江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期阶段练习二数学(文)试题含答案
江苏省泰州市泰兴市2015届高三上学期期中考试数学试卷
2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B= ．2．已知，则= ．3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是 （填“真”或“假”之一）命题．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y= ．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= ．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为 ．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 ．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是 ．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．12．将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 ．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为 ．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是 ．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围． 2014-2015学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，则A∩B= （1，2） ．考点： 交集及其运算．专题： 计算题．分析： 求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：由A中的函数y=lg（2x﹣x2），得到2x﹣x2＞0，即x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中的函数y=2x，x＞0，得到y＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2）．故答案为：（1，2）点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知，则= ．考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 计算题．分析： 根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答： 解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评： 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题． 3．命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，则命题P的否命题是 假 （填“真”或“假”之一）命题．考点： 命题的真假判断与应用．专题： 计算题．分析： 写出命题的否命题，然后判断否命题的真假即可．解答： 解：命题P：“若，则a、b、c成等比数列”，命题P的否命题是：“若，则a、b、c不成等比数列”．否命题中，，可以有ac=b2，a、b、c成等比数列，所以否命题不正确．故答案为：假．点评： 本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，考查基本知识的应用．4．如果x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数（x、y是实数），则x+y= ．考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用共轭复数的定义即可得出．解答： 解：∵x﹣1+yi，与i﹣3x是共轭复数，∴﹣3x=x﹣1，﹣y=1，解得x=，y=﹣1．∴x+y=．故答案为：﹣．点评： 本题考查了共轭复数的定义，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28= 3n﹣2m ．考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分析： 由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答： 解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评： 本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．6．已知O、A、B三点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（0，3），且P在线段AB上，=t（0≤t≤1）则•的最大值为 9 ．考点： 平面向量数量积的含义与物理意义．专题： 计算题．分析： 先利用响亮的三角形法则将用表达，再由数量积的坐标运算得到关于t的式子求最值即可．解答： 解：•=====（1﹣t）9因为0≤t≤1，所以（1﹣t）9≤9，最大值为9，所以•的最大值为9故答案为：9点评： 本题考查向量的表示、数量积运算等知识，属基本运算运算的考查．7．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= 8 ．考点： 数列的函数特性．专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析： 把数列a n==1+，根据单调性，项的符号判断最大项．解答： 解：∵a n=（n∈N*），∴a n==1+根据函数的单调性可判断：数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，∴a8为最大项，故答案为：8点评： 本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．8．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 ．考点： 函数的值；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答： 解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评： 本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．9．函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于 4 ．考点： 正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．专题： 计算题．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答： 解：函数y1==2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．点评： 本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．10．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是 1 ．考点： 向量在几何中的应用．专题： 压轴题；平面向量及应用．分析： 利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．解答： 解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案为：1．点评： 本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是 ．考点： 两点间的距离公式．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答： 解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评： 本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•德州一模）将函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为 2 ．考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在上为增函数，说明，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．解答： 解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖．13．定义f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2．若对任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），则实数a的取值范围为 ．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）=2x2=（x）2=f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a≥恒成立，即a≥﹣x+=恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max=（a+2），即a≥（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故答案为：．点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．14．对任意的x＞0，总有 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，则a的取值范围是 （﹣∞，lge﹣lglge] ．考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 把不等式变形，然后分x≥1和0＜x＜1两种情况讨论，对于0＜x ＜1时，借助于导数求函数的最小值得答案．解答： 解：由 f（x）=a﹣x﹣|lgx|≤0，得a≤x+|lgx|．当x≥1时，化为a≤x+lgx，知a≤1；当0＜x＜1时，化为a≤x﹣lgx，令g（x）=x﹣lgx，则，由，得x=lge．当x∈（0，lge）时，g′（x）＜0，当x∈（lge，1）时，g′（x）＞0，∴当x=lge时，g（x）有最小值为lge﹣lglge．综上，a的取值范围是（﹣∞，lge﹣lglge]．故答案为：（﹣∞，lge﹣lglge]．点评： 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．设集合A={x|x2﹣（a+4）x+4a=0，a∈R}，B={x|x2﹣5x+4=0}．求（Ⅰ）若A∩B=A，求实数a的值；（Ⅱ）求A∪B，A∩B．考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 集合．分析： 本题考察集合的运算中的交集和并集，先对集合A，B进行化简，然后按运算法则运算即可．解答： 解：A={x|x=4，或x=a}，B={x|x=1，或x=4}．（Ⅰ）∵A∩B=A，∴A⊆B，由此得，a=1或a=4（Ⅱ）若a=1，则A=B={1，4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；若a=4，则A={4}，∴A∪B={1，4}，A∩B={4}；若a≠1、4，则A={4，a}，∴A∪B={1，4，a}，A∩B={4}．点评： 本题考查集合运算，属于基础题．注意元素的互异性和确定性．16．已知函数f（x）=sincos+cos2（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x 的范围及此时函数f（x）的值域．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题： 解三角形．分析： （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答： 解：（1）f（x）=sin+（1+cos）=sin+cos+=sin（+）+，由sin（+）=0，得+=kπ（k∈Z），解得：x=，k∈Z，则对称中心的横坐标为（k∈Z）；（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx==≥=，∴≤cosx＜1，即0＜x≤，∴＜+≤，∴＜sin（+）+≤1+，即f（x）的值域为（，1+]，综上所述，x∈（0，]，f（x）值域为（，1+]．点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧上的一点．（1）若∠AOP=30°，求的值．（2）若，①求λ，μ满足的条件；②求λ2+μ2的取值范围．考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．专题： 解三角形．分析： （1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ2+μ2的取值范围即可．解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°，∴•=0，则•=•（﹣）=•﹣•=﹣cos30°=﹣；（2）①由余弦定理，知=cos60°=，整理得：=，即λ2+μ2=1+λμ，则λ，μ满足的条件为；②由λ≥0，μ≥0，知λ2+μ2=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），由λ2+μ2=1+λμ≤1+，得到λ2+μ2≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），则λ2+μ2的取值范围为[1，2]．点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元．而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元．若总用电量为S千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时．（1）写出实行峰谷电价的电费y1=g1（x）及现行电价的电费y2=g2（S）的函数解析式及电费总差额f（x）=y2﹣y1的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由．考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题．分析： （1）总用电量为S千瓦时，高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费y1=0.56x+（S﹣x）×0.28；现行电价的电费y2=0.53S；作差比较y2﹣y1即可．（2）省钱时y2﹣y1＞0，可得＜；对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以能省钱．解答： 解：（1）若总用电量为S千瓦时，设高锋时段用电量为x千瓦时，则低谷时段用电量为（S﹣x）千瓦时；实行峰谷电价的电费为y1=0.56x+（S﹣x）×0.28=0.28S+0.28x；现行电价的电费为y2=0.53S；电费总差额f（x）=y2﹣y1=0.25S﹣0.28x，（0≤x≤S）（2）可以省钱，因为f（x）＞0，即0.25S﹣0.28x＞0，∴＜．对于用电量按时均等的电器，高峰用电时段的时间与总时间的比为．所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱．点评： 本题考查了与实际生活相关的峰谷用电问题，并通过作差来比较函数值的大小，属于基础题目．19．已知数列{a n}、{b n}，其中，a1=，数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n∈N*），数列{b n}满足b1=2，b n+1=2b n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列{c n}满足c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点： 数列与不等式的综合．专题： 综合题；不等式的解法及应用．分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n}的通项公式．b1=2，b n+1=2b n可知{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n}的通项公式．（2）b n=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+恒成立，由此能导出m的最小值．（3）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c n}的前n项和T n．解答： 解：（1）因为．当n≥2时，，所以所以（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，即． …2分又，所以==．…4分当n=1时，上式成立，因为b1=2，b n+1=2b n，所以{b n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．…6分（2）由（1）知，则．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，即恒成立，由，解得m≥16．…9分所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，此时，m的最小值为16．…11分（3）当n为奇数时，=[2+4+…+（n+1）]+（22+24+…+2n﹣1）==；…13分当n为偶数时，=（2+4+…+n）+（22+24+…+2n）==．…15分因此． …16分．点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．20．已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析： （1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答： 解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t的取值范围是或或t=．点评： 本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。
江苏省泰州市2015届高三上学期期末考试(期末考试)_数学试题_含答案
江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试数 学 试 题(考试时间：120分钟 总分：160分) （参考公式：2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-++-，121()n x x x x n=+++）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B = ▲ ．2.函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3.复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．5.执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲ ．6.若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ▲ ．7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．8.等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ．9.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．10.双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ．11.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号）①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直．③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． 12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ． 13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且2227a b c ++=则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．14.在梯形ABCD 中，2AB DC =，6BC =，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足DP BP AP 4++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ． （１）求sin()4πα+的值；（２）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点． （1）求证：直线//OG 平面EFCD ；（2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ 构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ．（1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列； （3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试数 学 试 题(附加题)B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线:20l x y '+-=，求直线l 的方程．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，求弦AB 的长． ．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．(1)若异面直线O P '与BC '所成角的余弦值为55，求DP 的长度;(2)若2DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．23.（(本小题满分10分)记r i C 为从i 个不同的元素中取出r 个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212r i C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中}{2,3,4,5,6,7,8,9,10i ∈，每一个r i C （=r 0,1,2,…,i ）都等可能出现．求E ξ．泰州市2015届高三第一次模拟考试数学参考答案一、填空题1．{}3,4； 2．23π； 3．43i -； 4．[2,)+∞； 5．4； 6．2； 7．13； 8．214-； 9．1-； 10．53；11．②④； 12．[ ； 13； 14二、解答题15. 解：（１）∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin ,cos 55αα==，……………4分∴43sin()sin coscos sin44455πππααα+=+==……………7分 （２）∵(3,4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3,4)Q -．………………………………9分 ∴(3,4),(3,4)OP OQ ==-，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-． ……………１４分 16. 证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，ACBD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =， FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥， ∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EODO O =，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分 17. （１）解：连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ， ∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =，∴112CD PQ ==， PRQ ∆为等腰直角三角形，PQ 为斜边，112RO PQ ∴==，1122NO RO ==．∵1MN =，∴12MO =．………………3分在Rt BMO ∆中，1BO =，∴2BM ==∴2AB BM == ……………6分 （２） 解法１ 设BOM θ∠=，02πθ<<．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=． ∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴BC AD ==……………………………………………………8分∴2(sin cos c AB CD BC AD θθ=+++=++………………10分≤=（当12πθ=或512π时取等号）∴当12πθ=或512πθ=时，周长c的最大值为km ． …………………14分 解法２ 以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(,)B m n ，,0m n >，221m n +=，(1,)C m m -，∴2AB n =，2CD m =，BC AD ==．……………………………8分∴2(c AB CD BC AD m n =+++=++ ………………………10分≤=（当m =，n =或m =，n =时取等号）∴当m =，n =或m =，n =时，周长c 的最大值为km ． ……………１４分18. 