2023-2024学年四川省高二下学期第一次月考数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省高二下册第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．抛物线22y x =的准线方程是（）

A ．12

x =

B ．12

y =

C ．12

x =-

D ．12

y =-

【正确答案】C

【分析】利用抛物线22y px =的准线方程为2

p

x =-

即可得出．【详解】由抛物线22y x =，可得准线方程2

4x =-，即12

x =-．

故选：C ．

2．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12AD AA ==，点P 为1CC 的中点，则异面直线AP 与11C D 所成角的正切值为

A B C D ．

14

【正确答案】A

【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出AP 与11

C D

的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的正切值.

【详解】

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,0,0,4,1,0,4,2,0,0,2A P C D ，

()()112,4,1,0,4,0AP C D =-=-

,

设异面直线AP 与11C D 所成角为θ，

则1111cos AP C D AP C D θ⋅==⋅

sin θ=

sin tan cos θθθ=

=

∴异面直线AP 与11C D

所成角正切值为4

，故选A.

本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

3．双曲线22197x y λλ

+=--（7＜λ＜9）的焦点坐标为

A ．（±4，0）

B ．（

，0）C ．（0，±4）D ．（0，

【正确答案】B

【详解】试题分析：∵双曲线22197x y λλ+=--（7＜λ＜9）

∴9-λ＞0且7-λ＜0，方程化为22

1

97

x y λλ-=--由此可得：双曲线焦点在x

轴，且c ===

∴双曲线的焦点坐标为(故选B

双曲线的标准方程．

4．如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60︒

方向km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，

B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为a 万元/km ，那么，修建这两条公路

的总费用最低是（）

A ．(23a 万元

B ．31)a 万元

C ．5a 万元

D ．6a 万元

【正确答案】C

【分析】依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，利用抛物线的定义求MA MB +的最小值，即可求解.

【详解】根据抛物线的定义知：

欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，即求MA MB +的最小值，设点M 到直线L 的距离为d ，且d MA =，即求d MB +的最小值，即为点B 到直线L 的距离．因B 地在A 地东偏北300方向23处，∴B 到点A 的水平距离为3（km ），∴B 到直线l 距离为：3+2=5（km ），

那么修建这两条公路的总费用最低为：5a （万元）．故选：C ．

5．圆锥曲线22189

x y m +=+的离心率2e =，则实数m 的值为（

）

A ．5-

B ．35-

C ．19

D ．11

-【正确答案】B

【分析】首先根据离心率判断曲线为双曲线，根据双曲线的离心率列方程，解方程求得m 的值.【详解】由于曲线的离心率为2e =，所以曲线为双曲线.故80m +<，方程22

189x y m +=+化为

22198y x m -=--，所以2

81129b m e a --⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭

，解得35m =-.故选B.

本小题主要考查根据圆锥曲线的离心率求参数，考查椭圆、双曲线离心率的特征，属于基础题.

6．已知椭圆与双曲线22

132

x y -=5）

A ．22

1

2025x y +=B ．22

1

2520

x y +=

C ．22

1

255x y +=D ．22

1

525

x y +=【正确答案】B

【分析】设椭圆的方程为22

221x y a b

+=(0)a b >>，求出,a b 即得解.

【详解】由题得双曲线的焦点为，

所以椭圆的焦点为，设椭圆的方程为22

221x y a b +=(0)a b >>，

所以22

5,5,a b a b ⎧=+∴===⎩所以椭圆的标准方程为22

12520

x y +=.

故选：B

7．过点(0,2)与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有()

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．无数条

【正确答案】C

【详解】因为点(0,2)在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条．

8．已知双曲线22x a -2

5

y =1的右焦点为（3,0）

，则该双曲线的离心率等于A

．14

B

．4C ．32D ．

43【正确答案】C

【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝

c

a ＝32

．9．已知直线()0y kx k =≠与双曲线22

221 (0,0y a b b

x a -=>>）

交于A ､B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（）

A

B

C ．2

D

【正确答案】D

设双曲线的左焦点为1F ，则可得四边形1AF BF 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率.