .在正多边形里只有正三角形、正四边形、正 六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶 嵌．
探究2：用边长相等的两种正多边形
镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平 面图案？
讨论
60°
150° 150°
3
1
2
4 3
1
2
探究3：
用几个形状、大小相同的任意三 角形能镶嵌成一个平面图案吗？四 边形呢？
2 31
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1
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2
3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180° ∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
所以 任意三角形能镶嵌成平面图案
2 34
1 43
1
2
4
把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边 形覆盖平面或平面镶嵌.
利用镶嵌可以得到一些绚丽 多彩的图案
探究1：仅用一种正多边形镶
嵌，哪些正多边形能单独镶嵌成 一个平面图案？
（1）用边长相同的正三角形能否镶 嵌？
人教版数学八年级上册 11.4 数学活动 -平面图形的镶嵌 课件(共45张PPT)
作镶嵌 （ 能 ）
6 4. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个 4 三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )
个四边形. 5、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是
( C ).
A
B
C
D
六、升华知识 深化认识
说说你的 收获
通过这节课的学习你有哪些收获？ 你还有什么体会吗？
我们都来做个有心人，多 思考、多研究，把学过的数学 知识应用于生活，解决生活中 的实际问题，使我们的生活更 加美好！
❖
本 课 到 此 结 束
教学后记
90°
4. 正六边形
用边长相同的正五边形不能镶嵌
你正五能边说形的说内角道不理能 吗?
组成360°的角。
13 2
∠1+∠2+∠3=?
活动一实验结论：
1.能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点： 各角之和等于360º
2.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键
是看：这种正多边形的一个内角的倍数 是否是360°，在正多边形里，正三角 形的每个内角都是60°，正四边形的每 个内角都是90°，正六边形的每个内角 都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边的 每个内角的倍数都不是360°
某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）C
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是（ ）B
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. ① ④
课堂练习
3、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独
6 4. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个 4 三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )
个四边形. 5、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是
( C ).
A
B
C
D
六、升华知识 深化认识
说说你的 收获
通过这节课的学习你有哪些收获？ 你还有什么体会吗？
我们都来做个有心人，多 思考、多研究，把学过的数学 知识应用于生活，解决生活中 的实际问题，使我们的生活更 加美好！
❖
本 课 到 此 结 束
教学后记
90°
4. 正六边形
用边长相同的正五边形不能镶嵌
你正五能边说形的说内角道不理能 吗?
组成360°的角。
13 2
∠1+∠2+∠3=?
活动一实验结论：
1.能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点： 各角之和等于360º
2.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键
是看：这种正多边形的一个内角的倍数 是否是360°，在正多边形里，正三角 形的每个内角都是60°，正四边形的每 个内角都是90°，正六边形的每个内角 都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边的 每个内角的倍数都不是360°
某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）C
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
边长为a的正方形与下列边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是（ ）B
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. ① ④
课堂练习
3、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独
人教版八年级上册第十一章数学活动平面镶嵌课件共23张
60x +90y =360
∵ x,y 为正整数
∴
x=3 y=2
即3个正三角形和2个正方形
可以进行镶嵌.
小试牛刀
正三角形和 正十二边形 能否镶嵌?
结论：
正多边形镶嵌的规律： 拼接在同一个点的各个内 角的度数和恰好等于360°.
思考：用形状、大小相同的三角形能 否进行平面镶嵌？四边形呢？
任意三角形
任意四边形
收获与启示
1、镶嵌的要求：
完全覆盖，不重叠
2、多边形镶嵌的条件
在拼接点几个角的和为360°
3、关注身边的数学
作业：
（1）收集生活中用平面图形铺 满地面的实例，看谁收集得多。
（2）设计一副用平面图形铺满 地面的美丽图案，看看谁的设计 更有新意,更漂亮。
谢谢！
小试牛刀
思考：用下列正多边形能镶嵌吗？
正九边形？
正十二 边形？
小颖家正在为新 探究活动二：用 房子装修，在他的房 两种正多边形进 间里，他想在正三角 行镶嵌需要满足 形、正方形、正五边 什么条件? 形、正六边形和正八
边形中选两种镶嵌成 地板，他有哪些选择？
正多边形
拼图
_________ 和
_________ 在拼接点的各 内角的度数和:
俄罗斯方块
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 拼图
平面镶嵌
从数学角度看，用一些 不重叠摆放的多边形把平面 的一部分完全覆盖，通常把 这类问题叫做多边形覆盖平 面（或平面镶嵌）的问题.
正多边形的镶嵌
在每个图案中,正多边形必须具备下列条件:
（1）边长相___等__,（2）顶点__共__用__,
探究活动一： 在边长 相等的正三角形、正方形、 正五边形、正六边形中取 一种正多边形镶嵌，哪几 种可以进行平面镶嵌？
人教版初中数学2011课标版八年级上册第十一章数学活动 平面镶嵌(共20张PPT)
今年，小明家准备装修，他和妈妈去建材 商店选购地砖时，发现地砖形状多数是正方形， 你知道为什么吗？ 正三角形、正六边形能镶嵌平面吗?
探究1：同一种正多边形的镶嵌
利用学具，动手试一试，下列正多边 形能否镶嵌平面?
正方形
90°
正三角形 60°
当正多边形的每个内角的度 数满足什么条件时，可以镶 120° 嵌平面？ 正六边形
探究3
因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌成平 面图案。
1
4 3 1 2 2 1 3
3
4 3
1
2
4
不动手操作，你知道任意三角形能镶 嵌成一个平面图案吗？
1
2 3
1 1
3
2
2 3
1
3
2 2 3
1 1
3
2
1
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
任意三角形能镶嵌成平面图案。
1个正六边形 4个正三角形
2个正三角形
三、反思与小结
拼接在同一个点的各个角的和恰好等 于360度
作业
历史资料：
用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载 这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。
四、作业
1、边长相等的正八边形和正方形，是否能够镶 嵌成平面？为什么？ 2、(选做）下列正多边形（边长相等）的组合中 ，能否镶嵌平面？ • （1）正六边形、正三角形和正方形 • (2)正方形、正六边形和正十二边形
共同特征： 3个正三角形和 60° 2个正方形 90°
60°× 3 +90°× 2 = 360°
探究1：同一种正多边形的镶嵌
利用学具，动手试一试，下列正多边 形能否镶嵌平面?
正方形
90°
正三角形 60°
当正多边形的每个内角的度 数满足什么条件时，可以镶 120° 嵌平面？ 正六边形
探究3
因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌成平 面图案。
1
4 3 1 2 2 1 3
3
4 3
1
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不动手操作，你知道任意三角形能镶 嵌成一个平面图案吗？
1
2 3
1 1
3
2
2 3
1
3
2 2 3
1 1
3
2
1
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
任意三角形能镶嵌成平面图案。
1个正六边形 4个正三角形
2个正三角形
三、反思与小结
拼接在同一个点的各个角的和恰好等 于360度
作业
历史资料：
用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载 这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。
四、作业
1、边长相等的正八边形和正方形，是否能够镶 嵌成平面？为什么？ 2、(选做）下列正多边形（边长相等）的组合中 ，能否镶嵌平面？ • （1）正六边形、正三角形和正方形 • (2)正方形、正六边形和正十二边形
共同特征： 3个正三角形和 60° 2个正方形 90°
60°× 3 +90°× 2 = 360°
人教版 初中数学八年级上册第十一章数学活动 平面镶嵌(共22张PPT)
4. 用一种形状、大小完全相同的任意三角形、四边形也 能进行平面镶嵌.
镶嵌与艺术
作业
收集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设 计出自己理想中的平面镶嵌图案。
注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.
合作探究
活动1：探究用边长相同的一种正多边形镶嵌
分别剪一些边长相同的正三角形，正方形，正五边 形，正六边形，正八边形，正十边形，如果用一种 正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面 图案。拼拼看。
正三角形的平面镶嵌
6个正三角形可以镶嵌
正方形的平面镶嵌
4个正方形可以镶嵌
正五边形的平面镶嵌
正五边形不能镶嵌
13 2
正六边形的平面镶嵌
3个正六边形可以镶嵌
？ 为什么边长相等的正五边形不能镶嵌， 而边长相等的正三角形 正四边形 正 六边形能镶嵌？
老师买了一部分正八边形地砖，能不能单独进行 铺设地面？
平面镶嵌的两个条件
（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360° （2）相邻多边形有公共边
60a+120b=360 即 a +2b=6 所以 当a=2时，b=2；当a=4时，b=1. 答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边 形1个.