解：（1）设00()2P x x ， ∵直线PQPQ =2200)3x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b +=，∵c e a ===，∴224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………６分 （２）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ，直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ………………12分∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． ………………16分19．证明：（１）设数列}{n a 的公差为d ， ∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列}{n b 是公差为d -的等差数列． ………………４分 （２）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+， ∵数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列}{n a 从第二项起为等差数列． ………………１０分 （３）数列}{n a 成等差数列．解法１ 设数列}{n b 的公差为d '， ∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=-， 设211212222n n n n n T b b b b --=+++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++，两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-， ∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---，∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--， ………………１２分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-，∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=，∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列}{n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列， ………………１４分 ∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列}{n a 是公差为d '-的等差数列． ………………１６分 解法2 ∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ………………１２分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列}{n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--， ………………１４分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列}{n a 是等差数列． ………………１６分20. 解：（1）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥，即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………4分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-，即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， 令10t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……７分令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t ttϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ………………１０分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-，即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-， 即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………１２分不妨令120x x <<，记211xt x =>，令2(1)()l n (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+，∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<=-=∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512e =+-≈<，∴1G =>>>，即2122x x e >． ………………１６分附加题参考答案21.A ．证明：∵EA 与O 相切于点A ．由切割线定理：2DA DB DC =⋅．∵D 是EA 的中点，∴DA DE =．∴2DE DB DC =⋅ ． ………………５分∴DE DBDC DE=．∵EDB CDE ∠=∠ ∴EDB CDE ∆∆∴DEB DCE ∠=∠……１０分21.B .解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………５分设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴22x x yy y '=-⎧⎨'=⎩． 代入l '，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =． ………………１０分 21.C .解：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ………………5分圆心O 到直线l的距离d ==AB ==………１０分 21.D . 证明：∵正实数,,a b c 满足3a b c ++=，∴3a b c =++≥1abc ≤， ………………5分∴2223b c a a b c ++≥=≥． ………………１０分22. 解：（1）以,,DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 由题意，知(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '.设(,,0)P t t ，∴(1,1,1)O P t t '=---，(2,0,1)BC '=-. 设异面直线O P '与BC '所成角为θ，则cos 2(O P BC O P BC θ''⋅===''⋅， 化简得：2212040t t -+=,解得：23t =或27t =，DP =或DP = ………………5分 （2）∵2DP =，∴33(,,0)22P ，(0,2,1)DC '=,(2,2,0)DB =，13(,,1)22PA '=-,31(,,1)22PC '=-，设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z =，∴110n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y z x y +=⎧⎨+=⎩，即11112z y x y =-⎧⎨=-⎩，取11y =-，1(1,1,2)n =-，设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =，∴2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴2222221302231022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z y x y =⎧⎨=⎩，取21y =，2(1,1,1)n =，设平面PA C ''与平面DC B '所成角为ϕ，∴1212cos 36n n n n ϕ⋅===⋅， ∴sin 3ϕ=． ………………１０分 23.解：∵ 212ri C i ≤， 当2i ≥时，2112i iiC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤，∴当25,*i i N ≤≤∈时，212ri C i ≤的解为0,1,,r i =． ………………3分当610,*i i N ≤≤∈， 112r ri i i C C r +-≥⇔≤，由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知：当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212ri C i ≤成立， 当3,,3r i =-时，321r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即21ri C i >．……………6分…………………………………………8分∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． ………………………………………10分。
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三数学下学期阶段练习一
泰兴市第一高级中学2015年春学期阶段练习一高 三 数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1.设集合{}1,A a =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为_____． 2.复数1z i =+，且)(1R a zai∈-是纯虚数，则实数a 的值为______. 3.下表是抽测某校初二女生身高情况所得的部分资料(身高单位：cm,测量时精确到1cm).已知身高在151cm 以下(含151cm)的被测女生共3人．则所有被测女生总数为 .4.已知某算法的伪代码如图所示，则可算得(1)(e)f f -+的值为 ．5.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则()x f 的单调递减区间为 ．6. x 、y 中至少有一个小于0是x +y <0的_____________条件. (充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)7.设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 .8.已知函数()f x 的导数()f x '＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是 ．9.等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q 为____.10. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ． 12.若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q分组 [145.5，148.5） [148.5，151.5） [151.5，154.5） [154.5，157.5） [157.5，160.5） [160.5，163.5） [163.5，166.5） [166.5，169.5]频率 0.02 0.04 0.08 0.12 0.30 0.20 0.18 0.06 第4题Read xIf 0x > Then()ln f x x ← Else()2x f x ← End If Print ()f x13xyO第5题· 1-1关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有________对．13.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 14. 设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，1sin(2)22C π-=，且222a b c +<. （1）求角C 的大小； （2）求a bc+的取值范围．16. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ，BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．PBCDEA(第16题图)17.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255． （1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.18.由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t （单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值；(3) 由（2），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1233x y ≤-≤类比为2313x y≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1） （图2）MxyT GPONA 1 A 2B 1B 2F 1F 219. 已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t ．（1）若0,3a b ==，函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围； （2） 当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，求b 的取值范围； （3）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且23a b +<，O 是坐标原点， 证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.20.在数列{}n a 中，11a =，且对任意的k ∈*N ，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ．（1）若k q = 2（k ∈*N ），求13521k a a a a -++++；（2）若对任意的k ∈*N ，k a 2,12+k a ,22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2，试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学附加题（春第一阶段练习）1.设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为23)4sin(=-πθρ.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆1916:22=+y x C 上一点,求P 到直线l 的距离的最大值.班 级_________ 姓 名_________ 考试号_________3.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．4.设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．（1）若d =3，试判断()1mx x+的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，()1mx x+的展开式中均不含常数项．PABC DE高三数学春阶段一参考答案1. 02. 13. 504.325. ()8781,Z 333k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦6. 必要不充分7.4327 8. (－1,0) 9. 512- 10. x ±2y ＝0 11. 10 12. 213. 2 14. [－1，1]15. 解：（1）（法一）因为222a b c +<，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角． ………………………2分因为1sin(2)22C π-=，32222C πππ<-<，所以5226C ππ-=，解得23C π∠=.6分（法二）因为222a b c +<，由余弦定理得，222cos 02a b c C ab+-=<，所以∠C 为钝角.2分所以22C ππ<<，又cos 2sin(22C C π=--)，所以1cos 22C =-，解得423C π=，即23C π∠=． …………………6分 （2）（法一）由（1）得，,033B A A ππ∠=-∠ <<，根据正弦定理得，sin sin()sin sin 3sin sin A A a b A B c C Cπ+-++== ………………8分 2312[sin (cos sin )]sin()22333A A A A π=+-=+， ……………11分因为2333A πππ<+<，所以3sin()123A π<+≤，从而a b c +的的取值范围是23(1,]3． ……………………………14分 （法二）由（1）得，23C π∠=，根据余弦定理得，2222222cos 3c a b ab a b ab π=+-=++ …………………………8分22223()()()()24a b a b ab a b a b +=+-≥+-=+，所以2423(),33a b a b c c ++≤ ≤， ………………………………………11分 又,a b a b c c ++> >1，从而a b c +的的取值范围是23(1,]3． ……………14分 16. 证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………4分因为AP /平面BDE ，OE 平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． ………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面PAB ． ………………………8分 因为AP 平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB 平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………12分 因为BE 平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC 平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． ………………………14分 17. 17．（1）因为椭圆C 的离心率e ＝32， 故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ． 直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0，即mx －2my －2m 2＝0． 所以2m2m 2＋4m 2＝255，解得m ＝1．………………… 4分所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 6分（2）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0), 直线PA 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1； 直线PA 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1；………………… 8分 解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ),则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2．OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2．OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02．…………… 10分而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4，所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 14分解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02,而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4．由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 14分18.解：(1)503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩ ………………… 1分21()(4)6(012)16Q t t t =--+≤≤． …………………2分21()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+ （36)t <≤……………… 3分'23(()())[(3)33]16P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增当t =6时，max [()()]P t Q t =34.5．………………… 5分∴6月份销售额最大为34500元 ．………… 6分 (2) ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x ，z =x —5y ．令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ，………………… 8分 ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ， ∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ． ……………… 12分(3)类比到乘法有已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤71115y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A·(y x )B ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ．∴251)(12112≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴253431211≤≤z ，则(z )max = 25343． ………………… 16分19. 解：（1）当0,3a b ==时，322()3,'()36f x x x f x x x =-=-，令'()0f x =得0,2x =，根据导数的符号可以得出函数()f x 在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值．函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要0t <且32t +>即可，即只要10t -<<即可． 所以t 的取值范围是(1,0)-． ………………… 4分（2）当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 即2ln 10x bx x -++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，也即ln 1x b x x x ≤++在对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立．…………………6分令ln 1()x g x x x x =++，则22221ln 1ln '()1x x xg x x x x--=+-=． 记2()ln m x x x =-，则2121'()2x m x x x x-=-=，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点22x =，…………………8分故也是最小值点，所以212()()ln 0222m x m ≥=->， 从而'()0g x >，所以函数()g x 在1[,)2+∞单调递增．函数min 15()2ln 222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．故只要52ln 22b ≤-即可．所以b 的取值范围是5(,2ln 2]2-∞- ………………… 10分（3）假设OA OB ⊥，即0OA OB =， 即(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t =+=， 故()()()()1s a s b t a t b ----=-，即22()()1st s t a a st s t b b ⎡⎤⎡⎤-++-++=-⎣⎦⎣⎦．由于,s t 是方程'()0f x =的两个根，…………………12分故2(),,033abs t a b st a b +=+=<<．代入上式得2()9ab a b -=．229()()4423612a b a b ab ab ab +=-+=+≥=，…………………14分即23a b +≥，与23a b +<矛盾，所以直线OA 与直线OB 不可能垂直．…………………16分 20. 