2007年高考数学试题汇编──数列(三)

2007年高考数学试题汇编──数列（三）
2007年高考数学试题汇编──数列（三）39、（陕西理）已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.求b1+b2+…+bn.
解：（Ⅰ）当，由及，得．
当时，由，得．
因为，所以．从而．
，．故．
（Ⅱ）因为，所以．
所以
．
故
．
40、（陕西文）已知实数列等比数列,其中成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列的前项和记为证明: ＜128…).
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，得，从而，，．
因为成等差数列，所以，
即，．
所以．故．
（Ⅱ）．
41、（山东理）设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解：(I)
验证时也满足上式，(II) ，
，
42、（山东文）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得
解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，
即，
解得．
由题意得．
．
故数列的通项为．
（2）由于
由（1）得
又
是等差数列．
故．
43、（全国2理）设数列的首项．
（1）求的通项公式；
（2）设，证明，其中为正整数．
解：（1）由
整理得．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得
（2）方法一：
由（1）可知，故．
那么，
又由（1）知且，故，
因此为正整数．
方法二：
由（1）可知，
因为，
所以．
由可得，
即
两边开平方得．
即为正整数．
44、（全国2文）设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
解：由题设知，
则②
由②得，，，
因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
45、（全国1理）已知数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，，，
证明：，．
解：（Ⅰ）由题设：
，
．
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，
即的通项公式为，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当时，因，，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当时，结论成立，即，
也即．
当时，
，
又，
所以
．
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
46、（全国1文）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，．
所以，
．（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，。