活动3：探究用边长相同的三种正多边形镶嵌
ax+by+cz=360
（a、b 、c 为同一顶点处正多边形的个数，x、 y 、z 分别 为正多边形的一个内角度数，a、b、c、x、y、z为正整数）
课堂小结
1.平面镶嵌的两个条件: 1.同一拼接点处的各个角的和恰好等于周角360°;
2.相邻的三角形或四边形有公共边 2. 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有：
正三角形，正四边形，正六边形. 3. 用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌的条件
镶嵌与艺术
作业
收集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设 计出自己理想中的平面镶嵌图案。
注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.
合作探究
活动1：探究用边长相同的一种正多边形镶嵌
分别剪一些边长相同的正三角形，正方形，正五边 形，正六边形，正八边形，正十边形，如果用一种 正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面 图案。拼拼看。
正三角形的平面镶嵌
6个正三角形可以镶嵌
正方形的平面镶嵌
4个正方形可以镶嵌
正五边形的平面镶嵌
正五边形不能镶嵌
13 2
正六边形的平面镶嵌
3个正六边形可以镶嵌
？ 为什么边长相等的正五边形不能镶嵌， 而边长相等的正三角形 正四边形 正 六边形能镶嵌？
老师买了一部分正八边形地砖，能不能单独进行 铺设地面？
平面镶嵌的两个条件
（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360° （2）相邻多边形有公共边
60a+120b=360 即 a +2b=6 所以 当a=2时，b=2；当a=4时，b=1. 答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边 形1个.
活动3：探究用边长相同的三种正多边形镶嵌
ax+by+cz=360
（a、b 、c 为同一顶点处正多边形的个数，x、 y 、z 分别 为正多边形的一个内角度数，a、b、c、x、y、z为正整数）
课堂小结
1.平面镶嵌的两个条件: 1.同一拼接点处的各个角的和恰好等于周角360°;
2.相邻的三角形或四边形有公共边 2. 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有：
正三角形，正四边形，正六边形. 3. 用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌的条件
人教版初中数学2011课标版八年级上册第十一章数学活动 平面镶嵌(共36张PPT)
作业： 写一篇关于平面 镶嵌的小论文
地砖商店
货 真 价 实
正十边形
正十二边形
物 美 价 廉
谁来告诉我 该如何选择？
我的设计方案
用三种正多边形 还有其它能镶嵌 的情况吗？
参 考 表 格
用四种正多边形可 以平面镶嵌吗？
3 2
1
3
1
2 3
1
2
小结：本节课
我们学习了平面镶嵌的有关知 识,现在请同学们归纳总结一下
你收获了什么？
课题名称：《平面镶嵌》 人教版八年级上册 第十一章 数学活动
图案欣赏
平面镶嵌:
用形状、大小完全相同的一 种或几种平面图形拼接，彼 此之间不留空隙、不重叠铺 成一片，就叫平面图形的密 铺也叫平面镶嵌。
活动一:
我们要为班级教室地面重新 铺地砖 只用一种地砖 去商店
请同学们动手操作完成实验 报告，总结实验结论
360 °不能被135 ° 整除
正三角形镶嵌
正四边形镶嵌
用 正 五 边 形 镶 嵌
不能镶嵌，因为有空隙
用 正 六 边 形 镶 嵌
正八边形能镶嵌
不能镶嵌有重叠
用同一种正多边形镶嵌，有几种情况
1、正三角形 同一顶点处需要六个正三角形
2、正四边形 同一顶点处需要四个正四边形
3、正六边形 同一顶点处需要三个正六边形
活动二:
甲同学反映用一种地砖 太单调 想用两种地砖 装饰教室地面，请同学 们先到商店挑选地砖再 分组操作 设计方案 交流展示
地砖商店
新 货 上 市
正十边形
正十二边形
用两种不同的正多边 形镶嵌有哪些类型？
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 正十边形 正十二边形
人教版数学八年级上册第11章： 数学活动 平面镶嵌-课件(共58张PPT)
•练习二
•1、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单
独作镶嵌 （ 能 ）
•2. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( 6 )
个三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放
( 4 )个四边形.