解：（1）因为k q = 2，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项为1，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143k kk a a a a --++++==--， ……………………4分（2）①因为k a 2,12+k a ,22+k a 成等差数列，所以212+k a =k a 2+22+k a ， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k k q q ++=，即111kk kq q q +--=，……7分 得1111111k k k k q q q q +==+---，即111111k k q q +-=--，所以11k k b b +-=， 所以{}k b 成等差数列，且公差为1． ……………………………………9分②因为1d =2，所以，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-，…………10分 当22a =时，q 1= 2，所以b 1=1，则b k =1+（k —1）= k ，即11k k q =-，得1k k q k +=， 所以221211)k k a k a k +-+=(， 则2222212132112123112)))11)11k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(+-，……12分则2212(1)(1)1k k ka k a k k k q k++===++， 所以2121k k k d a a k +=-=+，故(3)2k k k D +=，……………………………14分 当21a =-时，q 1= -1，所以b 1=12-，则b k =12-+（k —1）= k 32-，即1312k k q =--，得12123232k k k q k k --==--，所以2212121)23k k a k a k +--=(-， 则2222212132112123121231)))11)23251k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(⋅(⋅⋅⋅⋅⋅(⋅=(2----，所以2212(21)(21)(23)2123k k ka k a k k k q k +-===----， 则21242k k k d a a k +=-=-，故22k D k =，综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． …………………………………16分高三数学春阶段一（附加）参考答案1.设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．（1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上， 所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程． ………………6分所以⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝2，b ＝3． ………………8分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33． ………………10分2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为23)4sin(=-πθρ.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆1916:22=+y x C 上一点,求P 到直线l 的距离的最大值. 解：(1)直线l 的极坐标方程sin 324ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则22sin cos 3222ρθρθ-=, 即sin cos 6ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=; ……………4分(2)P 为椭圆221169x y C +=:上一点,设(4cos 3sin )P αα,,其中[02)α∈π,,………6分 则P 到直线l 的距离|4cos 3sin 6||5cos()6|22d αααϕ-+++==,其中4cos 5ϕ=所以当cos()1αϕ+=时,d 的最大值为1122…………………10分3.如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1，0，1)．因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0， 所以→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ． 所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ，所以AE ⊥平面PBC ． ………………4分 （2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0．因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，所以－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0． 令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量． ………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，所以→AE 是平面PBC 的法向量． 所以cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714．根据图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． ………………10分PAB CDEPABCD Exyz4.设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．（1）若d =3，试判断()1mx x+的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，()1mx x+的展开式中均不含常数项．（1）解：因为{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，所以32n a n =-．………1分 假设()1m x x +的展开式中的第r +1项为常数项（r ∈N ）， ()3211C C rm r r m rr r mmT x xx--+==⋅，于是302m r -=.…………3分 设32m n =-()*n ∈N ，则有3322n r -=，即423r n =-，这与r ∈N 矛盾.所以假设不成立，即()1mx x+的展开式中不含常数项. ……………5分（2）证明：由题设知a n =1(1)n d +-，设m =1(1)n d +-，由（1）知，要使对于一切m ，()1mx x+的展开式中均不含常数项，必须有：对于*n ∈N ，满足31(1)2n d r +--=0的r 无自然数解，…………6分即22(1)33d r n =-+∉N .当d =3k ()*k ∈N 时，222(1)2(1)333d r n k n =-+=-+∉N . …………………8分故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，()1mx x +的展开式中均不含常数项．……10分。
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三数学上学期期初考试试题 文
1 2
15．解： A
7 1 m 2 , , 2 ， B 16
7 3 3 ， m 或 m ． 4 16 4
2 由题意得 A B ，则 1 m
16．解： （1） f ( x)max 3, f ( x)min 2 （2） m (1, 4) ． 17．解： （1） a
1) 内有极值点， 若 a 0 ，因为 g (1) g (0) a 0 ，所以 f ( x) 在 ( 1，
1 上不单调． 故 f ( x) 在 1，
若 a 0 ，可知 x1 0 x2 ，
1] 上单调，因为 g (0) 1 0 ， 因为 g ( x) 的图象开口向下，要使 f ( x) 在 [ 1，
由 V ( x) 9 12 x 2 240 x 2 900 0 得 x 5 ，或 x 15 （舍去） ， 2 列表：
5 0，
x
V ( x) V ( x)
5
15 5，
5
+
0 极大值 9 000
所以当 x 5 cm 时，容积 V 最大，此时纸盒的高与底面边长的比为 3 ． 4 19．解： （1）因为 f (0)＝9 > 0，所以 f (x)在区间 ， 上只能是单调增函数． 由 f (x)＝3(m－3)x + 9≥0 在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以 m≥3．
3
长的比． E D
F
C
H
AG
B
3
19．已知函数 f ( x) (m 3) x3 9 x . （1）若函数 f ( x) 在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求实数 m 的取值范围； （2）若函数 f ( x) 在区间［1，2］上的最大值为 4，求实数 m 的值．
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1.已知集合}4,2{},3,2,1{==B A ，则=⋂B A ▲ .【答案】}2{考点：集合交集运算2.函数x x y ln 2+-=的定义域为 ▲ .【答案】]2,0(【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足20020x x x -≥⎧∴<≤⎨>⎩，定义域为]2,0( 考点：函数定义域3.已知20.30.30.3,2,log 2a b c ===，则这三个数从小到大．．．．排列为 ▲ . 【答案】b a c <<【解析】试题分析：()20.30.30.30,121,log 20a b c =∈=>=<∴，b a c <<考点：比较大小4.若函数1222)1()(----=m m xm m x f 幂函数，则实数m 的值为 ▲【答案】2或-1【解析】试题分析：由幂函数定义可知2111m m m --=∴=-或2m =考点：幂函数5.函数112)(++=x x x f 在区间[]1,4上的值域为 ▲ . 【答案】]59,23[【解析】 试题分析：212211()2111x x f x x x x ++-===-+++在[]1,4上单调递增，所以函数最小值为()312f =，最大值为()945f =，所以值域为]59,23[ 考点：函数单调性与最值6.函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 ▲ .【答案】（2,1）【解析】试题分析：令11x -=得log (1)0a x -=2,1x y ∴==，定点为（2,1）考点：对数函数性质7.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且2)2()3(=-+f f ，则=-)3()2(f f ▲ .【答案】-2【解析】试题分析：由f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （3）+f （-2）=2，知f （3）-f （2）=2，则f （2）-f （3）=-2考点：函数奇偶性8.设集合U R =，2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则如图所示的阴影部分表示的集合为▲ ．【答案】}54{≤≤x x【解析】试题分析：{}2{|340}|14M x x x x x =--<=-<<，阴影部分为(){45}U C M N x x =≤≤ 考点：集合的交并补运算9.已知集合}034{2≤+-=x x x A ,集合}{a x x B <=，若φ≠⋂B A ，则实数a 的取值范围是 ▲【答案】1>a【解析】 试题分析：{}2{430}|13A x x x x x =-+≤=≤≤，由φ≠⋂B A 可得1>a考点：集合的交集运算10.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，1)(+=x x f ，则=)(x f ▲ ．【答案】⎩⎨⎧≥+<+-0,10,1x x x x考点：奇偶性求解析式11.已知函数a ax x x f ++-=2)(有两个不同的零点21,x x ，且212x x <<，则实数a 的取值范围为 ▲ . 【答案】34>a 【解析】试题分析：由二次函数性质可知()4204203f a a a >∴-++>∴>考点：二次函数性质 12.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=0,)1(0,)(x k x k x k e x f x 是R 上的增函数，则实数k 的取值范围为 ▲ . 【答案】)1,21[【解析】 试题分析：由题意可知010112k k e k k ->⎧∴≤<⎨-≤⎩考点：分段函数单调性13.已知函数f （x ）=x 2+mx ﹣|1﹣x 2|（m ∈R ），若f （x ）在区间（﹣2，0）上有且只有1个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】121=≤m m 或 【解析】试题分析：：-1≤x ＜0时，()221f x x mx =+-， -2＜x ＜-1时，f （x ）=mx+1，∴当x=-1时，f （-1）=1-m ，当1-m=0，即m=1时，符合题意，当1-m ＞0时，f （x ）在（-1，0）有零点，∴f （-2）=-2m+1≥0，解得：12m ≤， 当1-m ＜0，在（-2，0）上，函数与x 轴无交点， 故答案为：121=≤m m 或． 考点：函数零点的判定定理14.下列判断正确的是 ▲ （把正确的序号都填上）．①若f(x)=ax 2+(2a+b)x+2 (其中x ∈[2a －1,a+4])是偶函数，则实数b=2；②若函数()f x 在区间(,0)-∞上递增，在区间[0,,)+∞上也递增，则函数()f x 必在R 上递增；③f(x)表示－2x+2与－2x 2+4x+2中的较小者，则函数f(x)的最大值为1；④已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的x 、y ∈R 都满足f(x ·y)=x ·f(y)+y ·f(x)，则f(x)是奇函数.【答案】①④【解析】试题分析：①由题意得2140220a a b a b -++=⎧∴=⎨+=⎩；②中命题不成立，如1y x -=；③f （x ）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，∴()()()222032420,3x x f x x x x x -+≤≤⎧⎪=⎨-++<>⎪⎩，∴f （x ）的最大值为2，原命题错误；④∵f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的x ，y ∈R 都满足f （x •y ）=x •f （y ）+y •f （x ）， ∴当x=y=1时，f （1）=f （1）+f （1），∴f （1）=0；当x=y=-1时，f （1）=-f （-1）-f （-1），∴f （-1）=0；当y=-1时，f （-x ）=x •f （-1）+[-f （x ）]，即f （-x ）=-f （x ），∴f （x ）是奇函数，命题正确 考点：函数的单调性、奇偶性及最值二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15.(本题满分14分)上的最大值是12.(Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)求f (x )在区间]2,[+m m 上的最小值．【答案】(Ⅰ) f(x) =2x 2-10x (Ⅱ) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤--=25,1022521,22521,1222)(22min m m m m m m m x f 【解析】试题分析：(Ⅰ)求二次函数解析式常采用待定系数法，设出解析式，由已知条件得到参数值，从而得到解析式；(Ⅱ)求二次函数最值首先判断其单调性，本题中要分情况讨论区间]2,[+m m 与对称轴的位置关系 试题解析：（Ⅰ）∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是（0，5）∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0) …………………………2分∴f(x)的对称轴为x=52且开口向上 ∴f(x)在区间[-1，4]上的最大值是f(-1)=6a=12.∴a=2∴f(x)=2x(x-5)=2x 2-10x. ………………………………6分 （Ⅱ）由题意，25=对x , ①当25≥m 时，)(x f 在区间]2,[+m m 上单调递增， ∴)(x f 的最小值为=)(m f m m 1022-；……………………………8分 ②当2521<<m 时，]2,[25+∈m m ∴)(x f 的最小值为225；……………………………10分 ③当21≤m 时，)(x f 在区间]2,[+m m 上单调递减，∴)(x f 的最小值为=+)2(m f 12222--m m ；……………………………12分 综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤--=25,1022521,22521,1222)(22min m m m m m m m x f ……………………………14分 考点：1.待定系数法求解析式；2.二次函数单调性与最值18.(本题满分16分)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002cm ,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，设广告牌的高为xcm ，宽为ycm(Ⅰ)试用x 表示y ；(Ⅱ)用x 表示广告牌的面积S x （）；(Ⅲ)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积S x （）最小？【答案】(Ⅰ)180002520y x =+-(Ⅱ)18000()25,2020x S x x x x =+>-(Ⅲ) 当广告牌的高取140cm 时，可使广告的面积()S x 最小【解析】试题分析：利用两栏的面积之和为18000可得到,x y 的关系式，从而求得用x 表示广告牌的面积S x （），求广告牌的面积S x （）最小值时采用均值不等式性质求解，注意验证等号成立条件试题解析：（Ⅰ）每栏的高和宽分别为()20cm x -，()125cm 2y -，其中20x >，25y >． 两栏面积之和为：()25220=180002y x --?，整理得，180002520y x =+-．……5分 （Ⅱ）20,252018000)252018000()(>+-=+-==x x x x x x xy x S …………………10分（Ⅲ）令20-=x t ，),0(+∞∈t ，则175000)14400(251750025360000++=++=tt t t S ……………………12分 ∴当)120,0(∈t 时，S 单调减；当),120(+∞∈t 时，S 单调增；…………………14分∴当120=t 时，S 取最小值为，此时140=x ……………………15分答：当广告牌的高取140cm 时，可使广告的面积()S x 最小．…………………16分考点：基本不等式在最值问题中的应用19.(本题满分16分)设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是奇函数．(Ⅰ)求常数k 的值；(Ⅱ)若01a <<，(2)(32)0f x f x ++->，求x 的取值范围；(Ⅲ)若8(1)3f =，且函数22()2()x x g x a a mf x -=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值． 【答案】(Ⅰ)1 (Ⅱ) (5, +∞) (Ⅲ) 2512 （Ⅲ）∵f(1)=83，∴a-1a =83，即3a 2-8a-3=0 ∴ a=3（a= -13舍去） ∴g(x)=32x +3-2x -2m(3x -3-x )=(3x -3-x )2-2m(3x -3-x )+2 …………………………10分令t=3x -3-x ，∵x ≥1，∴t ≥f(1)= 83…………………………11分 ∴(3x -3-x )2-2m(3x -3-x )+2=(t-m)2+2-m 2 ……………………………………12分当m ≥83时，2-m 2= -2，m=2，2<83，故m=2应舍去 …………………14分 当m<83时，(83)2-2m ×83+2= -2，m=2512<83综上所述：m=2512 ………………………………16分 考点：1.函数奇偶性的性质；2.函数单调性的性质；3.函数的最值及其几何意义20.(本题满分16分)设0,0>>b a ，函数b a bx ax x f +--=2)(．(Ⅰ)若a b 2>，求不等式)1()(f x f <的解集；(Ⅱ)若)(x f 在[0,1]上的最大值为a b -，求a b 的范围；(Ⅲ)当],0[m x ∈时，对任意的正实数b a ,，不等式a b x x f -+≤2)1()(恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(Ⅰ) (1, b a a-)(Ⅱ) [1, +∞) (Ⅲ) 0 1.m <≤试题解析：（Ⅰ）求不等式f(x)<f(1)，即f(x)<0，即(x-1)(ax+a-b)<0当b>2a 时，解集为(1, b a a-)………………………………4分 （Ⅱ）∵a>0，b>0，∴b a>0， ①当0<2b a <12时，即0<b<a 时，f(0)=b-a<0=f(1)，不符合题意， ②当2b a ≥12时，即b ≥a 时，f(0)=b-a ≥0=f(1)，符合题意，∴b a≥1……8分∴b a的取值范围[1, +∞) ……………………………9分 （Ⅲ）解法一：①当a b ≥2时，不等式即为：a b x a b b a bx ax -+-≤+--2)2(2，整理得：0)3(2≤---b x a b ax 即：0)13(2≤---a b x a b x 令,a b t =则21≥t ，所以不等式即0)13(2≤---t x t x ， 即： 0)13(2≥--+x x t x ， 由题意：对任意的21≥t 不等式恒成立，而013>+x ， ∴只要21=t 时不等式成立即可，∴021212≤--x x ，∴121≤≤-x 而],0[m x ∈，∴10≤<m ； …………………………12分②当a b <2时，同理不等式可整理为：032)1(2≤+---ab x a b x 令,a b t =则210<<t ，所以不等式即032)1(2≤+---t x t x 即：02)3(2≤--++x x t x ， 由题意：对任意的210<<t 不等式恒成立，而03>+x ， ∴只要21=t 时不等式成立即可，∴021212≤--x x ，∴121≤≤-x 而],0[m x ∈，∴10≤<m ；…………………………15分综合①②得：10≤<m …………………………16分解法二：由不等式f(x)≤(x+1)|2b-a|，得ax 2-(b+|2b-a|)x-a+b-|2b-a|≤0则x 2-(b a +|2b a -1|)x+b a -1-|2b a -1|≤0 令t=b a，则x 2-(t+|2t-1|)x+t-1-|2t-1|≤0 当△=(t+|2t-1|)2-4(t-1-|2t-1|)>0时，解得2|)12|1(42|)12|(|12|-----+--+t t t t t t ≤x≤2|)12|1(42|)12|(|12|-----++-+t t t t t t ①当t ≥12时，24)13(|132t t t +---≤x ≤24)13(|132t t t +-+- 又因为024)13(|132<+---t t t ，124)13(|132≥+-+-t t t 只需m ≤24)13(|132t t t +-+-恒成立，即m ≤1…………………………12分 ②当0<t<12时，2)23(4)1(12-----t t t ≤x ≤2)23(4)1(12-+-+-t t t 显然2)23(4)1(12-----t t t <0， 且y=291412)23(4)1(122+-+-=---+-t t t t t t 在（0, 12）上递减， 所以1291412>+-+-t t t 所以只需要m ≤291412+-+-t t t 恒成立即.1≤m …………………………15分 .10≤<m m 的取值范围是所以 …………………………16分考点：1.二次函数的性质；2.函数恒成立问题高考一轮复习：。
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二数学下学期第二次阶段测试试题 文
2016年春学期高二年级阶段测试（二）数 学（文） 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1． 已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A ）∩B= ▲ ．2． 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝__▲______.3． 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生．4． 从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ． 5． “4πα=”是“tan 1α=”的 ▲ 条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空） 6． 右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ .7． 函数2()ln(32)f x x x =-+的单调减区间为 ▲ ．8． 由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x+m≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是___▲___.9． 定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有1)1()(=+⋅x f x f ，当(2,0)x ∈- 时，()4xf x =，则(2013)f = ▲ ．10．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为▲ ．11．若f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-131x ax x xa 是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ▲ ．13．已知函数当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范围是 ．（第6题图）14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=0,)3(40),1()(222x a x x x a k x x f ，其中a R ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三上学期期初考试数学(理)试题 (Word版含答案)
泰兴市第一高级中学2014年秋学期期初考试
高三数学（理）
2014.8.29
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．
1、集合 共有个子集，f(x)＋n≤3都成立，求实数n的最大值．
17、（本题14分）
某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．
（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
19、（本题16分）
在各项均为正数的数列 中,数列的前 项和为 满足 .
