人教版高中数学必修第三册全册WORD讲义《导学案》

8.1.1向量数量积的概念
(
教师独具内容)
课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．
教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.
知识点一两个向量的夹角
(1)定义：给定两个01非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称02[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作03〈a，b〉.
(2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且040≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝05〈b，a〉.
时，称向量a与向量b垂直，记作07a⊥b.在
(3)垂直：当〈a，b〉＝06π
2
讨论垂直问题时，规定08零向量与任意向量垂直．
知识点二向量数量积(内积)的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称01|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝02|a||b|cos〈a，b〉.
由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．
知识点三平面向量的数量积的性质
(1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝01|a|·cos〈a，e〉.
(2)a⊥b⇔02a·b＝0.
(3)a·a＝03|a|2，即04|a|＝a·a.
(4)cos〈a，b〉＝05a·b
(|a||b|≠0).
|a||b|
(5)|a·b|06≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
知识点四向量的投影
如图1，设非零向量AB→＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的01投影向量或投影．
类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l 上的投影称为a在向量b上的02投影.如图2中，向量a在向量b上的投影为
03
.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量04
共线，但它们的方向既有可能05相同，也有可能06相反.
知识点五
向量数量积的几何意义
如图(1)(2)(3)所示．
当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向01相同，而且|
|＝02|a |cos
〈a ，b 〉；
当〈a ，b 〉＝π
2时，
为零向量，即|
|＝030；
当〈a ，b 〉>π
2时，
的方向与b 的方向04相反，而且|
|＝05－|a |cos 〈a ，b 〉.
一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是07非负数，也可能是08负数.
两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成
a ·b
|b |
，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．
当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.
或a与b中至少有一个为0.
(2)a·b＝0⇔θ＝π
2
(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，
当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.
特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．
4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用
(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．
求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模
(2)利用公式变式cosθ＝a·b
|a||b|
积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．
(3)利用a·b＝0证明垂直问题．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b＝0，则a⊥b.()
(2)两个向量的数量积是一个向量．()
(3)当a∥b时，|a·b|＝|a||b|.()
答案(1)√(2)×(3)√
2．做一做
(1)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝3，则a在b上的投影的数量为
____.
(2)已知|a|＝4，|b|＝22，且a与b的夹角为135°，则a·b＝____.
(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB→与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x轴、y轴上的投影的数量分别为____和____.
答案(1)3
2(2)－8(3)1
2
|AB→|－3
2
|AB→|
题型一两个向量夹角的定义
例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：
(1)－a，b；(2)2a，2
3
b.
[解]如图，由向量夹角的定义可知：
(1)向量－a，b的夹角为120°.
(2)向量2a，2
3
b的夹角为60°.
(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．
(2)注意向量的夹角是[0°，180°]．
(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角，作AD→＝CA→，则∠BAD才是
向量CA→与AB→的夹角．
|a|，求a－b与a的夹角．[跟踪训练1]已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝1
2
解如图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则BA→＝a－b.
取OA的中点D，连接BD，
∵|b|＝1
|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，
2
∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，
∴∠BAO＝30°.∴a－b与a的夹角为30°.
题型二向量数量积的定义
例2(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.
(2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与向量b的夹角．
[解](1)①当a∥b时，若a与b同向，
则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.
②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，
∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×
3
2
＝53.(2)由题意，得4－16＝3a ·b ，∴a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ||b |＝－1
2
，向量a 与向量b 的夹角为120°.
1．求向量数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．(2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.
(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.2．求向量夹角的一般步骤及注意事项
(1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值．(2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小．[跟踪训练2]
(1)已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π
3
，求a ·b .
(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，求a 与b 的夹角．解
(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×1
2
＝10.
(2)设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3
.题型三向量的投影
例3已知直线l ，(1)|OA →|＝4，〈OA
→，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；
(2)|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1
；
(3)|OC→|＝4，〈OC→，l〉＝120°，求OC→在l上的投影的数量OC1.
＝2.
[解](1)OA1＝4cos60°＝4×1
2
(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0.
(3)OC1＝4cos120°＝4 2.
对向量投影的理解
从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零．
(1)当θ
(2)当θ
(3)当θ＝0时，该数量为|b|.
(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.
注意：此处b为非零向量．
时，该数量为0.