•3、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的
是( C ).
A
B
C
D
请你用课上所学知识， 设计一幅镶嵌艺术画.
思考2：正五边形怎样才能进 行平面镶嵌呢？
五边形三 个内角的 和为324°
探究2：
你能设计出由两种正 多边形组合在一起的平面 镶嵌图案吗？
正六边形
正三角形
边长 相等
活动2：
用边长相等的正三角 形和正六边形进行平面镶 嵌，你能拼出几种不同的 图案？
正三角形与正方形
还有没有其他的两种多边形组合镶 嵌的形式呢？
有重叠
问题：用m个相同的正n边形进行 平面镶嵌，n的可能值是多少？
设m个相同的正n边形镶嵌成平面.
(n 2) 1800 m 3600 n
（n－2）m＝2n.
m
2n n2
2n 4 n2
4
（2 n-2)+4 n-2
2
4. n2
结论1：在正多边形
里只有正三角形、 正方形、正六边形 可以进行一种正多 边形的平面镶嵌.
勤 劳 ,为 水 利 工作做 出了骄 人的业 绩。***就 是其 中的一 位。 •***,现 年 34岁 ,大 专 文 化程 度,中共 党员,1998年 参 加工作 ,历任局 工管科 副科长 、科 长 、 副 主 任 科员、 ***水库 除险加 固工程 后任主 管工程 建设的 副局长 。几年 来,***扎 根 ***库 区 管 理 局,把 自己的 热血与 汗水,聪 明与 才智,勤 奋与忠 诚,毫不 保留地 献给了 ***,为 水 库 的 经 济建 设与社 会各项 事业发 展做出 了应有 的贡献 。他以 求真务实的工 作 作 风 、 勇 于负责 的敬业 精神,精 益求精 的工作 标准,有 目共睹 的骄人 业绩,赢 得了 党 员 干 部 职 工的赞 誉和褒 奖,他多 年被评 为“优 秀共产 党员”、 “先进 工作者 ”,这些荣 誉 和 光 环 背 后,凝聚 着他辛 勤的汗 水,诠释 着他呕 心沥血 、矢志 不渝的艰苦奋斗历程 ,也 激 发 着 他 更加地 奋勇前 进,他犹 如一匹 不知疲 倦的“千 里马 ”,以朴 实无华 的言行
初中数学2011课标版八年级上册第十一章数学活动 平面镶嵌 课件(共16张PPT)
思
阅读平面密铺的定义，找出它的关键 字句。
定义： 用形状和大小完全相同的一种
或几种平面图形进行拼接，彼此之间不 留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平 面的密铺，又称平面的镶嵌。
探究
一、动手拼一拼
1.用形状、大小完全相同的正三角 形能进行密铺吗？试一试。
探究 2.用形状、大小完全 相同的正四边形能 进行密铺吗？试一试。
数学活动
平面的密铺
导
图 片 欣 赏
导
图 片 欣 赏
导
用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖 与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙 面全部覆盖。从数学角度去分析，这些 工作就是用一些不重叠摆放的多边形把 平面一局部完全覆盖，通常把这类问题 叫做平面的密铺或叫平面的镶嵌。
都能用哪些形状的多边形进行平面 的密铺呢？为什么能用这种形状的多边 形进行平面的密铺呢？就让我们带着这 些问题走进今天的课堂------平面的密铺。
如：1个正方形，1个正六边形和1个正十二边形可以密铺。 阅读平面密铺的定义，找出它的关键字句。 设多边形的边数为n，顶点处多边形的个数为m. 当然，也可以用三种及以上正多边形密铺。 阅读平面密铺的定义，找出它的关键字句。 图形进行密铺时有什么特点？还能找到能进行密铺的其它正多边形吗？结合本章所学知识说说你的想法。 小结：谈谈本节的收获。 当然，也可以用三种及以上正多边形密铺。 设多边形的边数为n，顶点处多边形的个数为m. 小结：谈谈本节的收获。 小结：谈谈本节的收获。 归纳:可以用一种正多边形密铺的图形只有： 要用正多边形密铺成一个平面的关键是： 如：1个正方形，1个正六边形和1个正十二边形可以密铺。 如：1个正方形，1个正六边形和1个正十二边形可以密铺。
〔n-2〕·180°/n=360°/m 归纳:可以用一种正多边形密铺的
人教版八年级数学上册 第11章 拓展课件 镶嵌(共46张PPT)
60° 90° 108° 108° 120°
K= 6 K= 4
能镶嵌 能镶嵌
K= 3 不能镶嵌
K= 4 不能镶嵌
K= 3
能镶嵌
6×60°= 360° 能镶嵌 4×90°= 360° 能镶嵌
3×108°＜ 360° 不能镶嵌
4×108°＞ 360°不能镶嵌
3×120°= 360° 能镶它们有哪些共同特征？
【1】不重叠 【2】完全覆盖