(1)求 , 的值；
(2)由(1)猜想出数列 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.
14、
15、解：A={0，-4}，又A B=B，所以B A
（Ⅰ）B= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}时， 0得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1
综上所述实数a=1或a -1
16、
17、解：(1) 3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1＝ ＝ .
售价为x元时，每件利润为(x－30－a)元，
则日利润L(x)＝(x－30－a) ＝10e40· (35≤x≤41)························5
（2）L(x)＝10e40· ．························7
①当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，
(1)求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；
(2)求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期学情监测数学试题 Word版含标准答案
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期学情监测数学试题 Word版含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2014-2015学年高三学情监测数 学 试 卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1． 已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M∩N ＝ ▲ ． 2． 已知复数()2i+1(1i)z =-为虚数单位），则z = ▲ ．3． 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 ▲ ．4． 阅读下面的流程图，若输入a ＝10，b ＝6，则输出的结果是 ▲ ．5． 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ▲ ． 6． 函数a x f x +-=131)( （)0≠x ，则“1)1(=f ”是“函数)(x f 为奇函数”的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”）7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 8． 过点(2，0)引直线l 与曲线21x y -=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ▲ ． 9． 已知ABC ∆中，10cos ,tan tan 210A B C =⋅=,且B C <,则B = ▲ ． 10．在ABC ∆中，90,1A AB AC ∠===,点P 在边BC 上，则2PB PC +的最大值为 ▲ ． 11． 若关于x 的方程3232ln 21x m x x =++在区间)2,1(上有解，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在正三棱锥S ABC -中，1,30SA ASB =∠=︒，过A 作三棱锥的截面AMN ,则截面三角形AMN 的周长的最小值为 ▲ ．13．已知实数a x f x x x ax x x f a 232167)(1,log 1;2)(,0=⎩⎨⎧>≤+-=>，若方程，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a 的取值范围 ▲ ．14．若等差数列{}n a 满足2212015110a a +≤，则2015201620174029S a a a a=++++L 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量()sin 2,1m x =-，向量()3cos 2,0.5n x =-，函数m n m x f ⋅+=)()(．⑴求)(x f 的最小正周期T ；⑵已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，A 为锐角，13,2a c ==，且()f A 恰是()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A 和b ．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱P A 丄底面ABCD 底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD =2AB =2AP =2，PE =2DE ．⑴若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ； ⑵求三棱锥P ﹣ACE 的体积．17．（本题满分14分） 北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．⑴据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？⑵为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入21(600)6x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 18．（本题满分16分）如图，圆O 与离心率为23的椭圆T ：12222=+by a x （0>>b a ）相切于点M )1,0(．⑴求椭圆T 与圆O 的方程；⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D （均不重合）． ①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ，求2221d d +的最大值； ②若MD MB MC MA ⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程．19．（本题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝2，且对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝ba n ＋c ，其中b ，c 是常数． ⑴若数列{a n }是等差数列，且c ＝2，求数列{a n }的通项公式；⑵若数列{a n }是等比数列，且|b |＜1，当从数列{a n }中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{a n }的前n 项和S n ＜341256成立的n 的取值集合．20．（本题满分16分）已知函数2()6f x ax x=++，其中a 为实常数. ⑴若()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；⑵已知34a =，12,P P 是函数()f x 图象上两点，若在点12,P P 处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；⑶设定义在区间D 上的函数()y s x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y t x =，当0x x ≠时，若()()0s x t x x x ->-在D 上恒成立，则称点P 为函数()y s x =的“好点”．试问函数2()()g x x f x =是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．AMBCO DE2014-2015学年高三学情监测数 学（附加） 试 卷1．（本题满分10分）已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 2．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数 )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 3．（本题满分10分）如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥ＡＥ，BD ⊥BA ， 122BD AE ==,O M 、分别为CE AB、的中点．(Ⅰ) 求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (Ⅱ) 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值． 4．（本题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．⑴证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；⑵结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin nnx x x x ++=++”证明： 121C cos C cos 2C cos n nnnx x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n nx nx =．2014-2015学年高三数学学情监测参考答案1. (]0,12. 103. 4804. 25. 35 6. 充要 7.5 8. － 339.4π 10. 22 11.110,ln 263⎛⎫- ⎪⎝⎭12. 2 13. ]4,774( 14.20152 15.解：（1）()21()sin 213sin 2cos 22f x m n m x x x =+⋅=+++……2分1cos 4311sin 4sin 422226x x x π-⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭，……………… 4分 2.42T ππ∴== ……………… 6分 （2） 由（1）知：()sin(4)26f x x π=-+，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,54666x πππ-≤-≤ ∴当462x ππ-=时()f x 取得最大值3，此时6x π=．………………10分∴由3)(=A f 得.6A π=由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-∴()22213222cos6b b π=+-⨯， ∴33b =．………………14分16. 解：（1）若F 为PE 的中点，由于底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ，故E 、F 都是线段PD 的三等分点．设AC 与BD 的交点为O ，则OE 是△BDF 的中位线，故有BF ∥OE ，而OE 在平面ACE 内，BF 不在平面ACE 内，故BF ∥平面ACE ．………6分 （2）由于侧棱PA 丄底面ABCD ，且ABCD 为矩形， 故有CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAE ，．……………8分 三棱锥P ﹣ACE 的体积V P ﹣ACE =V C ﹣PAE ………………10分=S △PAE •CD=•（•S △PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB =•1•2•1=．………………………………14分17. 解：(1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意知当x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.18. 解: (1)由题意知:222,1,23a b c b a c =+==解得3,1,2===c b a 可知: 椭圆C 的方程为1422=+y x 与圆O 的方程122=+y x ……………………4分(2)设),(00y x P 因为1l ⊥2l ,则202022221)1(++==+y x PM d d 因为142020=+y x所以316)31(3)1(442020202221++-=++-=+y y y d d ,………………………7分 因为110≤≤-y 所以当310-=y 时2221d d +取得最大值为316，此时点)31,324(-±P …………9分 (3)设1l 的方程为1+=kx y ,由⎩⎨⎧=++=1122y x kx y 解得)11,12(222k k k k A +-+-； 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 解得)4141,148(222k k k k C +-+-…………………………11分 把C A ,中的k 置换成k 1-可得)11,12(222+-+k k k k B ，)44,48(222+-+k k k k D ………………12分所以)12,12(222k k k k MA +-+-=，)418,148(222kk k k MC +-+- )12,12(22+-+=k k k MB ，)48,48(22+-+=k k k MD 由34MA MC MB MD ⋅=⋅得44413222+=+k k k 解得2±=k ……………………15分 所以1l 的方程为12+=x y ，2l 的方程为122+-=x y 或1l 的方程为12+-=x y ，2l 的方程为122+=x y ………………………16分 19.解： (1) 当c ＝2时，由已知得a 1＝2，a 2＝ba 1＋2＝2b ＋2，a 3＝ba 2＋2＝2b 2＋2b ＋2，因为{a n }是等差数列，所以a 1，a 2， a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，当b ＝1时，a n ＋1＝a n ＋2，对n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2成立，所以数列{a n }是等差数列；所以数列{a n }的通项公式分别为a n ＝2或a n ＝2n.(4分)(2)因为{a n }是等比数列，所以a 1，a 2，a 3成等比数列，所以a 1a 3＝a 22，即2＝(2b ＋c)2，化简得2bc ＋c 2＝2c ，所以c ＝0或2b ＋c ＝2.当2b ＋c ＝2时，a 2＝ba 1＋c ＝2b ＋c ＝2，所以a n ＝2，不满足S n ＜341256.当c ＝0时，若b ＝0，则与a 1＝2矛盾，所以b ≠0，因此a n ＝2b n －1.(8分) 则a n ＋1＝2b n ，a n ＋2＝2b n ＋1，因为a n ，a n ＋1，a n ＋2按某种顺序排列成等差数列， 所以有1＋b ＝2b 2，或1＋b 2＝2b ，或b ＋b 2＝2，解之得b ＝1或b ＝－12或b ＝－2.(12分)又因为|b|＜1，所以b ＝－12，所以S n ＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，由S n ＜341256，得43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ＜341256，即⎝⎛⎭⎫－12n ＞11 024， 因为n 是正整数，所以n 的取值集合为{2,4,6,8}．(16分)20. 解：（1）方法一：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，即为2(3)620a x x -++>在(1,)+∞上恒成立，①3a =时，结论成立；②3a >时，函数2()(3)62h x a x x =-++图象的对称轴为602(3)x a =-<-，所以函数2()(3)62h x a x x =-++在(1,)+∞单调递增，依题意(1)0h >，即5a >-，所以3a >；③3a <不合要求，综上可得，实数a 的取值范围是3a ≥．4分方法二：()3f x x >在(1,)+∞上恒成立等价于2263a x x>--+， 令()222613153222h x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭因为1x >，所以101x <<，故()53h x -<<所以3a ≥. （2）232'()4f x x =-设111(,)P x y ，222(,)P x y ，过点12,P P 的两切线互相平行， 则2212323244x x -=-，所以12x x =（舍去），或12x x =-， 过点1P 的切线1l ：111'()()y y f x x x -=-，即1111'()()'()0f x x y f x x f x -+-=，6分 过点2P 的切线2l ：2222'()()'()0f x x y f x x f x -+-=- 11 -两平行线间的距离是12112221|()()'()'()|1['()]f x f x x f x x f x d f x --+=+1121122132322|()()|44321()4x x x x x +--=+-1212421118||8253425431616x x x x x ==-++-， 因为22112211254254251616x x x x +≥⋅=，所以d 84253≤=- 即两平行切线间的最大距离是42． ······················································· 10分 （3）232()()62g x x f x ax x x ==++，设()g x 存在“好点”00(,)P x y ，由2'()3122g x ax x =++，得000()'()()()h x g x x x g x =-+， 依题意()()0g x h x x x ->-对任意0x x ≠恒成立，因为0000()['()()()]g x g x x x g x x x --+-0000[()()]'()()g x g x g x x x x x ---=-，323220000000[(62)(62)](3122)()ax x x ax x x ax x x x x x ++-++-++-=- 22200000[()6()2](3122)a x x x x x x ax x =+++++-++22000(6)(26)ax ax x ax x =++-+13分所以22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，① 若0a ≤，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>不可能对任意0x x ≠恒成立，即0a ≤时，不存在“好点”；②若0a >，因为当0x x =时，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+=，要使22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，- 12 -2014-2015学年高三数学（附加）学情监测参考答案1.解：设A NM = 则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分2.解：（方法一）直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………… 3分因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)，从而点P 到直线l 的距离d ＝|3＋cos θ－3sin θ＋3|12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π6)|2． …………………… 7分所以d min ＝3－1．即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． …………… 10分 (方法二) 直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1． 从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|3－0＋3|12＋(－3)2＝3． ………………………… 6分所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………………………… 10分 3.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥ＡＥ，BD ⊥BA ，122BD AE ==,O M 、分别为CE AB 、的中点． (Ⅰ) 求异面直线AB 与CE 所成角的大小；(Ⅱ) 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值． 解：∵DB BA ⊥，又∵面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE面ABC AB =，DB ABDE ⊂面，∴DB ABC ⊥面，∵BD ∥AE ，∴EA ABC ⊥面，…… 2分如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，∵4AC BC ==，∴设各点坐标为(0,0,0)C ，(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,4,2)D ，(4,0,4)E ，则(2,0,2)O ，(2,2,0)M ，(4,4,0),CE (4,0,4)AB =-=，(0,4,2)CD =，(2,4,0)OD =-，(2,2,2)MD =-.AMBCODEx y z- 13 -（1）161cos ,23232AB CE -<>==-⋅，则AB 与CE 所成角为3π. ……5分 （2）设平面ODM 的法向量(,,)x y z =n ，则由OD ⊥n ，且MD ⊥n 可得240,2220,x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩令2x =，则1y =，1z =，∴(2,1,1)=n ，设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，则(2,1,1)(0,4,2)630sin cos ,|(2,1,1)||(0,4,2)|10||||625CD CD CD θ⋅⋅=<>====⋅n n n ， ∴直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为3010． ……10分4. 设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； （2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin nnx x x x ++=++”证明：121C cos C cos 2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证；……………… 1分 ②假设当n k =时，(c o s i s i n )c o s i s k x x k x k x +=+成立，则当1n k =+时，()1(c o s i s i n )c o si s i n (c o s i s i n )k x x k x k x x x++=++()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++()()cos 1isin 1k x k x =+++，故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；……… 4分（2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnrrrnnr r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos 2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；……… 6分[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x xx x x +=+……… 8分()2cos cos isin 222n n x nx nx =+ 其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos 2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =． ……… 10分。