(5)当θ＝π
2
时，a在e方向[跟踪训练3]已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为π
3
上的投影的数量为()
A．43B．4
C．42D．8＋3
2
答案B
解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cosπ
＝4，故选B.
3
题型四向量数量积的几何意义及应用
例4(1)已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是3
2
，则a ·b 为(
)
A ．3 B.92C ．2
D.
12
(2)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝2DC ＝4.E 为腰BC 上的动点．求AE
→·AB →的取值范围．
[解析]
(1)设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝9
2
.
(2)如图，过E 作EE ′⊥AB ，垂足为E ′，过C 作CC ′⊥AB ，垂足为C ′.
则AE →在AB →上的投影为AE ′→，∴AE →在AB →上的投影的数量为|AE ′→|，由向量数量积的几何意义知AE →·AB →＝|AE ′→||AB →|＝4|AE ′→|.∵E 在腰BC 上运动，∴点E ′在线段C ′B 上运动，∴|AC ′→|≤|AE ′→|≤|AB
→|，∴2≤|AE ′→|≤4，∴8≤4|AE ′→|≤16，
∴AE→·AB→的取值范围是[8,16]．
[答案](1)B(2)见解析
利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可．
利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果．
[跟踪训练4](1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，则四边形EFGH是()
A．梯形B．菱形
C．矩形D．正方形
(2)已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____.
答案(1)C(2)4
解析(1)因为(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，所以AC→·BD→＝0，
所以AC→⊥BD→.
又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，
所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．
(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，
所以|a||b|cosθ＝16.又a在b方向上的投影的数量为4，
所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4.
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()
A.12
5
B．3
C．4D．5
答案A
解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b
|b|＝12 5
.
2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π
3
时，a·b＝() A．43B．4
C．83D．8
答案B
解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cosπ
3
＝4.
3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是()
A.0，π
6 B.
π
3
，π
C.π
3
，2π
3 D.
π
6
，π
答案B
解析由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤1
2θ∈
π
3
，π
.
故选B.
4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是() A．e1在e2上的投影的数量为sinθ
B．e21＝e22
C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D．不存在θ，使e1·e2＝2
答案BCD
解析对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e21＝e22＝1，B正确；对于C，如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．
5．在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝6，且AB→·AC→＝18，则△ABC的形状是____.
答案等边三角形
解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，
∴cos∠BAC＝1
2
，∴∠BAC＝60°.
又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等边三角形．
一、选择题
1．若|a|＝2，|b|＝1
2
，〈a，b〉＝60°，则a·b等于()
A.1 2
B.1 4
C．1D．2答案A
解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1
2×1
2
＝1
2
.
2．在Rt△ABC中，角C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
答案D
解析解法一：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos A，△ACB为直角三角形，∴AB→·AC→＝
|AB→|·|AC→|·|AC→|
|AB→|
＝|AC→|2＝16.故选D.
解法二：∵△ACB为直角三角形，∴AB→在AC→上的投影为AC→，
∴AB→·AC→＝AC→2＝16.故选D.
3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为()
A．－53B．5
C．－5D．53
答案A
解析a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－53.
4．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是()
A．1B．2
C．3D．4
答案A
解析设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥10
4|cosθ|≥5
2
，由
向量形式的三角不等式得，|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥|2×5
2
－4|＝1.
5．(多选)关于菱形ABCD的下列说法中，正确的是()
A.AB→∥CD→
B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)
C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0
D.AB→·AD→＝BC→·CD→
答案ABC
解析∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴AB→∥CD→，A正确；∵对角线AC 与BD互相垂直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∴AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；∵AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，∵DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，∴(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，∴AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．故选ABC.
二、填空题
6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则BC→·CA→等于____.
答案－33
2
解析BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－30°)
＝ab cos150°＝－33
2
.
7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝____.
答案－8
解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.
8．给出下列命题：
①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；
②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；
③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；
④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；
⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．
其中真命题为____.
答案①
解析由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题
9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：
(1)AB→·CD→；
(2)AB→·AD→；
(3)AC→·DA→.
解如图，
(1)〈AB→，CD→〉＝π，∴AB→·CD→＝－1.
(2)〈AB →，AD
→〉＝π2，∴AB →·AD →＝0.(3)〈AC →，DA →
〉＝3π4
，
∴AC →·DA →＝2×1×
cos 3π4
＝－1.10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．
解
∵AB
→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0，∴cos θ>0，∴θ为锐角，
如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.
由题意，知AB
→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6，①
S ＝12|AB ||CD |＝12
|AB →||BC →
|sin θ.②
由②÷①得S 6＝1
2tan θ，即3tan θ＝S .
∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即
3
3
≤tan θ≤1.又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈π6，
π4.
1．(多选)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论，其中正确的是(
)
A.AH→·(AC→－AB→)＝0
B.AB→·BC→<0⇒△ABC为钝角三角形
C.AC→·AH→
|AH→|
＝c sin B
D.BC→·(AC→－AB→)＝a2
答案ACD
解析因为AC→－AB→＝BC→，且AH⊥BC，所以AH→·(AC→－AB→)＝0，故A正确；在△ABC中，由AB→·BC→<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B
不正确；AH→
|AH→|
是AH→的单位向量，依据数量积的几何意义可知AC→·
AH→
|AH→|
为AC→在AH→方
向上的投影，为b sin C＝c sin B，故C正确；因为AC→－AB→＝BC→，所以BC→·(AC→－AB→)＝|BC→|2＝a2，故D正确．
2．已知a，b是两个非零向量．
(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|
＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.
又|a|＝3，|b|＝4，
∴|cos〈a，b〉|＝6
|a||b|＝6
3×4
＝1
2
，
∴cos〈a，b〉＝±1
2
.
∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π
3
.
(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA
→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC
→＝a ＋b ，BA →＝a －b .
由于|a |＝|b |＝|a －b |，即|OA
→|＝|OB →|＝|AB →|，所以∠AOC ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6
.
8.1.2
向量数量积的运算律
(教师独具内容)
课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.
知识点平面向量数量积的运算律
已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律
a ·
b ＝01b ·a
结合律(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)
分配律(a＋b)·c＝04a·c＋b·c
对向量数量积的运算律的几点说明
(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如右图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.
(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()
(2)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()
答案(1)×(2)×(3)√
2．做一做
(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝____.
(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝____.
(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝____，|a－b|＝____，|a2＋b2|＝____.
答案(1)8(2)－7(3)28237100
题型一求向量的数量积
例1已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；
(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3 3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.
求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
[跟踪训练1]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝____.
答案－1
4
解析由已知得AD→＝1
2(AB→＋AC→)，AE→＝2
3
AC→，BE→＝BA→＋AE→＝2
3
AC→－AB→，所
以AD→·BE→＝1
2(AB→＋AC→)·
－
＝1
2×
→|2－|AB→|2－1
3
AB→·
＝
1 2×
1－1
3
cos60°
＝－1
4
.
题型二求向量的夹角
例2已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹
角．
[解]设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°，
∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝1
2
.
∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e22－2e21－2e1·e2＝e22－2e21－e1·e2＝1－2－1
2
＝
－3
2
，
|a|＝a2＝(e1＋e2)2＝|e1|2＋|e2|2＋2e1·e2
＝1＋1＋1＝3.
|b|＝b2＝(e2－2e1)2＝|e2|2－4e1·e2＋4|e1|2
＝1＋4－4×1
2
＝3.
∴cosθ＝a·b
|a||b|＝
－3
2
3×3
＝－1
2
.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.
求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程
求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b
|a||b|→
结合θ∈[0，π]，求出θ
(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．
[跟踪训练2]已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．
解∵|a＋b|＝7，
∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝15
2
.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b
|a||b|＝
15
2
3×5
＝1
2
又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.
题型三求向量的模
例3已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量2b＋a的模．
[解](1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.
把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得
1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，
则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.
(2)(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，
∴|2b＋a|＝27.
极化恒等式求模长
(1)两个结论
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.
②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.
说明：下列结论也是成立的：
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.
(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，
即a·b＝1
[(a＋b)2－(a－b)2]．
4
我们把该恒等式称为“极化恒等式”．
(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法
①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．
提醒：向量的模是非负实数；一个向量与自身的数量积等于它的模的平方．
，求|a－b|，|a＋b|.
[跟踪训练3]已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π
3
解解法一：|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b
＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉
＝53.
＝52＋52＋2×5×5×cosπ
3
|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉
＝5.
＝52＋52－2×5×5×cosπ
3
解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．
∵|a|＝|b|且∠DAB＝π
3
，
∴△ABD为正三角形，
∴|a－b|＝|DB→|＝5，|a＋b|＝|AC→|＝2|AE→|
＝2|AB→|2－|BE→|2＝252－5 2253.
