谱分析与谱估计

2.1 相关函数法
Blackman-Tukey算法，BT算法 基本思路：从时域上先求信号自相关函数，再做Fourier变换，求得功率谱估计值。 自相关序列
Wiener-Khinchin公式 弱平稳随机过程的功率谱密度是其相应自相关函数的Fourier变换 估计方法分为两种 直接估计法（非参数方法） 依赖于信号产生模型的方法（参数化方法）
进行DFT delta1 = [1 zeros(1,11)]; fftgui(delta1) delta2 = [0 1 zeros(1,10)]; fftgui(delta2) deltaNyq = [zeros(1,6),1,zeros(1,5)]; fftgui(deltaNyq) square = [zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4)]; fftgui(square) t = linspace(0,1,50); periodic = sin(2*pi*t); fftgui(periodic)
4. Matlab应用举例
求卷积 x = randn(1,100); w = 10; y = conv(ones(1,w)/w,x); avgs = y(10:99); plot(avgs)
Ensemble average w = 10; for i = 1:w; X(i,:) = randn(1,100); end AVGS = mean(X); plot(AVGS)
选用矩形窗函数 与真实功率谱密度进行卷积运算时，得到的是平均周期图(平滑PSD)。 矩形窗的主体宽度为 ，因此当 时，有
因此 是真实功率谱密度的渐近无偏估计。对该结论进行推广可以得到对窗函数的一些具体要求： 标准化条件： 窗口的主体部分必须随1/N递减。
由于序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)具有周期函数性质， 因此称为长度为N的实平稳随机信号序列的周期图
有限自相关 也称为短信号的自相关序列，这是将在功率谱密度估计中要用到的参数。
3.1 PSD估计
周期图法计算式可改写为 周期图法的有限自相关表达方式；存在问题： 统计变异性 估计的偏度误差
谱分析与谱估计
目录
引言 功率谱估计 功率谱密度 Matlab应用
1.引言
声纳系统搜寻水面舰艇或潜艇 机械主件及部件故障诊断 语音识别语音频带压缩
2. 功率谱估计
相关函数法 周期图法 目标 获得实随机过程 的功率谱密度 的近似估计
例1.交叉相关
考虑简单的目标测距系统，输出信号x与返回信号y之间的关系为： 其中alpha为衰减因子，d为时滞，beta为信道噪声，若T为信号返回时间，则x，y将在n=T时相关。目标则可以定位在vT的距离，其中v为信号的传播速率。
x = [zeros(1,25),1,zeros(1,25)]; subplot(311), stem(x) y = 0.75*[zeros(1,20),x] + 0.1*randn(1,71); subplot(312), stem(y) [c lags] = xcorr(x,y); subplot(313), stem(lags,c)
交叉相关xcorr,交叉协方差xcorr 两组信号的交叉相关等价于两组信号的卷积(其中一组逆序fliplr) xcov的作用是在计算交叉相关之前去掉输入的均值； 信号与自身的交叉相关称为自相关。
x = [-1 0 1]; y = [0 1 2]; xcorr(x,y) conv(x,fliplr(y)) xcov(x,y) xcov(x,x) xcov(x,y-1)
2.4 窗函数截断
根据以上假设，可以对数据进行截断，利用窗函数得到以下的新信号 ： 为窗函数，从信号中截取一部分信号 .
3. 周期图（ Periodogram ）
功率谱密度计算公式为 很明显当 可以利用FFT有效计算。
对其做FFT，有 其估计值为
2. 平均化处理 对周期图进行平均化处理可以减小变异系数，得到较高的谱估计精度。 将序列x(n)分段，求各段周期图，再做平均，此时有： 各段频率分量的实部与虚部互相独立
此时卡方分布自由度为n=2q. 变异系数为 ，表明随着平均谱 分段数q增大，变异系数减小，从而可以通 过增加分段数来减小变异性。 对连续随机过程，样本总体长度为T(T=N△t), △t为采样间隔，分段长度Te(T/q)，那么分析带宽Be=1/Te，因此有
方差分析
1. 谱估计的变异性 变异系数：谱估计的均值和方差之比 利用周期图法做谱估计时，周期图X(k)为复数，因此有
考虑高斯变量情形，则XR(k)和XI(k)也是高斯变量； 卡方分布公式：
因此有 因此变异系数为 根据周期图公式，自由度n=2，因此变异系数为1，相对误差达到100%，估计极其不准确。
FFT Demo
太阳黑子 sigdemo1 playshow fftdemo phone playshow sunspots
功率谱分析
Fs = 100; t = 0:1/Fs:10; y = sin(2*pi*15*t) + sin(2*pi*30*t); nfft = 512; Y = fft(y,nfft); f = Fs*(0:nfft-1)/nfft; Power = Y.*conj(Y)/nfft; plot(f,Power) title('Periodogram')
figure ryy = xcorr(y,y); Ryy = fft(ryy,512); plot(f, abs(Ryy)) title(’DFT of Autocorrelation’)
t = 0:1/100:10-1/100; x = sin(2*pi*15*t) + sin(2*pi*30*t); periodogram(x,[],512,100); figure pwelch(x,[],512,100); figure pmtm(x,[],512,100);
3.2 偏差与方差
偏差（Bias） 当采样个数N趋于无穷时，估计值是否收敛于真实值？ 是无偏：Unbiased estimate; 否有偏：Biased estimate;
偏差分析
PSD估计式中截尾信号的自相关序列为：
根据卷积定理，有 偏差定义为谱密度真实均值与期望均值之差
例：3.3
简单快速、不够精确
计算相对复杂、但更精确
2.2 直接估计法的局限性
噪声的不利影响； 对于随机过程，仅有一组可用的信号（实现） ； 信号的长度有限，如 。
2.3 假设
对于随机过程的实现 各态历经(Ergodic)：统计平均可以用算术平均来代替； 平稳性(Stationary)：信号的无限平均可以用有限平均来代替； 以上两种平均均可从