江苏省泰州市泰兴三中2015届高三数学上学期第一次质检试卷(含解析)
2014-2015学年江苏省泰州市泰兴三中高三（上）第一次质检数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．函数f（x）=的定义域为．2．若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．3．曲线y=x﹣cosx在x=处的切线方程为．4．设a=log36，b=log510，c=log714，则a，b，c的由大到小的排列顺序为．5．对于定义在R上的函数f（x），给出下列说法：①若f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2）；②若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）是偶函数；③若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；④若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数．其中，正确的说法是．（填序号）6．已知函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，若f（）=4，则f（2 014）的值为．7．已知函数f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函数，则实数m的取值范围是．8．已知，则的值是．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．10．函数在上的单调递增区间为．11．已知直线y=a与函数f（x）=2x及函数g（x）=3•2x的图象分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为．12．已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ．13．已知cos（+α）=，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）= ．14．若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．16．已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1，3），且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若F（x）=g（x）﹣λf（x）在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．17．已知函数f（x）=lg（1﹣x）+lg（1+x）+x4﹣2x2．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求函数f（x）的值域．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（，﹣3）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=的最大值及对应x的值．19．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．2014-2015学年江苏省泰州市泰兴三中高三（上）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．函数f（x）=的定义域为（﹣3，0] ．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0联立不等式组求解．解答：解：由，得，解得：﹣3＜x≤0．∴函数f（x）=的定义域为：（﹣3，0]．故答案为：（﹣3，0]．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．2．若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；待定系数法．分析：设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（25）的值．解答：解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，∴9α=，∴α=﹣，故 f（x）=，∴f（25）==，故答案为：．点评：本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法．3．曲线y=x﹣cosx在x=处的切线方程为x﹣y﹣﹣=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程．解答：解：y=x﹣cosx的导数为y′=+sinx，则在x=处的切线斜率为=1，切点为（，），则在x=处的切线方程为y﹣（）=x﹣，即x﹣y﹣﹣=0．故答案为：x﹣y﹣﹣=0．点评：本题主要考查导数基本运算以及导数的几何意义，利用导数的几何意义可求切线斜率，进而求切线方程．4．设a=log36，b=log510，c=log714，则a，b，c的由大到小的排列顺序为a＞b＞c ．考点：对数值大小的比较．专题：转化思想．分析：利用对数的运算性质把三个数转化为1加一个对数式的形式，然后由换底公式可比较大小．解答：解：a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c．故答案为a＞b＞c．点评：本题考查了对数值的大小比较，考查了对数式的运算性质，是基础题．5．对于定义在R上的函数f（x），给出下列说法：①若f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2）；②若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）是偶函数；③若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；④若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数．其中，正确的说法是①③．（填序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇偶函数的性质对①②③④四个选项逐一判断即可．解答：解：①定义在R上的函数f（x）是偶函数，则f（﹣2）=f（2），正确；②令f（x）=，为定义在R上的函数，且满足f（﹣2）=f（2）=0，但函数f（x）不是偶函数，故②错误；③对于定义在R上的函数f（x），若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数，正确；④若f（﹣2）=f（2），则函数f（x）不是奇函数，错误，如f（x）=满足f（﹣2）=f（2）=0，易证f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）是奇函数．故答案为：①③点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性质的理解与应用，构造合适的函数是关键，也是难点，属于中档题．6．已知函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，若f（）=4，则f（2 014）的值为0 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数性质和对数性质求解．解答：解：∵函数f（x）=alog2x﹣blog3x+2，∴f（）=﹣b+2=﹣alog22014+blog32014+2=4，∴f（2014）=alog22014﹣blog32014+2=﹣2+2=0．故答案为：0．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．7．已知函数f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函数，则实数m的取值范围是[﹣，0] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：讨论m=0时满足题意；m≠0时，利用对称轴与区间端点的关系得到关于m的不等式解之．解答：解：①m=0时，函数为f（x）=x+2，在（﹣∞，2）是增函数满足题意；②m≠0时，要使已知函数在（﹣∞，2）上是增函数，只要，解得，∴实数m的取值范围是[，0]；故答案为：[﹣，0]．点评：本题考查了已知二次函数在某个区间的单调性，求参数问题；主要结合对称轴与区间端点的位置解得．8．已知，则的值是0 ．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数间的基本关系切化弦得到关系式，变形后代入sin2α+cos2α=1，得到关于cosα的方程，求出方程的解得到cosα的值，由α的范围，得到sinα小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，将所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：∵2tanα•sinα==3，即sin2α=cosα，∴代入sin2α+cos2α=1中得：cos2α+cosα﹣1=0，即2cos2α+3cosα﹣2=0，变形得：（2cosα﹣1）（cosα+2）=0，解得：cosα=或cosα=﹣2（舍去），∵﹣＜α＜0，∴sinα=﹣=﹣，则cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×﹣×=0．故答案为：0点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．10．函数在上的单调递增区间为[﹣，] ．考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据诱导公式和两角差的余弦公式，化函数为f（x）=cos（），再结合余弦函数单调区间的结论，求出函数在R上的单调区间，将其与区间取交集，即可得到所求的单调递增区间．解答：解：∵cos=﹣cos∴==cos（）令﹣π+2kπ≤≤2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）∴函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）取k=0，得函数在上的单调递增区间为[﹣，]故答案为：[﹣，]点评：本题将一个三角函数式化简，并求函数的增区间，着重考查了诱导公式、三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．11．已知直线y=a与函数f（x）=2x及函数g（x）=3•2x的图象分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为log23 ．考点：指数式与对数式的互化．专题：计算题．分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．解答：解：由2x=a，可得x=log2a；由3•2x=a，可得x==log2a﹣log23∴A，B两点之间的距离为log2a﹣（log2a﹣log23）=log23故答案为：log23点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于基础题．12．已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ﹣．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知中角φ的终边经过点P（1，﹣2），可求出φ角的正弦值和余弦值，由函数f （x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等，可求出函数的周期，进而求出ω，将，代入函数的解析式，利用两角和的正弦公式，展开计算可得答案．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=，∵ω＞0∴ω=3∵角φ的终边经过点P（1，﹣2），∴sinφ=，cosφ=∴=sin（3•+φ）=sin（+φ）=（sinφ+cosφ）=•（）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，函数的值，其中熟练掌握三角函数的定义及正弦型函数的图象和性质是解答的关键．13．已知cos（+α）=，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）= ﹣．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由已知，且，可求，而=，从而可求解答：解：∵∴∵∴∵，∴==，故答案为：．点评：本题主要考查了综合应用同角平方关系，诱导公式求解三角函数值，主要考查了公式的应用，难度不大，到要求熟练掌握公式并能灵活应用．14．若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是k＜﹣4 ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：先将方程有四个不同的实数根问题转化为方程=|x|（x﹣1）有三个非零根，分别画出函数y=，和y=|x|（x﹣1）的图象，数形结合即可得k的范围解答：解：显然方程有一个根为0，若x≠0，则方程⇔⇔=|x|（x﹣1），（若方程有4个不同根，则k≠0）分别画出函数y=，和y=|x|（x﹣1）的图象如图，只需两函数图象有三个非零交点即可，由图数形结合可得当﹣＜＜0时，即k＜﹣4时，两函数图象有三个非零交点综上所述，当k＜﹣4时，方程有四个不同的实数根故答案为 k＜﹣4点评：本题主要考查了方程的根与函数图象交点间的关系，将方程的根的个数问题转化为恰当的函数图象的交点个数问题，数形结合解决问题是解决本题的关键，属中档题二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（1）∵，从而．又∵，∴．…（4分）利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（6分）（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）==．…（14分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．16．已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1，3），且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）与g（x）的解析式；（2）若F（x）=g（x）﹣λf（x）在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．考点：函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）将点的坐标代入函数解析式得到一个方程；利用函数满足的等式得到函数的对称轴，据二次函数的对称轴公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相关点法求出g（x）的解析式．（2）利用函数在区间上单调，则导函数大于等于0恒成立，列出恒成立的不等式，分离参数，转化成求函数的最值解答：解：（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=﹣1故解得m=2，n=0，∴f（x）=x2+2x，设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则x0=﹣x，y0=﹣y，因为点Q（x0，y0）在y=f（x）的图象上，∴﹣y=x2﹣2x，∴y=﹣x2+2x，∴g（x）=﹣x2+2x．（2）F（x）=﹣x2+2x﹣λ（x2+2x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x∵F（x）在（﹣1，1]上是增函数且连续，F'（x）=﹣2（1+λ）x+2（1﹣λ）≥0即在（﹣1，1]上恒成立，由在（﹣1，1]上为减函数，当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（﹣∞，0]，点评：本题考查求函数解析式的方法：待定系数法、直接法、函数单调求参数的范围、解决不等式恒成立．17．已知函数f（x）=lg（1﹣x）+lg（1+x）+x4﹣2x2．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求函数f（x）的值域．考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令真数大于0，得到不等式组解之；（2）利用函数的奇偶性的定义，判定f（﹣x）与f（x）的关系；（3）根据解析式特点，利用换元得到y=lg（1﹣x2）+x4﹣2x2=lgt+（t2﹣1），t∈（0，1）利用导数判定单调性，从而得到值域．解答：解：（1）由，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．（2）函数定义域关于原点对称，由f（﹣x）=lg（1+x）+lg（1﹣x）+（﹣x）4﹣2（﹣x）2=lg（1﹣x）+lg（1+x）+x4﹣2x2=f（x），所以函数f（x）是偶函数．（3）f（x）=lg（1﹣x）+lg（1+x）+x4﹣2x2=lg（1﹣x2）+x4﹣2x2，设t=1﹣x2，由x∈（﹣1，1），得t∈（0，1）．所以y=lg（1﹣x2）+x4﹣2x2=lgt+（t2﹣1），t∈（0，1），因为y′=，t＞0，所以y′＞0，所以函数y=lgt+（t2﹣1）在t∈（0，1）上为增函数，所以函数f（x）的值域为（﹣∞，0）．点评：本题考查了函数奇偶性的判定；切记：首先判定函数的定义域是否关于原点对称．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上有一个最低点为M（，﹣3）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=的最大值及对应x的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意，可求得A=3，由周期=π可求ω，2×+φ=+2kπ（k∈Z），0＜φ＜可求φ；（2）利用辅助角公式，可求y=f（x）+f（x+）=3sin（2x+），利用正弦函数的性质，即可求得其最大值及其取最大值时对应x的值．解答：解：（1）∵ω＞0，由=π得：ω=2，又f（x）=Asin（ωx+φ）经过最低点M （，﹣3），A＞0，故A=3，且2×+φ=+2kπ（k∈Z），0＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=3sin（2x+）；（2）y=f（x）+f（x+）=3sin（2x+）+3sin[2（x+）+]=3sin（2x+）+3cos（2x+）=3sin（2x+），∴y max=3．此时2x+=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查辅助角公式即正弦函数的性质及其应用，属于中档题．19．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．考点：函数与方程的综合运用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．解答：解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W（32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，即得f（x）的单调增区间；（2）先求切线方程为y=﹣x+2，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．解答：解：（1）当m=0时，函数f（x）=﹣2x+3+lnx由题意知x＞0，f′（x）=﹣2+=，令f′（x）＞0，得0＜x＜时，所以f（x）的增区间为（0，）．（2）由f′（x）=mx﹣m﹣2+，得f′（1）=﹣1，知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=﹣x+2，于是方程：﹣x+2=f（x）即方程m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，（x＞0）．则g′（x）==，①当m=1时，g′（x）=≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g （1）=0，故m=1符合题设；②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞1，由g′（x）=＜0得＜x＜1，故g（x）在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在（ 1，）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→﹣∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；③当0＜m＜1时，由g′（x）=＞0得0＜x＜1或x＞，由g′（x）＜0得1＜x＜，故g（x）在区间（0，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→+∞时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意；∴由上述知：m=1．点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想．。
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三下学期期初检测数学试题 Word版含答案
高三数学期初检测2015.2.27一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上1. 已知集合M={(x,y)|2x+y=2}，N={(x,y)|x-y=4}，那么集合M ∩N=___________. 2． 复数z 满足|z-i|=2，则|z|的取值范围是____________.3． 设向量a = (1,2-x)，(1,2)b x =+，则“a b ∥”是“x=1”的____________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 4． 按如图所示的流程图，若输出b=3，则输入a 的取值范围是___________. 5． 在集合A={2,3}中随机取一个元素m ，在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n ，记点P(m,n)，则点P 在圆x 2+y 2=9内部的概率为____________.6． 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数，若()|()|6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则f(x)的单调递增区间为____________.7． 如图，E 为正方体的棱AA 1的中点，F 为棱AB 上的一点，且∠C 1EF=90°，则AF:FB=___________.8． 已知F 1是双曲线221412x y -=的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，且PF 1+PA 的最小值为____________. 9．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是___________.10.设x,y,z 为正实数，x-2y+3z=0，则2y xz的最小值是____________.11．已知条件p:log 2(4x-2)≤1，条件q:x 2-(2a+1)+a(a+1)≤0，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____________. 12．已知点P 到点A 1(,0),(,2)2B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，则实数a 的值为__________.13．已知函数2()|23|f x x x =--，若a<b<1，f(a)=f(b)，则2a+b 的取值范围是_________. 14．已知互不相等的三个实数a,b,c 成等比数列，且满足log ,log ,log c b a a c b 构成公差为d 的等差数列，则d=___________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，角4,cos ,35B A b π===求： (1)sinC 的值； (2)△ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=90°. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.17．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x)，其中2,04,4()6, 4.2xxf xxx⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化，当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量为m的值.18．已知圆C：x2+y2=9，点A(-5,0)，直线l：x-2y=0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程;(2)在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.19．设数列{a n }的前n 项的和记为S n ，已知a 1=1，a 2=3，a 3=-5，且1(2),n n nS n S An B +-+=+ n=1,2,3,…，其中A ，B 是常数. (1)求A 与B 的值；(2)求数列{a n }和{S n }的通项公式； (3)设数列{b n }的通项21log (1)n nb a =+，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与21log (31)2n +的大小，并加以证明.20．设函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++. (1)当a=0时，求f(x)的极值； (2)当a ≠0时，求f(x)的单调区间；(3)当a=2时，求最大的正整数m ，对任意的正整数n ，在区间11[,6]2n n++上总有m+4个数使得123()()()...)m f a f a f a f a ++++12()()m m f a f a ++<++3()m f a ++4()m f a +成立.征值24λ=的一个特征向量为22α=⎢⎥⎣⎦，求ad-bc 的值.2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2(x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数).以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-.(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.3．如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 相交于点H ，PH 是四棱锥的高，垂足为H ，E 为AD 的中点.(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值.4．已知230123(1)(1)(1)(1)...n x a a x a x a x +=+-+-+-++(1)(2n n a x n -≥，*)n N ∈. (1)当n=5时，求012345a a a a a a +++++的值； (2)设22343,...2n n n n a b T b b b b -==++++，试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n =(1)(1)3n n n +-.。
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三数学上学期阶段练习四 文
泰兴市第一高级中学2014年秋学期阶段练习四高 三 数 学 (文)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合11{33},{0}3x x A xB x x-=<<=<，则A B = ▲ ． 2．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ． 3．函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ▲ ．4．过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是 ． 5．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．6．数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________.7．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为▲ ．8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为▲ ．9．已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435a a a ，，成等差数列，且33k S =，163k S +=-，其中k *∈N ，则2k S +的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若t a n 7t a n A B =，223a b c-=，则c = ▲ ．13．数列{}n a 中，16a =，且111n n n a a a n n---=++（*n ∈N ，2n ≥），则这个数列的通项公式n a = ▲ ．14．已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+，1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 的长度分别为,a b .当m 变化时，ba的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c = ，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n∥，3c a =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16. (本小题满分14分)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. ⑴求{}n a 的通项公式； ⑵设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值.已知函数f(x)=e x-kx ，x ∈R.(Ⅰ)若k=e ，试确定函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若k>0，且对于任意x ∈R ，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k 的取值范围.18．（本小题满分16分）已知等差数列{a n }的首项a 1为a (,0)a R a ∈≠.设数列的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. (1) 求数列{a n }的通项公式及S n ;(2) 是否存在正整数n 和k ,使得S n , S n +1 , S n +k 成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由.如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km ，5km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20．（本小题满分16分） 已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．·AMNP（第19题图）αCB高三数学（文）阶段练习四参考答案1. {}11x x -<< 2. p 3. (,0)-∞ 4. 210x y --= 5.126. 17. 13e8. 60°9. 13[,]44- 10. 12(log 9,4) 11. 12912. 4 13. (1)(2)n n ++ 14. 8215. 解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin 2sin 2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=， 从而A C =（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分 在Rt △ABC 中，3tan 3a A c ==，6A p =． …………………………………6分 （2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos 3B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+=42231382535315--⨯+⨯=． …………………………………14分16. 解：⑴由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450a a ≥⎧⎨≤⎩，于是10301040d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得10532d -≤≤-，因此3d =-， 故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-． ⑵1111(133)(103)3103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是1111111371047103133n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111310310n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．因为n T 单调递增，所以当1n 时，n T 取得最小值170． 17. 解：(1)由k=e 得f(x)=e x-ex ，所以f '(x)=e x-e.由f '(x)>0得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1,+∞)；……………………4分由f '(x)<0得x<1，故f(x)的单调递减区间是(-∞,1). ……………………6分(2)由f(|-x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函数. 于是f(|x|)>0对任意x ∈R 成立等价于f(x)>0对任意x ≥0成立. 由f '(x)=e x-k=0得x=lnk.①当k ∈(0,1]时，f '(x)=e x -k>1-k ≥0(x>0). 此时f(x)在[0,+∞)上单调递增. 故f(x)≥f(0)=1>0，符合题意.所以0<k ≤1. …………10分②当k ∈(1,+∞)时，lnk>0. 当x 变化时f '(x)，f(x)的变化情况如下：x (0,lnk) lnk (lnk,+∞)f '(x) － 0 ＋ f(x)单调递减极小值单调递增由此可得，在[0,+∞)上，f(x)≥f(lnk)=k-klnk. 依题意，k-klnk>0. 又k>1，所以1<k<e.综合①②实数k 的取值范围为(0,e). …………………………14分18.19. 解：（方法一）如图1，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系． 因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3．由P 到直线AN 的距离为5，得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2kk ＋2． ……………………………… 8分设△ABC 的面积为S ，则S ＝12 x B y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分 由S ＝ －2(4k ＋3)(k －3)(k 2＋2k )2＝0得k ＝－34或k ＝3． 当－2＜k ＜－34时，S ＜0，S 单调递减；当－34＜k ＜0时，S ＞0，S 单调递增．… 13分所以当k ＝－34时，即AB ＝5时，S 取极小值，也为最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．…………… 16分 （方法二）如图1，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系． 因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5，得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2kk ＋2． ……………………………… 8分·(A ) xN PyOBC（第19题图1）设△ABC 的面积为S ，则S ＝12 x B y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分 令8k －9＝t ，则t ∈(－25，－9)，从而k ＝t ＋98．因此S ＝－1＋t (t ＋98)2＋2×t ＋98＝－1＋64t t 2＋34t ＋225＝－1＋6434＋t ＋225t．……… 13分因为当t ∈(－25，－9)时，t ＋225t∈(－34，－30]，当且仅当t ＝－15时，此时AB ＝5，34＋t ＋225t的最大值为4．从而S 有最小值为15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………16分 （方法三）如图2，过点P 作PE ⊥AM ，PF ⊥AN ，垂足为E 、F ，连接PA ．设AB ＝x ，AC ＝y ． 因为P 到AM ，AN 的距离分别为3，5， 即PE ＝3，PF ＝5．由S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC＝12 x 3＋12 y 5 ＝12(3x ＋5y )． ① …… 4分 因为tan ＝－2，所以sin ＝25．所以S △ABC ＝12 x y 25． ② ……………………………………… 8分由①②可得12 x y 25＝12(3x ＋5y )．即35x ＋5y ＝2xy ． ③ ………………………………………10分 因为35x ＋5y ≥2155xy ，所以 2xy ≥2155xy ．解得xy ≥155． ………………………………………13分 当且仅当35x ＝5y 取“＝”，结合③解得x ＝5，y ＝35． 所以S △ABC ＝12 x y 25有最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．…………… 16分 20. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分 列表：·A MNP BC（第19题图2）E Fx(0,1)1(1,)+∞ ()f x ' + 0 -()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分(2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12114114,22a a x x ++-+==， ①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a+++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为114(,)2a +++∞，单调增区间为114(0,)2a++． ……9分 综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a +++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++； 当0a ≥时，()f x 单调减区间为114(,)2a+++∞，单调增区间为114(0,)2a++． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--．∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分 由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为11(1)(1)=12a b a b -+---≥， 所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t =+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得2313t =-（舍），2313t =+，列表：t23(1,1)3+ 23(1,)3++∞ ()h t ' -+ ()h t↘↗所以，()h t 在23(1,1)3+单调减，在23(1,)3++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分。
江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三数学上学期阶段练习二文
泰兴市第一高级中学2014年秋学期阶段练习二高 三 数 学 （文）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1.已知函数y 的定义域为集合P ,N 为自然数集,则集合P N 中元素的个数为 .2.已知向量(sin ,cos ),(1,2)x x ==-a b ，且//a b ，则tan x = .3. 已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .4. 已知α、0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若5cos()13αβ+=，4sin()5αβ-=-，则cos 2α= ．5. 设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则φ＝ ．6. 在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA y OB =+，且2BP PA =，则xy =_______．7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tanA tanB ＝2cb，则角A 的大小为________．8. 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝__________.9. 定义在R 上的函数)(x f 满足：1)1(=f ，且对于任意的R x ∈,都有)(x f ＇＜21，则不等式)(log 2xf ＞21log 2+x 的解集为 . 10．已知函数22log (1),0()2,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 若函数m x f x g -=)()(有3个零点，则实数m的取值范围是 ．11. 若不等式1)21(2)(2<--x x m m 对一切]1,(--∞∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．12.已知函数()x xxx f s i n 11ln+-+=，则关于a 的不等式()()0422<-+-a f a f 的解集是 .13.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP →·BP →的最小值为________．14．已知：M={a |函数2sin y ax =在[4,3ππ-]上是增函数}，N={b|方程013|1|=+---b x 有实数解}，设D=M N ⋂，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题(原卷版)
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.命题“x R ∀∈，210x x ++≤”的否定是 ▲ ．2.与双曲线2212y x -=有相同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 ________▲ ． 3.抛物线2ax y =的准线方程为1=y ，则焦点坐标是 ▲ ． 4.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，那么该双曲线的离心率为 ▲ .5.若椭圆192522=+y x 上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为 ▲ . 6. (1,1)2x y x =--+曲线在点处的切线方程为 ▲ . 7.函数())0(131≠+-=x a x f x ，则“(1)1f -=-”是“函数()x f 为奇函数”的 ▲ 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．8.已知函数]2,0[)cos (sin 21)(π在区间x x e x f x +=上的值域是 ▲ . 9.函数()ln x f x x=的单调递增区间是____▲ . 10.已知命题p ：“若0m ≤，则220x x m -+=有实数解”的逆命题；命题q ：“若函数()()2lg 2f x x x a =++的值域为R ，则1a >”．以下四个结论：①p 是真命题；②p q Ù是假命题；③q p ⋂是假命题；④q Ø为假命题．其中所有正确结论的序号为 ▲ .11.若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是__▲ . 12.设F 是椭圆C ：221(0,0)x y a b a b+=>>的右焦点，C 的一个动点到F 的最大距离为d ,若C 的右准线上存在点P ,使得PF d =，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是22，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 ▲ .14.若函数()ln a f x x x =-在[1,]e 上的最小值为32，则实数a 的值为 ▲ . 第Ⅱ卷（共90分）二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知命题p ：实数m 满足：方程14322=-+-am y a m x （0>a ）表示双曲线；命题q ：实数m 满足方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。
江苏省泰兴市第一高级中学2014-2015学年高一上学期期末模拟考试(二)数学试题Word版含答案
江苏省泰兴市第一高级中学高一年级期末模拟考试（二）数学试题一、 填空题 1、 sin960°的值为 ．2、 设集合{1,2,3,4,5}{1,2}{2,4}U A B ===，，，则()U A B =ð .3、 函数y =的定义域为 ．4、 方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = ．5、 已知向量),3,2(),4,2(-=-=k b k a 若,⊥= .6、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，若(1)1f =，则(3)(4)f f -=_________.7、如图，设,,A B C 是不共线的三点，,AB p AC q ==，若点D 在线段BC 上，且:5:2BC CD =，则向量AD =______________(用向量,p q 表示)18cos(75),cos(302)________.3αα︒︒+=-=、已知则5119(,6),cos ,_______.13sin tan P x αααα--=-+=、已知角的终边过点且则 511),cos ,_______.13sin tan ααα=-+=且则10、函数)||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图象如图所示，则其解析式是 .11、函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>）的图象经过,26A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭,24B π⎛⎫⎪⎝⎭两点，则ω的最小值为____________.12、在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为4，则BC BA ∙u u u r u u r = .13、在菱形ABCD 中，AB =,23B π∠=,2BC BE =,3DA DF =,则EF AC ⋅= ．14、如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线与函数3x y =的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数9xy =的图象于点C ，（第14题）B CDA若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是 ．二、解答题15、 (本小题满分14分)已知函数21lg )(-+=x x x f 的定义域为A ，集合B 是不等式0)12(22>+++-a a x a x 的解集．(1) 求A ，B ；(2) 若B B A =U , 求实数a 的取值范围．16、(本小题满分14分)设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f .()y f x =图像的一条对称轴是直线8π=x ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）若3(),(0,)25f ααπ=∈，试求5()8f πα+的值.17、(本小题满分14分)已知：函数()()023cos 3cos sin 2>++-⋅=a b a x a x x a x f （1）若R x ∈，求函数()x f 的最小正周期及图像的对称轴方程； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()x f 的最小值是－2，最大值是3，求实数b a ,的值。
江苏省泰兴中学高三数学第二次阶段测试苏教版【会员独享】
江苏省泰兴中学高三数学阶段性练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1．已知向量a=，b ⊥a ，且|b |=2，则向量b 的坐标是 ▲ .2. 已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最小值是 ▲ ．3. 在等比数列{a n }中，若a 3a 83a 13=243，则2910a 的值为 ▲ .4. 若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范围是 ▲ .5．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是 ▲ ．6． 若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为2，则直线m 的倾斜角是 ▲ °．7. 若关于x 的方程kx －ln x =0有解，则k 的取值范围是 ▲ .8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22m n m n S n S m ≠==，，，则m n S += ▲ . 9、过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为▲10. 设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都成立，则a 的取值范围是 ▲ .11． 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 ▲ ． 12. 设函数()22f x x x bx c =-++，则下列命题中正确命题的序号是 ▲ .①当0b <时，()f x 在R 上有最大值；②函数()f x 的图象关于点()0c ，对称； ③方程()f x =0可能有4个实根；④当0b >时，()f x 在R 上无最大值； ⑤一定存在实数a ，使()f x 在[)a +∞，上单调递减.13．设,m n Z ∈,函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若关于x 的方程012||=++m x 有唯一的实数解，则m n += ▲ .14. 已知数列{}n a 满足： 1321m a =-(m ∈N ﹡)，13,3,2, 3.n n n n na a a a a +->⎧=⎨≤⎩，则数列{}n a 的前4m+4项的和44m S += ▲ .二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分14分）如图，一个半径为10m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d （m ）（P 在水下，则d 为负数），则d 与时间t （s ）之间满足关系式：()()ππsin 00d A t b A ωϕωϕ=++>>-<<，，，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论：①10A =；②=ω215π；③=ϕ6π；④b =5.（1）直接写出正确结论的序号；（2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论.16．（本小题满分14分）已知△ABC 的面积为，且()18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量.（1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.17. （本题满分15分）设命题p ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+112对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分15分）如图，圆O 的方程为222=+y x ，直线l 是椭圆1222=+y x 的左准线，A 、B 是该椭圆的左、右焦点，点P 为直线l上的一个动点，直线AQ ⊥OP 交圆O 于点Q ．（Ⅰ）若点P 的纵坐标为4，求此时点Q 的坐标，并说明此时直线PQ 与圆O 的位置关系； （Ⅱ）求当∠APB 取得最大值时P 点的坐标． 19（本小题满分16分）设n 为正整数，规定：fn n x f f f x f 个]})([{)(=，已知⎩⎨⎧--=1)1(2)(x x x f ，，)21()10(≤<≤≤x x ．（1）解不等式：)(x f ≤x ；（2）设集合=A {0，1，2}，对任意A x ∈，证明：x x f =)(3； （3）探求)98(2005f ；（4）若集合=B {x x f x =)(|12，∈x [0，2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． 20．（本小题满分16分）如图, 把正三角形ABC 分成有限个全等的小正三角形, 且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等. 设点A 为第一行,…, BC 为第n 行, 记点A 上的数为11a ,…, 第i 行中第j 个数为)i j 1(a ij ≤≤ . 若41a ,21a ,1a 222111=== . (1)求333231a ,a ,a ;(2)试归纳出第n 行中第m 个数nm a 的表达式 (用含n , m 的式子表示, 不必证明) (3)记,a a a S nn 2n 1n n +++= 证明: .314S 1S 1S 1n n n 21-≤+++≤江苏省泰兴中学高三数学阶段性练习答案12.61.或( 2、1 3. 3 4.104⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5. π 6. 13507. (1e ⎤-∞⎥⎦， 8. 2()m n -+ 9、32 10.⎡⎢⎣⎦11. 2 12. ①③⑤ 13．1 14．112(21)21m m +--15、【解】（1）①②④. …………………………6分 （2）由题意得，点P 在最高位置时，d =15m ， 点P 在最低位置时，d =－5m ，于是有155A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，，解得A =10，b =5，故①和④都是正确的. ……………………… 10分 由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈，故它的周期是T =15. 所以2π2π1515ωω==，. 因而②也是正确的. ……………………… 12分 由题意得t =0时，d =0，所以110sin 50sin 2ϕϕ+==，. 因为ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=-. ……………………… 14分16、【解】（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量， 所以()cos cos tan tan sin 20A B A B C +-=， …………………………2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. …………………………4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = …………………………6分（2）()()218AC AB CB AC BCBA AC =⋅-=⋅-=，于是AC =. ………………8分因为△ABC 的面积为1sin 2CACB C ⋅，即1πsin 23CB ⋅，解得CB = (11)分 在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C=+-⋅=+-⨯=所以AB = ……………………… 14分17、解：命题p 为真命题⇔函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R 21016ax x a ⇔-+>对任意实数x 均成立……………………………………………2＇ ⇔ 0=a 时，0x ->解集为R ； 或者20,1104a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩…………………………………4＇ 2a ⇔>．命题p 为真命题⇔2a >． …………………………………………………………6＇命题q 为真命题⇔ax x <-+112对一切正实数均成立⇔1122)112(2112++=++=-+>x x x xx x a对一切正实数x 均成立． ………9＇由于0x>1>12>1<．所以，命题q 为真命题⇔ 1.a ≥ ………………………………………………………12＇根据题意知命题p 与q 为有且只有一个是真命题，当命题p 为真命题且命题q 为假命题时a 不存在；当命题p 为假命题且命题q 为真命题时a 的取值范围是[1,2]．综上，命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题的实数a 的取值范围是[1,2]．……15＇ 18．【解】（Ⅰ）由题意得A （－1，0），B （1,0），直线l 的方程为x ＝－2∴P （－2,4）------1分 ∴2204-=-=OP k ∵AQ ⊥OP ∴21=AQ k-------------------------------------------2分 ∴直线AQ 的方程为)1(21+=x y 即x －2y ＋1=0． -------------------------------------------3分⎩⎨⎧=+=+-201222y x y x 消去x 并整理得1452=--y y -------------------------------------------4分解得511＝－或y y =-------------------------------------------------------------------------------5分 当1=y 时x ＝1，当51＝－y 时57＝－x ∴Q 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--51,57或（1，1）．-------------------------6分当Q 为（1，1）时，直线PQ 的方程x ＋y －2=0． 圆心O 到直线的距离为211222=+，∴PQ 与圆O 相切．------------------------------------------------8分同理可得，当Q 为⎪⎭⎫⎝⎛--51,57时，PQ 也与圆O 相切．-----------------------------------------------------------9分（Ⅱ）不妨设P 点在x 轴上方，设P （－2，m ）（m ＞0）．-------------------------------------------------------10分设准线l 与x 轴交于点Q ，记∠BPQ ＝α，∠APQ ＝β， ∴tan ∠APB ＝tan （α－β）=mm m m m m 3213113tan tan 1tan tan +=⋅+-=+-βαβα--------------------------------------------12分 33322=⋅≤mm ，当且仅当m ＝3时取得等号．--------------------------------------------------------------14分显然∠APB 为锐角，故∠APB 的最大值为300，此时P 点的坐标（－2，3±）．-------------------------------------------------------------------------------------15分19．解：（1）①当0≤x ≤1时，由)1(2x -≤x 得，x ≥32．∴32≤x ≤1． ②当1＜x ≤2时，因1-x ≤x 恒成立．∴1＜x ≤2．由①，②得，)(x f ≤x 的解集为{x |32≤x ≤2}．（2）∵2)0(=f ，0)1(=f ，1)2(=f ，∴当0=x 时，0)1())2(()))0((()0(3====f f f f f f f ； 当1=x 时，1)2())0(()))1((()1(3====f f f f f f f ；当2=x 时，2)0())1(()))2((()2(3====f f f f f f f ． 即对任意A x ∈，恒有x x f =)(3． （3）92)981(2)98(1=-=f ，914)92())98(()98(2===f f f f ， 951914)914())98(()98(23=-===f f f f ， 98)951(2)95())98(()98(34=-===f f f f ， 一般地，)98()98(4r r k f f =+（∈r k ，N ）．∴92)98()98(12005==f f （4）由（1）知，32)32(=f ，∴32)32(=n f ．则32)32(12=f ．∴B ∈32． 由（2）知，对0=x ，或1，或2，恒有x x f =)(3，∴x x f x f ==⨯)()(3412． 则0，1，2B ∈．由（3）知，对98=x ，92，914，95，恒有x x f x f ==⨯)()(3412， ∴98，92，914，95B ∈． 综上所述，32，0，1，2，98，92，914，95B ∈． ∴B 中至少含有8个元素．20.解: (1) ∵11322122,a a a a =∴321.8a =∵,a a a a 32213122=∴.41a 31=…………(2分) ∵,a a a a 32223321=∴.161a 33=∴,41a 31=,81a 32=.161a 33=…………(4分) (2)由,1a 11=,21a 21=.41a 31=可归纳出1n 312111a ,,a ,a ,a 是公比为21的等比数列, ……(5分)故.21a 1n 1n -=…………(6分) 由,21a 21=;41a 22=,41a 31=,81a 32=.161a 33= 可归纳出nn 3n 2n 1n a ,,a ,a ,a 是公比为21的等比数列,…………(8分)故,2121a 1m 1n nm --⋅=即.21a 2m n nm -+=…………(10分)(3)由(2)知],)21(1[)21(211])21(1[)21(S n 2n n 1n n -=--=--∵,1)21(1n ≤-∴,)21(1)21(n n -≤ ∴.21)21()21(])21(1[)21(2n 2n 2n n 2n ---=⋅≥- 又,1])21(1)21[(])21(1[)21(4])21(1[)21(2n n n n n 2n =-+≤-=--∴.2S 112n 2n -≤≤…………(13分) ∴.314S 1S 1S 1n n n 21-≤+++≤ …………(16分)。
江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二上学期限时训练(二)数学试卷
2015年秋学期限时训练（二）高二数学2015.12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.复数z ＝2＋m i 1＋i(m ∈R)是纯虚数，则m ＝________.2. “x -1=0”是“(x -1)(x -2)=0”的______________．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为______________4.方程22153x yk k +=--表示双曲线，则k 的范围是 ．5.已知圆22(2)1x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = ．6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．7.函数f(x)的定义域为(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a ，b)内有极小值点的个数为________． 8.观察下列等式:212(1)1x x x x ++=++, 22234(1)1232x x x x x x ++=++++,2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++则2a = .9.若42()f x ax bx c =++满足f′(1)=2,则f′(-1)等于_______．10.已知椭圆22134x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，则AF BF CF DF +++= ．11.设函数522)(23+--=x x x x f ，若对任意x ∈[－1,2]，都有f(x)＞m ，则实数m 的取值范围是________.12.设2-=x 与4=x 是函数bx ax x x f ++=23)( 的两个极值点，则 常数b a - 的值为___________.13. 已知点P 是椭圆22221(0,0)x y a b xy a b+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM 的取值范围是 ．14.若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 . 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.）15.（14分）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．16. （14分）已知p ：R x ∈∀，不等式0232>+-mx x 恒成立，q ：椭圆13122=-+-m y m x 的焦点在x 轴上．若命题p ∧q 为真命题，求实数m 的取值范围．17. （14分）已知椭圆的右焦点F ()m ，0，左、右准线分别为l 1：x ＝－m －1，l 2：x ＝m ＋1，且l 1、l 2分别与直线y ＝x 相交于A 、B 两点．(1) 若离心率为22，求椭圆的方程；(2) 当AF →·FB →<7时，求椭圆离心率的取值范围．18. （16分）某旅游景点预计2016年1月份起前x 个月的旅游人数的和p(x) (单位：万人)与x 的关系近似满足1()(1)(392),(,12)2p x x x x x N x *=+∙-∈≤已知第x 月的人均消费额q(x)(单位：元)与x 的近似关系是 q(x)= 352,(,16)16,(,712)x x N x x N x x**⎧-∈≤≤⎪⎨∈≤≤⎪⎩ (1)写出2016年第x 月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x 的函数关系式； (2)试问2016年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？19. （16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．20. （16分）已知函数)()()(21)()(2x g x f x h ,bx ax x g ,x ln x f -=-==设.(1)若g (2)=2，讨论函数h (x )的单调性；(2)若函数g (x )是关于x 的一次函数，且函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；② 求证：221e x x >.（第19题）高二数学限时训练（二）参考答案1、－22、充分不必要3、204、 ),5()3,(+∞⋃-∞5、136、 x 29－y 227＝17、18、()12n n +9、-210、8 11、 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 12、21 13、(0,)c 14、2,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15、解:设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R)，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. -------------------------6分∵(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，已知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞0，8(a －2)＞0，解得2＜a ＜6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．-------------------------14分 16、解：∵p ：∀x ∈R ，不等式恒成立，∴0<∆即062<-m ----------------------------------4分解得：；--------------------------------6分 q ：椭圆的焦点在x 轴上，∴m ﹣1＞3﹣m ＞0，-------------------------------------8分解得：2＜m ＜3，--------------------------------------10分 由p ∧q 为真可知，p ，q 都为真，--------------------------12分 解得．--------------------------------------14分17、解：(1) 由已知，得c ＝m ，a2c ＝m ＋1，从而a2＝m(m ＋1)，b2＝m. 由e ＝22，得b ＝c ，从而m ＝1. 故a ＝2，b ＝1，得所求椭圆方程为x22＋y2＝1. -------------------------6分(2)易得A(－m －1，－m －1)，B(m ＋1，m ＋1)， 从而＝(2m ＋1，m ＋1)，＝(1，m ＋1)，故·＝2m ＋1＋(m ＋1)2＝m2＋4m ＋2<7，得0<m<1. -------------------------8分由此离心率e ＝c a ＝mm （m ＋1）＝11＋1m，故所求的离心率取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. -------------------------14分 18、解：(1)当x=1时，f （1）=p （1）=37，当2≤x ≤12，且x ∈N*时， f （x ）=P （x ）-P （x-1）= -3x2+40x ．…4分 验证x=1符合f （x ））=-3x2+40x （x ∈N*，且1≤x ≤12））…6分(2)第x 月旅游消费总额为g （x ）= 22(352)(,(,16)16340)340(,(,)712)x x x N x x N x x x x x **-+-+⎧-∙∈≤≤⎪⎨∙∈≤≤⎪⎩ =32,(,16),(,7618514004864012)x x x x x N x x N x **⎧∈≤≤⎪⎨∈≤⎪-+-+≤⎩，……8分当1≤x ≤6，且x ∈N*时，g ′（x ）=18x2-370x+1400，令g ′（x ）=0，解得x=5，x=140（舍去）∴当1≤x ＜5时，g ′（x ）＞0，当5＜x ≤6时，g ′（x ）＜0， ∴当x=5时，g （x ）max=g （5）=3125（万元）………13分 当7≤x ≤12，且x ∈N*时，g （x ）=-48x+640是减函数， ∴当x=7时，g （x ）max=g （7）=304（万元）. ………15分综上，2016年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．…16分 19、解：（1）方法一 依题意，ca2b 2+3，……………………………………………………… 2分由2213413b b +=+，解得b 2b 234-，不合，舍去)，从而a 2． 故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e ．……………………………………………………………………6分方法二由椭圆的定义知，2a ， 即a ．……………………………………………………………………………2分又因c b 2．下略．（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则Dx 1，y 1)，于是k 1k 221212121y y y y x x x x -+⋅-+12222221y y x x--22212221(1)(1)44x x x x ----14-．……………… 10分 ②方法一 由①知，k 3k 4k 1k 214-，故x 1x 2124y y -．所以，(x 1x 2)2y 1y 2)2，即(x 1x 2)2221216(1)(1)44x x --22221212164()x x x x -++，所以，2212x x +．…………………………………………………………………… 13分又22221212()()44x x y y +++222212124x x y y +++，故22121y y +=． 所以，OB 2+OC 2 22221122x y x y +++．………………………………………… 16分 方法二由①知，k 3k 4k 1k 214-．将直线y k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++22334411414()4k k +++-．…………………… 13分下同方法一．20、解：(1)∵g (2)=2 ∴a-b =1 ∴ x a ax x ln x h )1(21)(2-+-=，其定义域为（0，+∞） 21(1)1(1)(1)()(1)=ax a x ax x h x ax a x x x-+-+-+-'=-+-=…………………2分 （Ⅰ）若a ≥0,则函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. ……3分 （Ⅱ）若a<0,令()0h x '=得121,1x x a=-= ①当a<-1时，则101a <-<，所以函数h (x )在区间（0,1a -）上单调增；在区间（1,+∞）上单调增；在区间（1a-,1）上单调减.②当a=-1时，()0h x '<所以函数h (x )在区间（0，+∞）单调减.③当-1<a<0时，则11a ->，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1a -,+∞）上单调增；在区间（1,1a-）上单调减. ……………………………………6分(2)∵函数g (x )是关于x 的一次函数∴ bx x ln x h +=)(，其定义域为（0，+∞）①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'= ∴ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， ∴当e x =时ln ()x x xϕ=-取得最小值e 1-又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ< ∴b 的取值范围是（e1-，0）…………………10分②由题意得0ln 0ln 2211=+=+bx x ,bx x∴0)(ln ln 0)(ln 12122121=-+-=++x x b x x ,x x b x x ∴12122121ln ln ln x x x xx x x x +=--，不妨设x 1<x 2要证221e x x > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-…………………12分即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设)1(12>=t x xt则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++…………………14分 ∴22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++ ∴函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =，所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+ ∴221e x x >.…………………16分。
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泰兴市第一高级中学2014年秋学期阶段练习二高 三 数 学 （文）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1.已知函数y =的定义域为集合P ,N 为自然数集,则集合P N 中元素的个数为 .2.已知向量(sin ,cos ),(1,2)x x ==-a b ，且//a b ，则tan x = .3. 已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .4. 已知α、0,2βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若5cos()13αβ+=，4sin()5αβ-=-，则cos 2α= ．5. 设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则φ＝ ．6. 在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP x OA y OB =+，且2B P P A =，则xy =_______．7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tanA tanB ＝2cb，则角A 的大小为________．8. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝__________. 9. 定义在R 上的函数)(x f 满足：1)1(=f ，且对于任意的R x ∈,都有)(x f ＇＜21，则不等式)(log 2xf ＞21log 2+x 的解集为 . 10．已知函数22log (1),0()2,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 若函数m x f x g -=)()(有3个零点，则实数m 的取值范围是 ．11. 若不等式1)21(2)(2<--x x m m 对一切]1,(--∞∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 12.已知函数()x xxx f s i n 11ln+-+=，则关于a 的不等式()()0422<-+-a f a f 的解集是 .13.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP →·BP →的最小值为________． 14．已知：M={a |函数2sin y ax =在[4,3ππ-]上是增函数}，N={b|方程013|1|=+---b x 有实数解}，设D=M N ⋂，且定义在R 上的奇函数mx nx x f ++=2)(在D 内没有最小值，则m 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知向量a ＝(sin θ,1)，b ＝(cos θ,3)，且a ∥b ，其中θ∈(0, π 2)．（1）求θ的值；（2）若sin(x －θ)＝35，0＜x ＜ π2，求cosx 的值．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c +=．（1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =，求ABC ∆的面积．17.设函数2()2ln f x x x =-.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2) 若关于x 的方程2()20f x x x a +---=在区间[1,3]内恰有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.18.如图，某生态园欲把一块四边形地BCED 辟为水果园，其中90C D ︒∠=∠=，BC BD ==1CE DE ==．若经过BD 上一点P 和EC 上一点Q 铺设一条道路PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分，设y EQ x DP ==,．（1）求y x ,的关系式；（2）如果PQ 是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求PQ 的长的最小值； （3）如果PQ 是参观路线，希望它最长，那么,P Q 的位置在哪里？B CPQDE19.已知函数()x x x f ln =，（1）求函数()x f 的极值；（2）若直线l 过点()1,0-，并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值（其中e 为自然对数的底数）.20.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行.（1）求(2)f 的值；（2）已知实数t ∈R ，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最大值；（3）令()()'()Fxgx g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.高三数学（文）阶段练习二参考答案1. 3 ；2. 12-； 3. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 4. 6365； 5. －π3； 6. 29； 7.π3 ； 8. －14； 9. (0,2)； 10. (0,1)； 11. 23m -<<； 12.； 13.解析：取AB 中点D ，连结CD ，则CA →＋CB →＝2CD →，∴ AP →·BP →＝(AC →＋CP →)·(BC →＋CP →)＝AC →·BC →＋(AC →＋BC →)·CP →＋|CP →|2＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，∴ 当〈CD →，CP →〉＝0时，AP →·BP →取得最小值为7－6＝1. 14. m>2315. 解：（1）∵a ＝(sinθ,1)，b ＝(cosθ,3)，且a ∥b ，∴3sinθ－cosθ＝0------------------3分∴tanθ＝33，∵θ∈(0, π 2) ∴θ＝ π6-----------------------6分（2）∵0＜x ＜ π 2∴－ π 6＜x － π 6＜ π 3∵sin(x － π 6)＝35，∴cos(x － π 6)＝45，---------10分∴cosx ＝cos(x － π 6＋ π 6)＝cos(x － π 6)cos π 6－sin(x － π 6)sin π6＝32×45－12×35＝43－310． ----------------------------14分 16. 解：（1）222cos 2a c b B ac +-=2221()22a c a c ac +-+=21()202a c ac-=≥，∴090B ≤（当且仅当a c =时取得等号）------------------------7分（2）2AB BC ⋅=-，∴cos 2ac B =，2222cos 12b a c ac B =+-=，∴2216a c +=，-------------11分又a c +==∴4ac =，∴1cos 2B =，∴sin 2B =， ∴1sin 2ABC S ac B ∆==-----------------------------14分 17. 解:(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞, ---------------------1分∵212(1)()2x f x x x x -⎡⎤'=-=⎢⎥⎣⎦, -------------------------3分∵0x >,则使()0f x '>的x 的取值范围为()0,1,故函数()f x 的单调递增区间为()0,1 ----------------------6分 (2)∵2()2ln f x x x =-,∴2()2022ln 0f x x x a x a x +---=⇔++-= ------------8分 令()22ln g x x a x =++-,∵22()1x g x x x-'=-=,且0x >, 由()0g x '>得2x >，由()0g x '<得02x <<.∴()g x 在区间[1,2]内单调递减,在区间[2,3]内单调递增, ----------10分故2()20f x x x a +---=在区间[]1,3内恰有两个相异实根 (1)0,(2)0,(3)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩---12分即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得:2ln 352ln 24a -≤<-. 综上所述,a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24-- --------------14分18. 解：（1）易知60B ︒∠=，延长BD 、CE 交于点A ，则2,3==AE AD ，则23===∆∆∆B C E B D E A D E S S S ． 34)2)(3(,3)2)(3(41,3=++∴=++∴=∆y x y x S APQ ．--------------4分（2）022230cos 2AQ AP AQ AP PQ ⋅-+=12381234223342)334()3(22-=-⨯≥⨯⨯-+++=x x --------------------6分当22)334()3(+=+x x ，即3324-=x 时，33221238min -=-=PQ ．------------------------------8分（3）令]12,316[],3,33[,)3(2∈∴∈+=t x x t ，----------------10分 则1248)(2-+==tt t f PQ ， 2'481)(t t f -= ，令0481)(2'=-=tt f 得，34=t ，----------------12分 )(t f ∴在)34,0(上是减函数，在),34(+∞上是增函数，4)12()}12(),316(max{)(max ===∴f f f t f ，PQ max = 2， -------------14分此时0,3,12)3(2===+=y x x t ，P 点在B 处，Q 点在E 处.------------16分 19. 解：（1） x x x f ln )(=，∴0>x ，1ln )(+='x x f ，令1ln -=x ，则ex 1=.当)1,0(e x ∈，0)(>'x f ，),1(+∞∈ex ，0)(<'x f ，-----------3分故函数的极小值为1e-，极大值不存在.------------------------4分（2）由直线l 过点()1,0-，并且与曲线()x f y =相切，而)0,1(-不在)(x f 的图象上， 设切点为),(00y x P ，∴直线l 的斜率00ln 1)(x x f k +='=，方程为))(ln 1(ln 0000x x x x x y -+=-，又)1,0(-在直线l 上，∴)0)(ln 1(ln 10000x x x x -+=--，解得10=x ，------------8分 故直线l 的方程为01=--y x .---------------------------------9分 （3）依题意，0>x ，)1(ln )(--=x a x x x g ，∴a x x g -+='ln 1)(，令0ln 1=-+a x ，则1-=a e x ，所以当),0(1-∈a e x ，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；),(1+∞∈-a e x ，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；又],1[e x ∈，所以①当11≤-a e ，即1≤a 时，)(x g 的极小值为0)1(=g ；-------11分②当e e a <<-11，即21<<a 时，)(x g 的极小值为11)(---=a a e a e g ；----------13分③当e ea ≥-1，即2≥a 时，)(x g 的极小值为1)(--+=a e e a e g .----------------15分综上①当1≤a 时，)(x g 的最小值为0； ②当21<<a 时，)(x g 的最小值为1--a ea ；③当2≥a 时，)(x g 的最小值为1--+a ee a .----------------------------------16分20. 解: （1）()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=-由题意可得12l l k k =，即1a =， --------------------2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ------------------4分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+- 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ ----------------------6分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1222t e u -=≤即12et -≥时，()22max 21y e t e t t =+-+- ②当1222t e u -=>即12et -<时，2max y t t =- ----------9分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x -=-=≥1x ≥得，所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ---------------------10分 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， ----------------------11分 ∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. -------------------------12分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=， 12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ------------------------14分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. -------------------15分∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ --------------------16分。