从数学角度看，用一些不重叠摆 放的图形把平面的一部分完全覆 盖，通常把这类问题叫做覆盖平 面（或平面镶嵌）的问题
(一)提出问题
1)观看下面地板的拼合图案
1）它们是何种正多边形拼成的？ 2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？ 3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙 的地板呢?
能，因为三角形三个内角的 和为180°将三角形三个不 同的内角绕一点可围成一个
平角，六个内角可围成一个 360°周角，因此，任意一 种三角形能铺满平面。
2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌 成一个平面图案吗？
能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角 绕一点可围成一个周角，
因此，任意一种四边形能铺满平面。
m·108 +n·144 =360
3m+4n=10
∵ m,n 为正整数
m=2
∴解为
n=1
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的 规律：拼接在同一个点 的各个角的和恰好等于 360°（周角）。
探究新知(四)
思考同一种任意三角形可否嵌 成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成 一个平面？
想一想
1）用一种普通的三角形形状的地砖 能镶嵌成一个平面图案吗?
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
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2、无空隙、不重叠铺成一片。
探究
哪些图形可以单独密铺， 哪些图形不可以单独密铺？
探究活动（一）
用形状、大小完全相同的 三角形能否密铺呢？首先 来研究：
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60° 60°
探究活动（二）
用同一种四边形可以密铺吗？ 也请研究：
正方形的平面镶嵌
90°
探究活动（三）
1.正五边形能密铺吗？ 2.正六边形能密铺吗？ （组内分组研究）
做一做
正五边形可以密铺吗？
1 3 2
正六边形的平面镶嵌
A
正多边形可以密铺的条件：
o 每个内角都能被360 整除。
能否 平面 镶嵌
正三角形
能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
正方形
能
4
正五边形
不能
正六边形
能
3
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D ）
请观察,这些图形在拼接时有什么特点?
共同特征：1.不重叠 2.没有缝隙
学一学
平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）:
用形状和大小完全相同的一种或几种 平面图形进行拼接，彼此之间不留空 隙、不重叠地铺成一片，这就是平面 图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
密铺的两个条件：
1、一种或几种平面图形；
结论：
可以用同一种正多边形密 铺的图形只有正三角形，正四 边形，正六边形.
思考: 用一种形状、大小完全相同的一 般的三角形，四边形也能进行平面 镶嵌吗？
B
探究活动(四)
----创意空间
用同一种平面图形如果 不能密铺,用两种或者两 种以上平面图形能不能 密铺呢?（我们就以正三角形 和正方形为例探讨一下）
A、三角形
B、正方形
C、任意四边形
D、正八边形
2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ B ）
பைடு நூலகம்A、 3
B 、4
C、 5
D 、6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ）
A、3 B、 4 C、5 D、6
m 3 60m 90n 360 n 2
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 方形的角，那么
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
C
归纳小结：要能密铺，必 须每个结点处的所有角度 之和为360度。
回家为自己和爸 爸妈妈设计一幅 美丽的墙画吧！