题型四用向量数量积解决垂直问题
例4已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.
[证明]证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|·cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.
证法二：如图，
设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，
连接AB，AC，BC，三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC ⊥AB.
又BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.
要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．
[跟踪训练4]
如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .
证明
设AD
→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE
→＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2
，
所以AF →·DE →a 12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥
DE
→，即AF ⊥DE .
1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于(
)
A.3
2
B ．－
32C.23
D ．－
23
答案B
解析
由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－1
2
.
∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－3
2
.
2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于(
)
A．1 B.2
C.3D．2
答案A
解析|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b
＝12＋12－2·1·cos〈a，b〉＝2－2cos60°＝1.
3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．以上均不正确
答案C
解析由(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，得CB→·(AB→＋AC→)＝0，又CB→＝AB→－AC→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|2－|AC→|2＝0.∴|AB→|＝|AC→|.∴△ABC为等腰三角形．
，则4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π
3
实数λ＝____.
答案－8或5
解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.
，即λ2＋3λ－40由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ
3
＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|.
解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4a2－4a·b－3b2＝61，
，
所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－1
2
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.
(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，
所以|a＋b|＝13，同理可求得|a－b|＝37.
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为()
A．30°B．45°
C．60°D．90°
答案C
，解析由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝1
2又θ∈[0，π]，∴θ为60°.
2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()
A．1 B.7
C．4＋3D．27
答案B
解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.
3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为()
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
答案A
解析∵0＝AB
→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A.
4.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA
→＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝(
)
A ．1
B ．3
C ．5
D ．6
答案D
解析
由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP
→＝OC →＋CP →＝12
(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP
→·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12
×
(42－22)＝6.5．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(
)
A ．a ·c －b ·c ＝(a －b )·c
B ．(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直
C ．|a |－|b |＜|a －b |
D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案ACD
解析
因为a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量
积的运算律，知A ，D 正确；由向量减法的三角形法则，知C 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误．故选ACD.
二、填空题
6．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝____.
答案11
解析
原式展开，得
|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.
7．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值为____.答案－1
3
解析
由|a |＝3|b |，得|b ||a |＝1
3
.由|a |＝|a ＋2b |，两边平方得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋
4|b |2
＋4a ·b ，整理得a ·b ＝－|b |2
.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－|b |2|a ||b |＝－|b |
|a |
＝
－1
3
.8．已知向量AB
→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP
→⊥BC →，则实数λ的值为____.
答案7
12
解析因为向量AB→与AC→的夹角为120°，
且|AB→|＝3，|AC→|＝2，
所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos120°＝3×2 3.
由AP→⊥BC→，得AP→·BC→＝0，
即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，
所以AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0，
即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝7
.
12
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)．
解由已知，得a·b＝4×816.
(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，
∴|4a－2b|＝16 3.
(2)若(a＋2b)⊥(k a－b)，则(a＋2b)·(k a－b)＝0.
∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
10.如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→
＝λPB
→
.(1)若λ＝12
，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA
→|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围．解(1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12
(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13
OB →.(2)OA
→·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6.∵AP
→＝λPB →，∴OP
→－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λ
OB →.∵AB
→＝OB →－OA →，∴OP →·AB →
＋λ1＋λOB OB →－OA →)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2
·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ
1＋λ＝3λ－10
1＋λ＝3－13
1＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ
∈(－10,3)．∴OP
→·AB →的取值范围是(－10,3)．
1．已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，OP→＝tOA→，OQ→＝(1－t)OB→，t∈R，|PQ→|在t＝t0时取得最小值，当0<t0<1
5
时，夹角θ的取值范围是()
A.0，π
3
π
3
，π
2
C.π
2
，2π
3
0，2π
3
答案C
解析因为向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，所以OA→·OB→＝2cosθ，由PQ→＝OQ→－OP→＝(1－t)OB→－tOA→，得|PQ→|2＝PQ→2＝(1－t)2OB→2－2t(1－t)·OA→·OB→＋
t2OA→2＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝1＋2cosθ
5＋4cosθ
，由0<
1＋2cosθ
5＋4cosθ
<1
5
，解得
－1 2<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以π
2
<θ<2π
3
.故选C.
2．平面四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d
＝d·a，试问四边形ABCD的形状．
解∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，
即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，
由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，
即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.
又a·b＝c·d，
故a2＋b2＝c2＋d2.①
同理可得a2＋d2＝b2＋c2②
由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，
即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，
也即AB＝CD，且BC＝DA.
∴四边形ABCD为平行四边形．
故AB→＝－CD→，即a＝－c，
∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，
∴a⊥b，即AB→⊥BC→.
综上知，四边形ABCD为矩形．
8.1.3向量数量积的坐标运算
(教师独具内容)
课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．
教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.
知识点一向量数量积的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于02它们对应坐标乘积的和.
知识点二向量的长度
已知a＝(x1，y1)，则|a|＝01x21＋y21，即向量的长度等于02它的坐标平方
和的算术平方根.
知识点三两向量夹角的余弦
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos〈a，b〉＝01
x1x2＋y1y2
x21＋y21x22＋y22
.
知识点四两点间的距离
如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB→|＝01(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
知识点五用坐标表示两向量垂直
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔01x1x2＋y1y2＝0.
1．两个向量垂直的条件
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．
如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2
＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为x1
－y2＝y1
x2
，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)
平行．
对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，
|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22.
由|a·b |≤|a ||b |得|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22，
当且仅当a ∥b ，即x 1y 2－x 2y 1＝0时取等号，
即不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)成立．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，则a·b ＝0.()
(2)若a ＝(4,2)，b ＝(6，m )且a ⊥b ，则m ＝－12.()
(3)若a·b ＞0(a ，b 均为非零向量)，则〈a ，b 〉为锐角．(
)答案(1)√(2)√(3)×
2．做一做
(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为____.
(2)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝____.
(3)设a ＝(2,0)，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a·b ＝____.
(4)已知a ＝(3,4)，则与a 垂直的单位向量有________，与a 共线的单位向量有________.
答案(1)π6(2)2(3)1－45，－35，－
题型一
向量数量积的坐标运算例1已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：
(1)向量a 的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)b＝0.
(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．
(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．
[跟踪训练1]已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．
解解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2.
∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15.
解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，
∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，
a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)，
∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.
题型二向量的夹角问题
例2已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．
[解]＋b ＝(2，－8)，
－b ＝(－8，16)，＝(－3，4)，
＝(5，－12).
∴a ·b ＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.
cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－63(－3)2＋42×52＋(－12)2
＝－63
5×13＝－6365
.∴a 与b 的夹角的余弦值为－
6365.
利用数量积求两向量夹角的步骤
特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．[跟踪训练2]
设向量a ＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤π)，b ＝(－25，0)，则a 与b 的夹角为____.
答案
|π2－α|解析
设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21x 22＋y 22
＝45sin α2×25＝sin α，
∵α∈[0，π]，∴θ＝|π2－α|.
题型三向量的长度、距离问题
例3已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．
[解]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝1，x22＋y22＝1，
3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∵|3a－2b|＝(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝3，
∴9x21－12x1x2＋4x22＋9y21－12y1y2＋4y22＝9，
∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝1
3
.
∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，
∴|3a＋b|＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2
＝9x21＋6x1x2＋x22＋9y21＋6y1y2＋y22
＝10＋6(x1x2＋y1y2)
＝10＋6×1
3
＝23.
(1)在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，可以设a＝(cosβ，sinβ)，b＝(cosα，sinα)．
(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．
(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即x21＋y21＝x22＋y22.
[跟踪训练3]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝____.答案25
解析解法一：设OB→＝(x，y)，
由|OA→|＝|OB→|，
知x2＋y2＝10.①
由题意知OA→·OB→＝x－3y＝0.②
＝3，＝1＝－3，＝－1.
当x＝3，y＝1时，AB→＝OB→－OA→＝(2,4)，则|AB→|＝25；
当x＝－3，y＝－1时，AB→＝(－4,2)，则|AB→|＝25.
故|AB→|＝25.
解法二：由题意知，|AB→|就是以OA→，OB→对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为|OA→|＝10，所以|AB→|＝2×10＝25.
题型四两向量垂直条件的应用
例4如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．
[解]设点B(x，y)，则OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．
因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，
又|AB→|＝|OB→|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，
2＋y 2－5x －2y ＝0，
x ＋4y ＝29，
1＝72，1＝－32
2＝32，2＝72.即点B
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问
题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问题来解决．
[跟踪训练4]在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 是直角，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .
证明建立如图所示的平面直角坐标系，设CA ＝CB ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，
C (0,0)，设E (x ，y )．
∵D 为BC 的中点，∴D (0,1)．
∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23
AB →，∴(x －2，y )＝23
(－2,2)，
－2＝－43，＝43，
＝23，＝43
，∴
∴AD→·CE→＝(－＝－4
3＋4
3
＝0，
∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.
题型五向量数量积的综合应用
例5若函数f(x)＝－2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝() A．－32B．－16
C．16D．32
[解析]令f(x)＝0，得π
6x＋π
3
kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵
－2<x<10，∴x＝4，即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(OB→＋OC→)·OA→＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.
[答案]D
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图像和性质等知识．[跟踪训练5]设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP→＝λAB→.若OP→·AB→≥P A→·PB→，则实数λ的取值范围是()
A.1
2≤λ≤1B．1－2
2≤λ≤1
C.1
2≤λ≤1＋
2
2
D．1－2
2≤λ≤1＋
2
2
答案B
解析设P(x，y)，则由AP→＝λAB→，得(x－1，y)＝λ(－1,1)，－1＝－λ，＝λ，
∴x－1＋y＝0.①
又OP→·AB→≥PA→·PB→，
∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y －1)2≤1.②
将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤1
2
.
即－2
2≤y－1≤2
2
.∴1－2
2≤y≤1＋
2
2
.
结合题意，得1－2
2≤y≤1，即1－2
2≤λ≤1.故选B.
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()
A．3 B.1
3
C．－1
3
D．－3
答案C
解析∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，∴x＝－1
3
.
2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是() A．梯形B．矩形
C．菱形D．正方形
答案B
解析
∵AB
→＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →，又AD
→＝(4,6)，∴AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AD →.∵|AB
→|≠|AD →|，∴选B.3．正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是____.
答案－32
解析解法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角
坐标系，则
A (0,0)，
B (1,0)，
∴a －12，b －12，－c ＝(1,0)，∴a ·b ＋32×＝－12
，
同理b ·c ＝c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－3
2
.
解法二：a·b ＋b·c ＋c·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝
3＝－32
.
4．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝____.答案
31010
解析∵a ＝(3,3)，由2b －a ＝(－1,1)可得b ＝(1,2)，∴cos α＝
a ·
b |a ||b |＝918×5
＝31010.5.如图，已知△ABC 的面积为32
，AB ＝2，AB
→·BC →＝1，求边AC 的长．
解
以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐
标为(x ，y )(y >0)，因为AB ＝2，
∴点B 的坐标是(2,0)，∴AB
→＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )．∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝5
2
.
又S △ABC ＝3
2
，
∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32
，
∴C AC →
∴|AC
→|＝＝342
，故边AC 的长为
342
.
一、选择题
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()
A．23B．7
C．－23D．－7
答案D
解析a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.
2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是()
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
答案A
解析∵AB→＝(1,1)，AC→＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→，∴A＝90°，故选A.
3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为() A．(3，－2)B．(3,2)
C．(－3，－2)D．(－3,2)
答案C
解析设c＝(x，y)2x－3y＝0，
x－2y＝1，
x＝－3，
y＝－2.
4．与已知向量a 7
2
，1
2，b
1
2
，－7
2的夹角相等，且模为1的向量是()
－4
5
，
－22
3
，答案B
解析
设与向量a
b
1的向量为(x，
y)
＋y2＝1，
＋1
2
y＝1
2
x－7
2
y，
＝4
5
，
＝－3
5
＝－4
5
，
＝3
5
，
故选B.
5．(多选)设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若
OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a，b的取值可能为()
A．a＝2，b＝1B．a＝7，b＝5
C．a＝9，b＝6D．a＝12，b＝9
答案ABD
解析由图知，要使OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，只需使AB→⊥OC→，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，则a，b需满足关系式4a－5b＝3，结合选项可知，A，B，D中a，b的取值满足条件．故选ABD.
二、填空题
6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是____.
答案10
3
，＋∞
解析x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．
解得x>10
3且x≠－6
5
，∴x>10
3
.
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝5
2
，则a与c的夹角为____.
答案120°
解析由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又
cos〈a＋b，c〉＝(a＋b)·c
|a＋b||c|
＝1
2
.
∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.
8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是____.
答案22
解析令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝22|t－1|＝22(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值
22.
三、解答题
9．在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求。