高中数学必修二 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)

专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析
二、考点梳理
考点一直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
考点二平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
考点三知识拓展
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
四、题型分析
重难点题型突破1 线面垂直
例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )
A.若m⊂α，则m⊥β
B.若m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C.若m⊄α，m⊥β，则m∥α
D.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C
【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.
【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n
B.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β
C.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β
D.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B
【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.
例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1
2
AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：
(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.
【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.
因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.
因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝1
2AB ，DF ∥AB ，
所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，
所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.
因为PD＝AD，所以MD⊥PA.
因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.
因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.
重难点题型突破2 面面垂直
例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
【答案】D
【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，
BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故选项A正确；
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
且AE，PE⊂平面PAE，
所以BC⊥平面PAE，
因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，
又DF⊂平面PDF，
从而平面PDF⊥平面PAE.
因此选项B，C均正确．
【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′­FED的体积有最大值．
A．①B．①②
C．①②③D．②③
【答案】C
【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.
例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)求点A到平面PBE的距离．
【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，
由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，
因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，
所以PF 为三棱锥P ­ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，
因为V A ­PBE ＝V P ­ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝85
3，
即点A 到平面PBE 的距离为
85
3
. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面
ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．
(1)求证：PE ⊥BC ；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .
证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .
因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .
(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，
因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .
(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝1
2
BC .
因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝1
2BC .
所以DE ∥FG ，DE ＝FG .
所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .
又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .。